Une suite implicite

eiram

Bonjour. Voici un exercice posé à l'école Navale en 2023.

a) Pour $m>1$, montrer qu'il existe un unique $\left.x_m \in\right]-2,-1$ [ tel que $m \ln \left(1+\frac{x_m}{m+1}\right)=x_m$.

b) Étudier la suite $\left(x_m\right)_{m>1}$.

Pour a), je montre que  $f_m:x-> m \ln \left(1+\frac{x}{m+1}\right)-x$ est définie et continue sur $[-2,-1]$, strictement croissante et que $f_m(-2)<0<f_m(-1)$.

Pour b), j'ai deviné avec la calculatrice que la suite $(x_m)$ était décroissante. J'ai donc voulu comparer $x_m$ à $x_{m+1}$ en étudiant le signe de $f_m(x_{m+1})$, mais là je bloque... Si vous avez des idées, je suis preneuse. Merci d'avance.

Math Coss

Tu peux essayer de comparer $f_m(x)$ et $f_{m+1}(x)$ pour $x<0$.

eiram

Les courbes de $f_m$ et d $f_{m+1}$ se coupent entre -2 et -1, donc cela ne donne rien d'utile.

eiram

eiram

Les courbes de $f_2$,$f_3$ et $f_4$ en rouge, bleu et noir.

bd2017

Bonjour

Voilà comment je fais:  Je pose $y_m=-2+\dfrac{2}{3 m}$  et $z_m=-2+\dfrac{2}{3 m}-\dfrac{4}{9 m^2}$ 

Puis $h_1(m)=f_m(y_m)$  et  $h_2(m)=f_m(z_m).$

Une étude des fonctions  $h_1$ et $h_2$ (pour tout $m\geq 2$)  montre que $h_1$ garde un signe constant positif et $h_2$ un signe négatif. 

Comme tu as surement déjà étudié la fonction $f_m$  ceci signifie $z_m< x_m<y_m$ et on a tout ce qu'on veut :  

la décroissance, la limite et un comportement asymptotique de cette convergence.

eiram

Très joli. Mais comment un étudiant à Navale peut-il proposer cette solution en moins de 30 minutes? Y-a-t-il une solution plus naturelle pour un élève de CPGE?

JLapin

On peut se contenter d'étudier la convergence de la suite vers $-2$ je suppose, en utilisant un équivalent simple de $\ln(1+t) - t$ en $0$. Ce n'est pas aussi technique que l'étude de la monotonie et ça répond tout de même à cette question b).

jandri

Pour démontrer la convergence de la suite vers −2 et sachant déjà que $f_m(-2)<0$ on peut montrer que pour $x\in]-2,-1[$ on a $\displaystyle\lim_{m\to\infty}(m+1)f_m(x)=-\dfrac{x(x+2)}2$, donc $f_m(x)>0$ pour $m$ assez grand.

bisam

Pour le faire, j'ai introduit la fonction $g:x\mapsto \dfrac{-\ln(1-x)}{x}$, prolongée par continuité en $0$ par la valeur $1$.

On montre facilement qu'elle est de classe $C^{\infty}$ sur $[0,1[$ car c'est la somme d'une série entière de rayon $1$, et elle est également strictement croissante comme somme de fonctions strictement croissantes, sur cet intervalle. Par conséquent, $g$ réalise une bijection de $[0,1[$ sur son image $[1, +\infty[$.
De plus, sa dérivée ne s'annule jamais sur cet intervalle, ce qui permet de justifier que $g$ réalise un $C^{\infty}$-difféomorphisme (bref, de dire que sa réciproque est également $C^{\infty}$).

L'astuce consiste alors à remarquer que l'équation définissant $x_m$ se récrit : \[g(\frac{-x_m}{m+1})=1+\frac{1}{m}\] soit encore \[x_m=-(m+1)g^{-1}(1+\frac{1}{m})\]

On peut alors conclure avec un développement de Taylor de $g^{-1}$.

Lors de l'oral de Navale, il est facile pour l'examinateur de faire réécrire l'équation sous la bonne forme puis de faire étudier la fonction $g$... et voir si l'élève s'en sort.

bisam

Je joins ma feuille de corrigés des exercices de révisions d'oraux de cette année.
Ledit exercice est le numéro 141, corrigé à la page 116.

Bbidule

@bisam: merci pour ce partage !

Quelle est la signification du nombre 99 dans l'entête de ton document ?

Tous les exercices présents dans ce document sont issus de la RMS de cette année ?

Ce polycopié était-il destiné aux séances collectives de préparation aux oraux de ta classe de PSI ?

En te remerciant une nouvelle fois,

jandri

Bravo pour l'introduction de cette fonction $g$ qui résout à la fois les questions a) et b).

Avec peu de calculs on obtient un DL de $g^{-1}$ : $g^{-1}(1+t)=2t-\dfrac83t^2+\dfrac{28}9t^3+o(t^3)$
d'où $x_m=-2+\dfrac2{3m}-\dfrac{4}{9m^2}+o(1/m^2)$.

On en déduit ensuite $x_m-x_{m-1}\sim -\dfrac{2}{3m^2}$ qui prouve que la suite $(x_m)$ décroit à partir d'un certain rang.

bisam

@Bbidule : Le 99 sert juste à classer la feuille de corrections après toutes les autres puisque c'est la dernière de l'année.

Les exercices sont presque tous issus de la RMS, mais seuls les quelques 50 qui sont millésimés 2023 sont issus de celle de cette année. Les autres viennent des années précédentes, essentiellement 2015 et 2019 (je modifie la feuille environ tous les 4 ans).
J'ai donné d'abord la feuille d'énoncés pendant les 15 premiers jours de révision... puis quand les premiers sont partis à leurs oraux, j'ai partagé le corrigé.

Bbidule

merci beaucoup, bisam, pour toutes ces précisions.