Évaluation de sommes partielles

Boécien

Bonjour,

Soit $(u_{n})$ une suite telle que la série de Dirichlet

$$\sum_{n\geq1}\frac{u_{n}}{n^{s}}$$

soit analytique dans le demi-plan $\Re z\geq c>0$ sauf en $c$ où il y a un pole simple de résidu $r$. Peut-on dire que

$$\sum_{k=1}^{n}u_{k}\sim\frac{r}{c}n^{c}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$

si on sait uniquement que $u_n=O(1)$ ?

Poirot

Dans Tauberian Theory de Korevaar, c'est quasiment l'énoncé du Theorem 8.1 du Chapitre III (il affaiblit même en $u_n \geq -C$, mais il y a l'hypothèse supplémentaire que $\sum_{n \leq x} u_n \ll x$. Dans les remarques qui suivent, Korevaar sous-entend que le Theorem 9.2 permet d'enlever l'hypothèse  $\sum_{n \leq x} u_n \ll x$, mais comme le théorème est énoncé pour des transformées de Laplace, je ne suis pas 100% sûr que ça s'applique effectivement aux séries de Dirichlet, mais c'est quand même fort probable.

Boécien

Merci Poirot. Je vais emprunter ce livre. Je n'avais que le théorème d'Ikehara en tête (une variante) qui impose $u_n\geq0$ et donc ne marche pas même si le résultat est le même.

Poirot

Oui, c'est un généralisation du théorème de Wiener-Ikehara. Bon d'ailleurs si tu as l'hypothèse $(u_n)_n$ bornée, ça implique l'hypothèse $\sum_{n \leq x} u_n \ll x$ donc ton énoncé est effectivement vrai.

Boécien

Super merci.

noix de totos

Je confirme, s'il en était besoin, et je complète de la façon suivante : le résultat reste vrai si l'on suppose $u_n \in \mathbb{C}$, sa série de Dirichlet $L(s,u)$ converge absolument dans $\sigma > c$, se prolonge méromorphiquement dans $\sigma \geqslant c$ avec un pôle simple en $\sigma = c$, et $|u_n| \leqslant v_n$, dont la série de Dirichlet $L(s,v)$ a les mêmes propriétés que $L(s,u)$. 

noix de totos

Pour des estimations effectives (c'est-à-dire avec expression d'un terme d'erreur), on utilise plutôt le théorème de Freud-Karamata, ou bien celui d'Onishi, plutôt que le Ikehara-Wiener (qui fut historiquement l'un des premiers résultats de ce type, mais ineffectif).

Boécien

Merci noix de totos pour le complément.

noix de totos

Même s'ils conservent leurs adeptes, les théorèmes taubériens "analytiques", c'est-à-dire ceux qui fonctionnent à partir de propriétés de la série de Dirichlet $L(s,f)$ de la fonction arithmétique $f$ étudiée, sont peu à peu tombés en désuétude, supplantés par les formules de sommation de Perron ou les méthodes de type Selberg-Delange, qui, au prix d'à peu près les mêmes hypothèses (j'exagère un peu, toutefois !), fournissent des termes d'erreur autrement plus précis.

En revanche, les théorèmes taubériens "arithmétiques", c'est-à-dire ceux qui estiment $\sum_{n \leqslant x} f(n)$ à partir d'une formule asymptotique pour $\sum_{n \leqslant x} (f \star \mathbf{1})(n)$, peuvent avoir encore un (petit) intérêt, bien que peu précis en général. Voir par exemple les théorèmes de Landau-Ingham et celui de Segal.

Boécien

@poirot Je pensais n'avoir aucun pb mais j'ai du mal à appliquer le théorème que tu as cité (valable pour $c=1$) pour $0<c<1$.  Il semble que $u(n)=O(1)$ ne suffit pas. Tu peux détailler stp?

Poirot

Tu as raison, pour $0 < c < 1$ il faut a priori supposer que $$\sum_{n \leq x} \frac{u(n)}{n^{c-1}} \ll x,$$ ce qui ne provient pas juste de $u(n) = O(1)$. Cependant, si le Théorème 9.2 s'applique aux séries de Dirichlet, tu peux te passer de cette hypothèse.

Boécien

Le théorème 9.2 semble aussi exiger "bounded from below" qui semble équivalent au $u_n>-C$ du 8.1. Voici ma question réactualisée.

En fait j'ai $\sum_{n\leq x}u_{n}\ll x^{c+\varepsilon}$ et donc $\sum_{n\leq x}u_{n}n^{c-1}\ll x^{2c-1+\varepsilon}$ pour $c\neq1/2$  et $0<c<1$. Je m'intéresse plus spécifiquement au cas $1/2<c<1$. 

Si $u_{n}=O\left(1\right)$ et $\sum_{n\leq x}u_{n}\ll x^{c+\varepsilon}$ et $F(s)=\sum_{n\geq1}\frac{u_{n}}{n^{s}}$ est analytique dans le demi-plan $\Re z>c$ et prolongeable sur $ \Re z=c$ à l'exception de $z=c$ qui est un pole simple de résidu $R$, a-t-on

$$\sum_{n\leq x}u_{n}\sim\frac{R}{c}x^{c}\quad\text{as }x\to\infty$$