Indécidables en physique

marco
Modifié (27 Jun) dans Mathématiques et Physique
Bonjour,
Est-ce qu'il y a nécessairement des énoncés indécidables en physique ?
Une théorie dans laquelle on peut encoder $\N$ avec les axiomes de Peano contient des indécidables (il me semble). Mais est-ce qu'on a besoin des axiomes de Peano en physique ?
En physique, on utilise $\R$ et$ \C$. Mais en géométrie euclidienne on utilise aussi $\R$.
Et il me semble que la géométrie (en coordonnées cartésiennes) ne contient pas d'indécidable, car on peut ramener tout énoncé à un calcul sur les réels et un test d'égalité ou une inégalité. Mais est-ce que ce test d'égalité ou cette inégalité est toujours décidable ? Par exemple, si je demande $a\sqrt{2}+be^2+c \pi >0$ avec $a,b,c \in \Z$, comment décider si c'est vrai ou faux (en fonction de $a,b,c$) ?
En physique, il y a la fonction qui compte le nombre de photons qui ont telle fréquence et telle direction. Elle renvoie donc un entier. Mais est-ce qu'on ne peut pas se contenter d'une version simplifiée des entiers (sans indécidable)? Il est vrai que si une version simplifiée des entiers ne contenait pas d'indécidable, une version plus complexe n'en contiendrait peut-être pas non plus. Mais je pensais à la théorie: $\forall x, \forall y, x+1=y+1 \implies x=y$. Et $ \forall x, x+1 \neq 0$, ainsi que $(x+y)+z=x+(y+z)$ et $x+y=y+x$. Théorie qui est très simplifiée. Peut-être $\exists x, x+x=1$ est indécidable, mais tous les test d'égalités $1+ \cdots+1=1+1+ \cdots+1$ sont décidables.
Merci.

Réponses

  • La physique n'est pas comparable aux mathématiques sur ce point : le monde décrit par la physique (certains pourraient dire la réalité) reste le juge de paix de chaque théorie, si une théorie (physique) ne rend pas compte d'un phénomène observé, il "suffit" de rajouter un axiome qui rendra compte de ce phénomène.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Pour être un tout petit peu plus précis, le "juge de paix" est l'interprétation des expériences. Et du coup, quand il n'y a pas d'expérience (parce qu'on ne sait pas comment faire ou parce qu'on n'a pas les moyens techniques de la réaliser), on a l'équivalent physique des énoncés indécidables.

    Et effectivement, c'est au modèle de s'adapter à la réalité, quitte à ajouter autant d'axiomes que l'on veut (même si ce n'est pas trivial à faire).
  • @Matricule_63 : le cas que vous décrivez me fait plus penser à un énoncé dont on ne connait pas la véracité ou la fausseté dans un modèle particulier (par exemple Syracuse dans $\mathbb N$) qu'à un énoncé indécidable.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • umrk
    Modifié (28 Jun)
    si l'on pose (et immobilise) un bâton parfaitement droit et équilibré, sur une pointe infiniment rigide, parfaitement vertical, sur un sol parfaitement rigide, sans aucune perturbation extérieure (vent, vibration ..), la  question de savoir dans quelle direction il va tomber est indécidable. Mais ça n'empêche pas de dormir les physiciens, parce que toutes ces hypothèses sont fausses dans la vraie vie ...
  • .. mais je me demande si un physicien ne pronostiquerait pas que, dans les hypothèses ci-avant, mon bâton ne tomberait pas, tout simplement ! (il n'aurait aucune raison de le faire ...)
  • @urmk : Ben le bâton ne tomberait pas. Mais tu connais le dôme de Norton https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%B4me_de_Norton ? Je ne souscris pas au blabla sur le déterminisme parce que je pense que c’est hors-sujet, mais l’exemple est mathématiquement intéressant.
  • Merci ! (c'est l'intérêt de ce site !). Très perturbant,en effet ...
  • Lirone93
    Modifié (29 Jun)
    umrk a dit :
    .. mais je me demande si un physicien ne pronostiquerait pas que, dans les hypothèses ci-avant, 
    Ou alors dans une superposition d'états : il tombe à droite et à gauche, en même temps ;)
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Tant qu'on y est, j'ajoute l'hypothèse : le bâton est une onde.
  • Lirone93
    Modifié (29 Jun)
    Ou un ressort horizontal dont les extrémités sont fixées aux deux bouts du bâton. 
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Merci pour les réponses. Si il y avait des indécidables en physique, on ne s'en rendrait peut-être pas compte, car on ne peut traiter qu'un nombre fini de cas pendant une durée finie. De même tout énoncé de l'arithmétique de Peano ne portant que sur un nombre fini d'entiers est décidable (énoncé du type $\forall x \leq 1000, \exists y \leq 100, P(x,y)$).

  • Bonjour,
    @marco
    J’interprète librement le concept d’indécidabilité en mathématiques comme « une limite fondamentale à notre connaissance ». Même si une proposition est vraie on ne peut la démontrer dans le système d’axiomes. 
    Un cas similaire existe bel et bien en physique. 
    Le concept équivalent en physique est « une limite fondamentale à notre connaissance (à ce que l’on peut mesurer). »
    Exemples : 
    -le principe d’incertitude de Heisenberg (position vs vitesse d’une particule)
    -le problème de la mesure quantique (quel est l’état du système avant la mesure)
    -l’hypothèse du continuum cosmique (infinité de l’univers)


  • YvesM a dit :

    J’interprète librement le concept d’indécidabilité en mathématiques comme « une limite fondamentale à notre connaissance ». 
    C'est au choix une très mauvaise compréhension de la notion d'indécidable ou une vision platonicienne extrême.
    En tout état de cause, je ne comprends pas comment l'indécidabilité de la commutativité dans la théorie des groupes peut-être « une limite fondamentale à notre connaissance ».
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • umrk
    Modifié (3 Jul)
    Tu expliques pourquoi c'est impossible, mais on aimerait quand même connaître la position ET la vitesse, et c'est difficile d'y renoncer (en tout cas pas "naturel"), même avec les meilleurs arguments du monde .....
  • Bonjour,
     Je n'aime pas trop me lancer dans des controverses, mais tant pis:
    Une particule est une onde (dans le formalisme que je connais), l'inégalité de Heisenberg peut être déduite de l'équation de Schrödinger (et probablement de celle de Dirac, je ne me suis jamais penché sur la question). Je ne connais pas le formalisme de Heisenberg, mais dans l'autre, parler de la position et de la vitesse d'un électron comme celle d'un point matériel est du même ordre que de parler de la position et de la vitesse d'une onde électromagnétique qui obéirait aux équations de Maxwell.

  • Georges Abitbol
    Modifié (3 Jul)
    Il y avait cet article dont quelqu’un avait parlé sur le forum, je crois. Ça dit que la présence d’un trou spectral dans un halmiltonien est (algorithmiquement) indécidable. D’après la fin de l’abstraction, ça permet aussi de conclure qu’il existe des systèmes dont la présence de trou spectral est n’est pas démontrable, et son absence aussi. L’écho que j’avais eu est que cet article ne contient que des raisonnements standard à propos d’indécidabilité et que c’est juste appliqué à ce problème de trou spectral. 

    Si j’ai bien compris, « trou spectral » veut dire, en maths, que la plus petite (parfois la plus grande si on renverse tout) valeur propre est isolée, et en physique, ça doit être important puisque le problème de Yang-Mills en parle.
  • On pourrait dire que la théorie des cordes, qui depuis des décennies est incapable de fournir une prédiction vérifiable par une expérience, est indécidable du point de vue physique.
  • umrk
    Modifié (4 Jul)
    Après, on peut soutenir que chercher à connaître simultanément la position et la vitesse d'une particule n'est pas une question indécidable, parce que ce n'est pas une bonne question, une qui a un sens !. (ça me rappelle une anecdote de Michel Demazure, venant, (très respectueusement), (sur le conseil de JP Serre), trouver Grothendieck pour lui poser une question qu'il n'arrivait pas à résoudre, obtint alors cette réponse "ce n'est pas la bonne question" ! 

    https://www.youtube.com/watch?v=bT5XVVuXklA
  • Héhéhé a dit :
    On pourrait dire que la théorie des cordes, qui depuis des décennies est incapable de fournir une prédiction vérifiable par une expérience, est indécidable du point de vue physique.
    D'habitude on ne parle dans ce cas là non d'indécidabilité mais d'irréfutabilité. 
    En plus c'est à ma connaissance complètement faux, le problème n'étant pas là mais que les expériences nécessiteraient une quantité d'énergie trop importante pour penser pour l'instant pouvoir les mettre en oeuvre. 
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Congru
    Modifié (4 Jul)
    marco a dit :
    Bonjour,
    Est-ce qu'il y a nécessairement des énoncés indécidables en physique ?
    Une théorie $récursive$ et $cohérente$  dans laquelle on peut encoder $\N$ avec les axiomes de Peano admet des énoncés indécidables (il me semble). Mais est-ce qu'on a besoin des axiomes de Peano en physique ?


    rajout de $récursive$ et changement de "contient des indécidables" en "admet des énoncés indécidables"
    Edit. j'avais oublié de rajouter $cohérente$



    Mathématiques divines
  • Merci pour vos réponses.
    @YvesM : en effet, même si on montre que l'univers (l'espace) tel qu'on le connait est à peu près une sphère ou un compact (il faut faire abstraction des trous noirs il me semble qui introduise de la non-compacité ?), il y a peut-être d'autres univers (comme en théorie des cordes). À moins qu'il s'agisse du diamètre fini ou infini de l'univers. Ou du volume ? Est-ce qu'il y a toujours une forme volume sur une variété riemannienne de dimension 3 ?
    Est-ce qu'on peut aussi se demander si la quantité d'information de l'univers est finie ou infinie ? Ou ça n'a pas de sens ?
    @Georges Abitbol : merci pour le lien sur le dôme de Norton. Merci pour l'article sur le "trou spectral", bien que je ne comprenne pas exactement ce qu'on appelle "système" en dimension infinie.
    @Congru ; merci pour la précision.
  • Bonjour, pour la question de forme volume (globale) sur une variété riemannienne de dimension 3. Il me semble qu'il y a un propriété qui dit qu'il existe une forme volume sur une variété riemannienne si et seulement si elle est orientable. Et si par exemple on prend le produit d'une variété riemannienne de dimension 2 non orientable avec une variété riemannienne de dimension 1, je pense qu'on obtient une variété riemannienne de dimension 3 qui n'est pas orientable donc pas de forme volume. (ça reste à vérifier).
  • marco
    Modifié (7 Jul)
    Merci @Barjovrille : en effet, si la variété n'est pas orientable, il ne doit pas y avoir de forme volume. Est-ce qu'on peut définir une forme volume au carré ? Pour $e_1,e_2,e_3$ des vecteurs orthogonaux, on définit la forme volume au carré qui vaut $Q(e_1)Q(e_2)Q(e_3)$, où $Q$ est la forme quadratique.
  • Bonjour marco,

    selon toi physique = ?

    • ? =réalité
    • ?=perception
    sinon c'est quoi, selon toi, ce que tu nommes physique ?
  • Bonjour @samok ,
    La physique (au sens large c'est-à-dire que cela peut inclure la chimie, la biologie,...), pour moi, c'est l'axiomatisation de la réalité: trouver les lois de la nature.
  • Hum, je crois que j’avais lu, dans un Berger de géométrie, une histoire de « valeur absolue » de forme volume. Ça s’appellerait « densité », si mes souvenirs sont bons. Ah, je viens de regarder sur wiki et il y a ça : cliquer (et regarder la page anglophone).
  • Lirone93 a dit :
    Héhéhé a dit :
    On pourrait dire que la théorie des cordes, qui depuis des décennies est incapable de fournir une prédiction vérifiable par une expérience, est indécidable du point de vue physique.
    D'habitude on ne parle dans ce cas là non d'indécidabilité mais d'irréfutabilité. 
    En plus c'est à ma connaissance complètement faux, le problème n'étant pas là mais que les expériences nécessiteraient une quantité d'énergie trop importante pour penser pour l'instant pouvoir les mettre en oeuvre. 
    Quelle différence cela fait si les prédictions demandent des quantités astronomiques d'énergie que l'on n'aura sans doute jamais à disposition ? 

    Un peu de lecture : https://physics.stackexchange.com/questions/772942/why-has-it-been-so-hard-to-come-up-with-testable-predictions-for-string-theory

    Je recommande aussi la lecture de Not Even Wrong: The Failure of String Theory and the Search for Unity in Physical Law de Peter Wolt (ainsi que son blog : https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/) ainsi que Lost in Maths : 
    comment la beauté égare la physique de Sabine Hossenfelder pour comprendre en quoi la théorie des cordes (ou plutôt les théories des cordes) est un échec qui parasite la recherche en physique théorique depuis des décennies. 

    Une petite vidéo aussi : 
  • Lirone93
    Modifié (9 Jul)
    La différence je n'en sais rien mais je ne fais d'abord ni procés d'intention ni militantisme, ni rien, sur la théorie des cordes ou sur tout autre théorie physique.

    Je veux dire seulement que toute théorie incapable de proposer une expérience la mettant possiblement à défaut, est qualifiée en épistémologie d'irréfutable et non d'« indécidable ».

    Pour la théorie des cordes, tu dis que c'est tellement hors de portée, que ça en est irréfutable.

    Soit, mais il y a aussi, ce que tu as oublié, des théories irréfutables comme par exemple aller voir ce qu'il y a « au-delà de l'univers observable » et là ce n'est pas une question d'énergie (Saint Yort, ça va fort ?) mais d'impossibilité  « actuelle $\land$ théorique ». 

    Ça ne fait pas de différence peut-être pour un mathématicien mais ce sont les physiciens qui ont d'abord la main ici, pas les mathématiciens. 

    Bref, ce n'est pas bien d'avoir une dent contre une théorie même comme celle de la théorie des cordes (en l'occurrence, le fil dentaire ça dépanne bien parfois...).

    Quand au fond du sujet, pour finir, je suis entièrement incompétent en ce domaine de la théorie des cordes, au cas où on aurait pas compris. 
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • marco
    Modifié (10 Jul)
    J'avais lu "Même pas fausse", la traduction en français de "Not even wrong".
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