Zéros d'une suite de fonctions

Boécien

En étudiant les racines de certains polynômes j'ai trouvé une propriété sans intérêt mais qui peut être amusante comme exercice. Soit

$$f_{n}(z)=\sum_{k=-2n-1}^{2n+2}\frac{(-1)^{k}}{z-k}$$

Montrer lorsque $n\geq0$ que $f_{n}$ a exactement deux zéros conjugués sur la droite $x=1/2$.

Indice : on pourra remarquer que $f_n(z)=f_n(1-z)$.