
Intersection de deux hyperboles équilatères
Réponses
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Mon cher LudwigQu'entends-tu par construire?Si c'est avec la règle et le compas, c'est en général impossible comme toute intersection de coniques d'ailleurs.Sinon tu confies cette mission à ton logiciel de géométrie dynamique préféré.Amicalementpappus
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Bonjour à tous,
il peut y avoir quatre points d'intersection :
Si l'on en connaît trois, on connaît le quatrième (l'orthocentre du triangle) ; il peut être intéressant de savoir si la connaissance de deux points d'intersection suffit pour une construction à la règle et au compas.
(En règle générale, si l'on connaît trois points $A,B,C$ communs à deux coniques, on peut déterminer le quatrième en les transformant en deux droites par isotomie par rapport au triangle $ABC$, complication inutile ici).
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Oui, à la règle et au compas. Impossible en général, et dans ce cas particulier ?
$y(2x-1)=a$ et $x^2-y^2+x=b$, avec $a^2+b^2=1$. -
Bonsoir,
je m'emballe peut-être mais il me semble que, effectivement, si l'on connaît les foyers de deux HE ainsi que deux points d'intersection, on peut construire les deux autres points à la règle et au compas. Pour cela, introduire le faisceau linéaire qu'engendrent les HE, dont on peut construire le cercle des neuf points. Ensuite, l'on construit deux autres cercles qui se coupent précisément en les deux points restants.
À suivre ; faites de beaux rêves -
Bonjour,
oui, ça marche : supposons connus les paires de foyers $(F_1,F'_1)$ et $(F_2,F'_2)$ de nos hyperboles, ainsi que deux points d'intersection, disons $A$ et $H$. Reste à construire les deux autres, s'ils existent, disons $B$ et $C$.
Or, on connaît trois points du cercle des neuf points du faisceau engendré par nos HE : les milieux des paires de foyers, ainsi que le milieu de $[A,H]$, d'où le dit cercle (en vert).
À présent, $B$ et $C$ appartiennent aux homothétiques du cercle, de centres respectifs $A$ et $H$, et de rapport $2$ (s'ils sont disjoins, il n'y a pas d'autres points d'intersection). -
Vérification :
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Intersection limitée à $\{A,H\}$ :
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D'ailleurs, la connaissance de quatre points en position générale remplace la connaissance des deux foyers d'une HE puisque, en fin de compte, seule la détermination du centre est nécessaire pour la construction du cercle des neuf points. Lors de mon premier message, j'ai plutôt introduit les foyers car j'ignorais, à ce stade, de quelles données j'allais avoir besoin.
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Bonjour!
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