Racines réelles

Amadou

Bonjour ! Je n'ai pas tout à fait compris la correction même en regardant la vidéo. Je ne comprends pas bien pourquoi on doit montrer l'existence d'un polynome nul ? Et du coup pourquoi $z=e^{i\theta}$ alors qu'il est dit que $z\in \mathbb{C*}$.




S'il y a d'autres méthodes plus facile et rapide, j'aimerais bien qu'on m'aider. 

zeitnot

Le 1 montre l'unicité. Si on prend 2 polynômes vérifiant l'égalité, on démontre que la différence de ces deux polynômes est le polynôme nul, donc ils sont égaux.

Pour $z=e^{i\theta}$ c'est bien un nombre complexe non nul, je ne comprends pas ton objection.

Noveang

Pour l'unicité, pourquoi faire le choix particulier $z = e^{i\theta}$ ? Le fait que $\forall z \in \mathbb{C}^*, ~(P - Q)\left(z + \dfrac{1}{z}\right) = 0$ n'est-il pas suffisant ?

JLapin

Encore faut-il justifier que $z+\dfrac{1}{z}$ prend une infinité de valeurs quand $z$ décrit $\C^*$...

Noveang

D'accord, c'est la subtilité que j'entrevoyais, mais dans quelle mesure peut-on considérer que c'est acceptable de ne pas le justifier ? De la même manière qu'on ne justifie pas explicitement pourquoi $2\cos(\theta)$ prend une infinité de valeur, auriez-vous tiquer si cette même affirmation était faite pour $z + 1/z$ ?

JLapin

Selon moi, à un niveau proche du bac, le corrigé que je lis présentement est aussi incomplet que ta proposition de preuve : il manque la mention a minima du fait que l'intervalle $[-2,2]$ est infini.

Sauf que l'auteur d'un corrigé sur internet s'en fiche et à raison : il a probablement déjà passé ses concours.

Amadou

zeitnot a dit :

Le 1 montre l'unicité. Si on prend 2 polynômes vérifiant l'égalité, on démontre que la différence de ces deux polynômes est le polynôme nul, donc ils sont égaux.

Je ne comprends pas. Par contre l'exercice demande de montrer l'existence. Pourquoi l'unicité ?

Pour $z=e^{i\theta}$ c'est bien un nombre complexe non nul, je ne comprends pas ton objection.

Mais si l'on suppose $z=e^{i\theta}$, n'est-il pas un cas particulier des nombres complexes $\mathbb{U}$ de module 1 ! Alors qu'il est dit que $z$ est un complexe quelconque non nul donc je dirais de la forme $z=re^{i\theta}$.

JLapin

Amadou a dit :

Je ne comprends pas. Par contre l'exercice demande de montrer l'existence. Pourquoi l'unicité ?

Lis mieux la première ligne de l'énoncé.

Amadou

JLapin a dit :

Lis mieux la première ligne de l'énoncé.

Je vois maintenant ! Merci.
Merci de bien vouloir me détaillé la réponse 3). J'ai vraiment du mal à comprendre.

Perso j'ai pensé à considérer la fonction $f_n=z^n+\frac{1}{z^n}$. Mais je ne me vois pas avancer.

zeitnot

Amadou a dit :

Mais si l'on suppose $z=e^{i\theta}$, n'est-il pas un cas particulier des nombres complexes $\mathbb{U}$ de module 1 ! Alors qu'il est dit que $z$ est un complexe quelconque non nul donc je dirais de la forme $z=re^{i\theta}$.

Ce n'est pas un problème, l'auteur du corrigé veut montrer qu'il y une infinité de racines... C'est bien ce qu'il fait.

Si dans une salle je veux montrer qu'il y a au moins 200 personnes, si je ne considère que les bruns et qu'ils sont 243, ça répond à la question non ?