La projection des cancres

(Fil inspiré par les splendides épures de cailloux, voir https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2338022/parabole-s-et-foyer-s#latest)

Bonjour,

Toto ne s'est manifestement pas foulé !! Il s'agissait de construire la projection orthogonale sur le plan $\cal P$ (donné par ses traces horizontale et frontale) d'un point donné par ses projections $M$ et $M'$. Les projections putatives $m$ et $m'$ ne sont même pas sur une même ligne de rappel ; c'est n'im-por-te-quoi !

Alors, voici trois questions : 
a) Quels sont les points de l'espace affine euclidien pour lesquels $m$ et $m'$ sont sur une même ligne de rappel (ce qui donne l'illusion d'une construction exacte) ?
b) Quels sont les points de l'espace affine euclidien pour lesquels la construction est exacte ?
c) Proposer une construction exacte. 


Réponses

  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonsoir @john_john ,
    Je commence par c) en utilisant le plan de bout qui projette frontalement la perpendiculaire issue de $M,M'$ au plan donné :

    @Toto est un sagouin.
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonjour @john_john ,
    J'ai presque immédiatement répondu à c) mais alors pour a) ! ...
    Il existe un plan perpendiculaire au plan $P\alpha Q'$ et qui passe par le point $\alpha$ intersection du plan de départ et de la ligne de terre qui donne l'illusion que la construction de Toto fonctionne (avec $m$ et $m'$ sur une même ligne de rappel).
    Pour l'instant je n'arrive pas à déterminer (construire) ce plan. Je continue mes recherches ...
    Amicalement.
  • Bonjour, cailloux,
    pour les a) et b), je n'ai pas cherché à raisonner géométriquement, mais par le calcul ; la question est alors l'interprétation des résultats relativement aux données.

    Pour le c), voici ma construction (qui est sans doute analogue à la tienne, quoique moins élégante) ; je pars du principe que, si $\cal N$ est le projeté orthogonal cherché, il se projette à son tour sur la trace horizontale du plan que le point $\cal M$ lui-même. Je relève donc dans le plan $(P)$ la projetante de $\cal M$ sur la trace horizontale de $(P)$. La même chose se fait alors pour les projections frontales (je finis par celle-là car je le vois mieux ainsi : prendre de la hauteur m'est plus simple que prendre du recul).
    Amicalement, j__j


  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonjour,
    Je reviens sur a) avec une épure :

    On part d'un couple de points quelconques $m,m'$ sur une même ligne de rappel de notre ami Toto, chacun sur les traces du plan donné $P\alpha Q'$.
    On construit par l'intermédiaire des points $a,a'$ et $b,b'$ les traces du plan $R\alpha S'$ ensemble de points pour lesquels la "construction" de Toto semble fonctionner.
    Ce plan est perpendiculaire au plan initial et passe par $\alpha$ point d'intersection de $P\alpha Q'$ et de la ligne de terre.
    Sur l'épure, un point $M,M'$ du plan $R\alpha S'$ est construit (via une horizontale de ce plan).
    On vérifie que les projections $n$ et $n'$ sont sur une même ligne de rappel.
    Merci @john_john : j'ai sué sang et eau sur cette question ...
    Amicalement.
  • Joli !

    Voici ce que donne le calcul, et qui est confirmé par ton raisonnement : 

    b) La construction est exacte lorsque le point $M$ appartient à la droite $(D)$ dont les projections sont les droites orthogonales respectives en $\alpha$ aux traces de $(P)$. La projection donne alors le point $\alpha$ : elle ne fonctionne que lorsqu'elle est triviale. La droite $(D)$ est donc la normale en $\alpha$ à $(P)$.

    a) La construction est exacte en apparence lorsque $M$ appartient à un plan $(\Pi)$, orthogonal à $(P)$ et contenant le droite $(D)$.

  • Merci @john_john pour ces compléments.
    J'ai pu vérifier le point b) sur mon épure.
    C'était intéressant et amusant.
    Amicalement.
  • Et voici mon épure pour le a) (une fois que l'on sait que l'ensemble $(\Pi)$ est un plan ; la projection $m$ varie sur la trace $(\cal P_H)$..

     
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Finalement on avait fait les mêmes ! ;)
    On aurait du demander à Toto comment construire les traces d'un plan orthogonal à un plan donné et passant par une droite donnée...
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonjour,
    Une minuscule vérification "descriptive" :

    On pouvait aussi vérifier que le plan $R\alpha S'$ contenait la normale en $\alpha$ au plan $P\alpha Q'$. Beaucoup plus simple.
    [Edit] Modifié l'épure pour y ajouter deux angles droits (en $M$ et sur la charnière).
  • Bonjour, cailloux,
    un peu au-dessus de la ligne de terre, est-ce bien un rabattement du point $M$ que tu as effectué ?
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonjour john_john,
    Exactement : je voulais "visualiser" l'angle des deux plans $P\alpha Q'$ et $R\alpha S'$ donc l'angle de deux droites orthogonales à ces plans issues ici de $(M,M')$.
     - La première (déjà existante) est $(Mn,M'n')$ orthogonale au plan $P\alpha Q'$.
     - La seconde est la normale au plan $R\alpha S'$ en $(M,M')$
    (Projections horizontales en bleu et frontales en magenta).
    On rabat le plan des deux droites autour d'une de ses horizontales (dans un plan horizontal).
    On peut voir l'horizontale en question en trait fin noir vers le haut de l'épure (points de passage non nommés).
    Sa projection horizontale (la charnière) est en pointillé noir (toujours entre deux points non nommés).
    Le point $M$ est enfin rabattu dans un plan horizontal en $M_1$ via un report de cote relative en $M_0$ et un arc de cercle.
    Comme on pouvait s'y attendre, on obtient un angle droit (rouge) en $M_1$ angle des deux droites initiales vu en vraie grandeur.
    C'est se donner un peu de mal pour pas grand chose vu qu'on peut vérifier facilement que le plan $R\alpha S'$ contient la normale en $\alpha$ au plan $P\alpha Q'$ ce qui suffit mais je voulais absolument "voir" cet angle droit.
  • Bonjour, cailloux,
    effectivement : j'avais bien repréré la charnière puisque le centre de l'arc de cercle de rabattement lui appartient ainsi que le point $M$ à rabattre (puisque c'est à partir de lui que tu en as reporté la cote). En revanche, je n'avais pas deviné qu'il s'agissait de voir l'angle droit.
    Je vais d'ailleurs me préparer une macro (en Géogébra) qui effectue rabattements et relèvements sans faire aparaître les lignes de construction car l'épure devient alors un vrai fouillis s'il y a plusieurs de ces opérations (exemple : tracer le cercle circonscrit à un triangle ; j'espère que Toto ne va pas se planter, cette fois :) ).
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonjour john_john,
    Puisque tu souhaites réaliser des macros, je vais me permettre quelques remarques sur les rabattements/relèvements. J'espère que tu ne t'en offusqueras pas.
    D'abord une perspective relative au rabattement d'un point d'un plan :

    Je pense qu'elle par le d'elle-même : un point $M$ du plan $P\alpha Q'$ est rabattu dans le plan horizontal de projection autour de la charnière $\alpha P$, trace horizontale du plan $P\alpha Q'$, en $m_1$. On passe par l'intermédiaire du point $m_0$ reporté via la cote de $M$ soit $mM$.
    Maintenant une épure d'un triangle $MAB\simeq (mab,m'a'b')$ du plan $P\alpha Q'$ :

    Seul, le point $M\simeq (m,m')$ est rabattu en $ m_1$ avec la méthode indiquée sur la perspective (voir les lignes de construction).
    Les points $A\simeq (a,a')$ et $B\simeq(b,b')$ sont rabattus dans le plan horizontal de projection en $a_1$ et $b_1$ en utilisant les règles suivantes :
    1) Le rabattement d'un point et sa projection horizontale sont sur une même perpendiculaire à la projection horizontale de la charnière de rabattement (ici $\alpha P$).
    2) Le rabattement d'une droite et sa projection horizontale se coupent sur la projection horizontale de la charnière.
    On a obtenu ici le triangle $m_1a_1b_1$ vu en vraie grandeur et tout se passe dans le plan horizontal de projection. Les cotes des points (hormis celle de $M$) sont inutiles.
    Pour le relèvement, c'est le problème inverse : cette opération n'est possible que si les projections d'un point sont données.
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    C'était trop tentant :

  • Bonjour, cailloux,
    comment as-tu fait pour relever le cercle circonscrit depuis le plan horizontal ? Trois points suffisent pour définir un cercle, mais il en faut cinq pour une ellipse (dans la construction que j'avais faite de mon côté, je relevais le centre du cercle et je construisais les symétriques de deux des siommets du triangle par rapport à ce centre). C'est sans doute ce que tu as fait..
    Amitiés, j__j
  • cailloux
    Modifié (June 2024)
    Bonjour john_john,
    J'ai simulé une épure de nos aïeux où les lieux cherchés étaient reportés point par point.
    Je pars du point courant $n_1$ du cercle circonscrit rabattu $m_1a_1b_1$
    Il est relevé via la corde $(n_1m_1)$ qui recoupe la charnière $\alpha P$ en un point non nommé. Appelons le $\varphi$.
    La droite $(\varphi m)$ recoupe la perpendiculaire à la charnière issue de $n_1$ en $n$ projection horizontale du point courant $N\simeq n,n'$. L'horizontale du plan $P\alpha Q'$ passant par $N$ permet d'obtenir sa projection frontale $n'$.
    Tout ceci à l'intention des lecteurs éventuels  mais pas vraiment à toi, john_john qui sait ce qu'est la géométrie descriptive.
    La suite : les deux ellipses sont le résultat de la commande GeoGebra "lieux" des points $n$ et $n'$ lorsque $n_1$ décrit le cercle $m_1a_1b_1$.
    Et tu as raison! Cette "solution" est tout à fait lamentable dans la mesure où les "lieux" de GeoGebra sont inutilisables pour une éventuelle suite.
    Comme tu l'as précisé, il vaut beaucoup mieux relever le centre $o_1$ du cercle $m_1a_1b_1$ en $(o,o')$ pour obtenir des ellipses "en dur" via des symétriques et la commande "Conique par 5 points" de GeoGebra.
    Il semblerait qu'il y ait une exception lorsque le triangle $MAB$ donc aussi $m_1a_1b_1$ est rectangle en l'un de ses sommets...
    En géométrie descriptive, le Roubaudy est la référence absolue (à un niveau supérieur).
    Ma petite bible personnelle à un niveau élémentaire est le Avignant. Je me permets de poster sa première de couverture tout à fait de circonstance :

    Amitiés.
  • pappus
    Modifié (June 2024)
    Merci Cailloux
    J'ai ce livre dans ma bibliothèque et sur le même sujet, j'ai aussi le Roubaudy, un véritable pavé, le Commissaire et Cagnac et le F.G-M.
    Je suis hélas devenu trop vieux et je n'ai plus suffisamment de neurones pour en profiter.
    Heureusement les triangles anticéviens sont suffisamment élémentaires pour rester à ma portée!
    Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves
    Amitiés 
    pappus
  • Bonsoir pappus,
    Je suis enchanté de te voir intervenir sur ce fil.
    J'avais bien noté "ailleurs" que tu suivais mes aventures descriptives avec notre ami john_john.
    Mes différents commentaires n'étaient pas vraiment destinés à john_john à qui je n'ai rien à apprendre mais plutôt à un quidam qui se serait égaré sur ce fil par pur hasard.
    Le quidam en question voit pour la première fois de sa vie une épure de descriptive plus ou moins compliquée :
    première réaction : courage, fuyons. Il n'y voit qu'une figure cabalistique innommable.
    Avec de l'expérience, une épure, aussi compliquée soit-elle, se lit comme un livre. Je ne suis pas d'accord avec ceci :
    pappus a dit :

    Je suis hélas devenu trop vieux et je n'ai plus suffisamment de neurones pour en profiter.
    Heureusement les triangles anticéviens sont suffisamment élémentaires pour rester à ma portée!


    De mon point de vue, la descriptive est une discipline géométrique tout à fait élémentaire et facile à aborder.
    Tu risques de faire fuir mon malheureux quidam qui n'était déjà pas très rassuré.
    Ceci dit, un excellent exercice, pour un débutant, consiste à décrypter une épure toute faite.
    Amitiés.
  • Bonne nuit Cailloux
    Mon problème est que je n'ai plus fait de géométrie descriptive depuis de nombreuses décennies et que j'ai pratiquement tout oublié.
    Je dois donc faire un effort pour comprendre la moindre épure et je suis très paresseux!
    Amitiés
    pappus
  • Bonjour à tous,
    rassure-toi, pappus, comme je n'ai pratiqué la descro qu'un demi-trimestre en Sup (à la rentrée de 70), je ne retrouve que très progressivement mes automatismes, lesquels sont ralentis par le principe même de l'épure, qui accumule moult traits de construction ou de rappel.
    Par parenthèse, la descro n'était déjà plus au programme à l'époque, mais sans doute le professeur se faisait-il plaisir (et à nous aussi), à moins que, comme moi, il n'ait eu l'habitude de consulter les changements de programme que pour savoir quoi ajouter à son cours, les suppressions ne se faisant que très longtemps après :)
  • Vous pouvez télécharger cet ouvrage (1923): Cours complet de mathématiques spéciales, tome IV, géométrie descriptive et trigonométrie, par J. Haag.
    Il contient des exercices et des épures incroyables.
    Pour les cancres stratosphériques…




  • Grand merci, beguine_equation :)

    https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4224495x?rk=150215;2

    De la part d'un cancre sidéral, j__j


  • À propos : le J.Haag que j'ai trouvé, Tome IV, s'appelle Exercices du cours. Est-ce bien le même que celui dont tu parles ?

    Un cancre entéléchique, j__j
  • john_john,

    ce n’est pas tout à fait le même en effet. Celui de Galica ne contient que les exercices résolus. Ma version contient le cours complet, quelques énoncés et les exercices résolus. 
    J’ai pu télécharger l’ouvrage mais il est trop volumineux pour le poster ici.
  • En as-tu l'adresse ?
  • Je n’arrive pas à retrouver l’adresse mais si tu tapes le titre et son auteur (Jules Haag), tu peux l’avoir sur internet archives.



  • Merci !

    En outre, le pdf d'Internet Archive est trois fois moins lourd que celui de Gallica
  • John_john: j’ai essayé de poster le lien direct vers internet archives mais il n’apparaît pas.

    Je ne résiste pas à l’envie de poster cette planche de l’ouvrage pour que chacun puisse se faire une idée de la complexité des épures (elles sont quand même accompagnées de nombreuses explications)


  • Bonjour à tous,
    Tout d'abord merci à @biguine_equation d'avoir exhumé ce vieux grimoire que j'ai pris le temps de "feuilleter".
    Il a un côté désuet qui est presque plaisant. Son grand intérêt (hormis le fait non négligeable qu'on le lit sur le net) réside dans les exercices corrigés avec force détails dans les notices (peut-être trop ?)
    Quelques petites critiques :
     - Il y est régulièrement fait allusion à des théorèmes du tome 2 de géométrie.
     - Les notations qui mélangent allègrement minuscules et majuscules et ne tiennent souvent aucun compte des "primes" dans les projections frontales, ne facilitent pas la compréhension.
    Je pense néanmoins que c'est un "bon" bouquin.
    Mais il reste, de mon misérable point de vue, que la référence en la matière au niveau supérieur est le Roubaudi :

    Première édition en 1916 et de nombreuses rééditions. La mienne date de 1946. Un pavé de 578 pages.
    Je l'avais acquis sur le net il y a quelques années. Je ne sais pas si c'est possible aujourd'hui.
    Le gros bémol : de nombreux exercices mais non corrigés.
    P.S. La dernière épure publiée par @bi@biguine_equation peut sembler "compliquée". Il s'agit de l'exercice 4 et de sa figure 19.
    Elle est en fait très simple : deux surfaces de révolution d'axes sécants. La méthode classique utilisée est celle des sphères auxiliaires centrées au point de concours des axes. L'épure est surchargée avec les constructions de points limites et de tangentes qui l'obscurcissent mais le point courant de l'intersection des deux surfaces se limite à quelques lignes de construction.
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