Permutation

Soient l’entier $n>1$ et les réels $d,\ a_1\leq a_2\leq...\leq a_n$ tels que $\displaystyle\max_{1\leq k \leq  n-1}(x_{k+1}-x_k)=d>0$
Soient les réels $x_1,x_2,...,x_n$ tels que $|x_1+x_2+...+x_n|=1$
Montrer que : si $\displaystyle\forall_k |x_k|\leq \frac {a_1+..+a_n}{nd}$ alors il’existe une permutation
$(y_1,y_2,...,y_n)$ de $(x_1,x_2,...,x_n)$ telle que $\displaystyle |a_1y_1+a_2y_2+..+a_ny_n|\leq \frac {a_1+a_2+..+a_n}{n}$

Réponses

  • Ça me fait penser à la généralisation d’un exos olympiade internationale.
  • salut

    pour suivre ...

    dans la première ligne le max ne porterait-il pas sur les $ a_k$ et non pas les $ x_k$ ?

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • zygomathique a dit :
    salut

    pour suivre ...

    dans la première ligne le max ne porterait-il pas sur les $ a_k$ et non pas les $ x_k$ ?
    Mea culpa, tu as raison. Il faut lire $\displaystyle \max_{1\leq k\leq n-1}(a_{k+1}-a_k )=d>0$ 
  • etanche a dit :
    Ça me fait penser à la généralisation d’un exos olympiade internationale.
    Exact
  • La démo,  elle est où la démo ??
  • Et moi j’espère recevoir 1000 euros chaque jour sur mon compte… Parfois nos attentes ne se réalisent pas …
  • l'inégalité de réarrangement fait correctement le job...
    For every seemingly unmotivated solution to a problem, there is a deeper insight that makes it self-evident.
  • MMu
    MMu
    Modifié (16 Jul)
    ** modéré **
  • C’est une généralisation de IMO 1997 problème 3.  J’ai vu cette généralisation et sa solution dans un fichier sur le web.
  • etanche a dit :
    Mais où est la généralisation ?
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