Un grand classique

stfj

Bonjour,

Dans le plan projectif $P(E)$ sur un corps de caractéristique $\neq 2$, soit $a,b,c,d$ quatre points formant un repère projectif. On désigne par $xy$ la droite passant par deux points distincts $x$ et $y$ de $P(E)$ et on pose $$e=ab\times cd,\, f=ac\times bd$$ $$g=ad\times bc,\, h=bc\times ef$$Prouver que $[b,c,g,h]=-1$.

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En envoyant $g$ à l'infini et en fixant $a,b,c$, je calcule dans le nouveau repère projectif que $h'$ est le milieu de $bc$ d'où le résultat.

Je ne suis pas satisfait par ce raisonnement mais n'en ai pas d'autre. Que proposez-vous ?

Cordialement.

Rescassol

Bonjour,

syms ax ay az bx by bz cx cy cz dx dy dz real

A=[ax; ay; az]; B=[bx; by; bz]; C=[cx; cy; cz]; D=[dx; dy; dz];

E=SimplifieBary(Wedge(Wedge(A,B),Wedge(C,D)))
F=SimplifieBary(Wedge(Wedge(A,C),Wedge(B,D)))
G=SimplifieBary(Wedge(Wedge(A,D),Wedge(B,C)))
H=SimplifieBary(Wedge(Wedge(B,C),Wedge(E,F)))

VBC=Vecteur(B,C); VBG=Vecteur(B,G); VBH=Vecteur(B,H);

Bi=Factor(Birapport(0,VBC(1),VBG(1),VBH(1)))

% On trouve Bi=-1

Cordialement,
Rescassol

JLT

Quitte à envoyer $g$ à l'infini, autant envoyer également $e$, auquel cas $abcd$ devient un parallélogramme. Il est alors évident (sans calcul) que $h$ devient le milieu de $[bc]$.

stfj

Bonjour,

Merci @Rescassol , merci @JLT. Rescassol, quelle est ta fonction Birapport sur Matlab, s'il te plaît ? Et pourquoi prendre VBC(1),VBG(1),VBH(1)? Je suis perdu et n'arrive pas à recoller les morceaux.

Cordialement, Stéphane.

Rescassol

Bonjour,

C'est tout bête:

function B = Birapport(a,b,c,d)

         Num=(d-b)/(d-a);
         Den=(c-b)/(c-a);
   
         B=Num/Den;
end

Ensuite, prendre les vecteurs $VBC,VBG,VBH$ signifie que je choisis $B$ comme origine.
Enfin, comme $B,C,G,H$ sont alignés, les trois vecteurs ont leurs coordonnées proportionnelles et je me contente de choisir la première $VBC(1),VBG(1),VBH(1)$.

Cordialement,
Rescassol

stfj

Bonjour,

Merci Rescassol. 

J'ai trouvé ce cours de BTS, où sont rappelés les principaux résultats sur le birapport pour un élève de BTS. En ce qui concerne le birapport de $a,b,c,d$, je préfère ta définition, même si cela revient au même car pour retenir la formule, je retiens que le birapport de $a,b,c,d$ est lié à l'unique homographie qui envoie $$a\mapsto \infty$$ $$b\mapsto 0$$ $$c\mapsto 1$$ et est donc $$z\mapsto \frac{\frac{z-b}{z-a}}{\alpha}$$ $\alpha$ étant déterminé par la troisième condition.

Ensuite, dans la définition du birapport de quatre points $A,B,C,D$ alignés, l'auteur exige dans la définition que $A,B,C,D$ soient dans l'ordre cité, ce qui limite sa définition et la rend inopérante, n'est-ce pas ?

Ce qui me gênait ensuite dans ton choix de 1, c'est que sous sagemath cela commence à 0 et que 1 est donc la deuxième coordonnée. Mais j'ai réalisé que c'est différent sous matlab.

Cordialement,

Stéphane.

stfj

sagemath via

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def norm(M):
    return(M/(Linf*M))

def vecteur(X,Y):
    vec=norm(Y)-norm(X)
    return vec

def birapport(B,C,G,H):
    bi= factor(vecteur(G,C)/vecteur(G,B)/(vecteur(H,C)/vecteur(H,B)))
    return bi
    
var('u v w')
Linf=vector([1,1,1])
A=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])
D=vector([u,v,w])
AB=A.cross_product(B)
CD=C.cross_product(D)
CA=C.cross_product(A)
BD=B.cross_product(D)
BC=B.cross_product(C)
AD=A.cross_product(D)
E=AB.cross_product(CD)
F=CA.cross_product(BD)
G=BC.cross_product(AD)
H=BC.cross_product(E.cross_product(F))

print (birapport(B,C,G,H))

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renvoie $-1$. Ceci démontre le théorème du quadrilatère complet.