Quadrique, polaire et division harmonique

stfj

Bonjour,

Il est aisé de définir algébriquement la notion de polaire d'un point par rapport à une quadrique projective en dimension finie$^1$. Quel rapport avec la division harmonique qu'on trouve dans des exposés plus élémentaires?

Cordialement, Stéphane.

_______________

$^1.-$ Soit $q$ une forme quadratique sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie, de forme polaire $f$. On suppose que si l'on note $$\widehat{f}: x\mapsto f(x,.)$$Ker$ \widehat{f}=0$. Soit $m=\pi(x)\in P(E)$, où $\pi: E-0\to P(E), \xi\mapsto \mathbb R \xi$. La polaire de $m$ est $\pi(Ker\widehat{f}(x))$.https://www.geogebra.org/classic/wdmbaysx

stfj

Bonjour,

Je réactive cette discussion qui n'avait pas intéressé. En effet, j'ai l'idée de faire la démonstration en restriction à une droite projective. Mais si quelqu'un pouvait aider...

Cordialement.

denise chemla

Bonjour,

Votre dessin intrigue, je suis allée sur geogebra et j'ai bougé un peu les différents points, par curiosité pure, mais je suis incapable de vous aider. 

Une question cependant, naturelle pour qui aime bien les choses bien symétriques : pourquoi n'y a-t-il pas de droite, entre J et M, ou entre H et K par exemple ? Merci.

Cordialement.

stfj

Bonjour,

Il n'y a pas de droite entre J et M pour ne pas surcharger davantage la figure qui est déjà très surchargée.

Cordialement.