$\mathbb{R}$ admet, lit-on, la propriété de la borne sup, dans quelle logique?

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Réponses

  • Si ton argument fonctionnait, alors l'humanité pourrait jeter à la poubelle l'axiome du choix dépendant puisqu'en singeant ta "preuve" on en fait une démonstration immédiate.
  • Congru
    Modifié (25 Jun)
    Je ne vois absolument pas en quoi on peut montrer que l'intersection d'un ensemble dénombrable d'ouverts denses est denses via ma construction. ça me flatterais d'être un Coperfield mais là je ne vois pas comment j'aurais fait ce tour de magie.
    Mathématiques divines
  • Quelle mauvaise foi! Tu as prétendu que Wikipedia était menteur, que l'axiome du choix dépendent n'était pas nécessaire pour montrer l'existence de suites construites par récurrence avec un choix à chaque étape (ce dont tu t'es servi dans ta preuve), que tu en avais une preuve, et maintenant tu te défiles! 
  • Axiome du choix dépendant
    Pour tout ensemble non vide $X$, et pour toute relation binaire $R$ sur $X$, et si pour tout $a\in X$, il existe au moins un $b\in X$ tel que $aR b$ alors il existe une suite $x$ d'éléments de X telle que pour tout naturel $n$  on ait $x_n R x_{n+1}$.
    Je vais me prêter au  jeu de ta "preuve" précédente :
    Comme $X$ est non vide, il existe $x_0\in X$. D'après l'hypothèse, il existe $x_1$ dans $X$ tel que $x_0 R x_1$ et ainsi de suite, (par "récurrence transfinie paraît-il").
    Voilà, avec ta "preuve" j'ai prouvé l'axiome du choix dépendant !
    Bullshit évidemment !
  • Congru
    Modifié (25 Jun)
    Les gars, vous me faites une blague ? Désolé, mais il faut que j'aille faire du sport, à mon retour quelqu'un aura probablement éclairci @troisqua et @Alesha.
    Je me défile
     

    Mathématiques divines
  • @Congru : as-tu compris pourquoi la preuve de Foys ne fait pas usage du choix dépendant et pourquoi, a contrario, la tienne l'utilise (en faisant semblant que non) ?
  • raoul.S
    Modifié (25 Jun)
    La preuve de Congru n'utilise aucune forme de l'axiome du choix. Je poste ici une preuve d'existence de fonction par récursion sur les entiers (car c'est ce qu'il utilise finalement) sans AC et sans DC, elle provient du livre de Dehornoy la théorie des ensembles.





    Pour terminer, l'article de Wikipedia ICI est assez clair quand à l'éventuelle utilisation de AC ou DC. Je cite : 
    Proofs or constructions using induction and recursion often use the axiom of choice to produce a well-ordered relation that can be treated by transfinite induction.

    Ce n'est pas le cas de la construction de Congru. Et encore : 

    Other uses of the axiom of choice are more subtle. For example, a construction by transfinite recursion frequently will not specify a unique value for Aα+1, given the sequence up to α, but will specify only a condition that Aα+1 must satisfy, and argue that there is at least one set satisfying this condition. If it is not possible to define a unique example of such a set at each stage,

    Là encore ce n'est pas le cas de la construction de Congru, à aucune étape il ne fait de choix.
  • J'ai mal lu la preuve de Congru et effectivement il ne fait pas de choix. Mea culpa et mes excuses @Congru :)
  • raoul.S
    Modifié (25 Jun)
    Vous pouvez me remercier, je vous ai épargné une de ses preuves à lui... notoirement illisibles :mrgreen:
  • Dans sa preuve, le choix n'est pas fait à chaque étape mais seulement à la première, donc effectivement il n'y a pas besoin de choix dépendent, mais c'est @Congru lui-même qui a induit les lecteurs en erreur car, quand @troisqua a fait référence au théorème nécessitant l'axiome du choix dépendant sur Wikipedia, au lieu de dire qu'il n'utilisait pas ce théorème, il a dit que Wikipédia était menteur.
  • C'est parce qu'il n'a pas bien lu Wikipedia. Des préjugés peut-être... ?

    PS : et franchement si vous souhaitez garder Wikipedia lisible, ne lui demandez plus de corriger un article. Sait-on jamais qu'il décide de le faire vraiment...
  • GG
    GG
    Modifié (26 Jun)
    @Congru, il me semble que tu as construit une suite d'intervalles emboîtés dont l'intersection contient au plus un élément qui est alors la borne cherchée, s'il existe. Mais tu n'as pas démontré que cette intersection est non vide, ou est-ce que je me trompe ?
  • Bonjour à tous,
    Je n 'ai pas lu l'intégralité de cette discussion mais j'ai l'impression qu'elle a occasionné beaucoup de coulage d'encre et de cassage de tête alors qu'il n'y a pas matière à fouetter un chat.
    1) Quelqu'un a écrit plus haut que l'axiome du choix dépendant ACD est la version la plus faible de AC. C'est faux : d'abord il y a l'axiome du choix dénombrable AC$_\omega$ : tout ensemble dénombrable d'ensembles non vides admet une fonction de choix. Et puis il y a toute une hiérarchie d'hypothèses encore plus faibles. Pour citer quelques exemples, 
    a) AC for countable sets : tout ensemble dont tous les éléments sont non vides et au plus dénombrables admet une fonction de choix.
    b) AC for finite sets : idem.
    c) AC for pairs : tout ensemble dont tous les éléments sont des paires admet une fonction de choix.
    d) Et même AC$_\omega$ for pairs : tout ensemble dénombrable dont tous les éléments sont des paires admet une fonction de choix.
    Tous ces énoncés sont indépendants de ZF, mais pour le prouver c'est du sport. Voir Jech : "The Axiom of Choice".
    2) Je ne comprends pas pourquoi tout le monde se casse la tête à vouloir prouver la propriété de la borne sup en partant de la construction avec les suites de Cauchy. Avec la méthode de Dedekind c'est pour ainsi dire une trivialité. On appelle nombre réel toute section commençante ouverte de $\mathbb{Q}$, i.e. toute partie $S \subseteq \mathbb{Q}$ satisfaisant les 4 conditions suivantes.
    (i) $S \neq \emptyset$.
    (ii) $S \neq \mathbb{Q}$.
    (iii) $S$ est initiale : $\forall x \in S, \forall y \in \mathbb{Q}, y \leq x \Rightarrow y \in S$.
    (iv) $S$ n'a pas de plus grand élément : $\forall x \in S, \exists y \in S, y>x$.
    On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels, que l'on ordonne en posant $S \leq T \Leftrightarrow S \subseteq T$.
    Maintenant, soit $I$ un ensemble non vide, et soit $\{S_i : i \in I\}$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$, que l'on suppose majoré, i.e. $\exists T \in \mathbb{R}, \forall i \in I, S_i \subseteq T$.
    Il est alors straightforward de vérifier que l'ensemble $\bigcup \limits_{i \in I} S_i$ est un réel, et que c'est la borne sup des $S_i$.
    A noter qu'en faisant ce raisonnement on n'utilise que l'axiome de la réunion, et en aucun cas une quelconque forme de AC.


  • GG
    GG
    Modifié (26 Jun)
    @Foys, pour un corps totalement ordonné $K$ quelconque, $K$ satisfait à l'ax. de la borne supérieure équivaut à $K$ archimédien et complet. Contrairement à la construction par coupures qui ne s'applique qu'à $\Q$ (ou à un corps archimédien, donc plongeable dans $\R$), la complétion par suites de Cauchy s'applique à tout corps, même non archimédien. Dans ce cas, il semble que ta preuve ne s'adapte pas pour montrer (indirectement) que le corps construit est complet. A-t-on alors tout de même besoin d'un axiome de choix ?
  • @GG j'ai regardé vite fait mais j'ai l'impression au contraire que l'argument s'adapte sans rien changer pour montrer que le complété du corps en question vérifie la propriété de la borne supérieure.

    @Martial ce qu'on économise d'un côté on le paie de l'autre; avec les coupures de Dedekind, les opérations algébriques  (la multiplication surtout) de $\R$ sont un enfer à construire. La preuuve de la borne supérieure n'estpas si difficile que ça pour la construction à suites de Cauchy (il suffit juste d'éviter l'idée naïve de vouloir à tout prix prendre les termes de la suite dans la partie candidate; le sup n'a aucune raison d'y être de toute façon).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys, tu es sûr ? Parce que dans ce cas, le corps construit serait automatiquement archimédien ..
  • Ah oui j'avais mal lu @GG et j'utilise explicitement la propriété d'Archimède pour construire une suite de nombres décimaux.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Le fait que le complété d'un espace métrique est complet se prouve sans AC. Mais dans ton exemple @GG la valeur absolue du corps est-elle à valeur dans $\R_+$ (situation courante dans la "théorie des corps valués") ou dans $K$ lui-même?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys : oui tu as raison, la définition des opérations est un peu pénible avec Dedekind. Mais il me semble qu'il suffit de décider que si $S$ et $S'$ sont positifs, alors
    $$S \times S'= \{xy : x \in S, y \in S'\}$$
    et, pour les autres cas, de parachuter manu militari la règle des signes, et enfin de démontrer que ça fait bien un corps.
    Evidemment, par cette méthode on ne prouve que pas que cette définition était "la seule possible", mais ça me paraît un moindre mal.
  • Dans le document que j'ai publié sur ce fil le 23 juin, les opérations pour la construction de Dedekind sont définies sans difficulté, aurais-je fait une erreur.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Foys, je pensais à la valeur absolue dans $K$ lui-même comme traité dans le chapitre 11.2 Definition of the real numbers du "Algebra" de van der Waerden. Il semble éluder la question du choix car pour établir la complétude du complété de $K$, il introduit une suite de Cauchy de ce complété sans autre forme de procès par une suite double de $K$.
  • Congru
    Modifié (26 Jun)
    raoul.S a dit :
    C'est parce qu'il n'a pas bien lu Wikipedia. Des préjugés peut-être... ?

    PS : et franchement si vous souhaitez garder Wikipedia lisible, ne lui demandez plus de corriger un article. Sait-on jamais qu'il décide de le faire vraiment...

    Je n'ai lu que quelques mots du wikipedia, je me contentais de ce qu'en disait @troisqua et je savais que cela ne pouvait être vrai car j'ai personnellement démontré le théorème de récursion transfinie dans le cas général des relations bienfondées-setlike. Quand quelqu'un me dit un truc que je sais faux et me présente une preuve du truc faux, je ne perd pas de temps en lisant la preuve de près. C'est déjà énorme si j'en lis 3 mots. Tout ceci a failli gâcher mon sport.
    Mathématiques divines
  • Voici ce que citait @troisqua
    "The axiom DC   is the fragment of AC  that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices."
     Il n'y a rien de faux là-dedans.  
  • Congru
    Modifié (26 Jun)
    @Alesha écoute je ne sais pas si la citation est fausse ou pas. Je n'ai pas l'habitude de travailler avec l'axiome du choix dépendant, ce que je sais être faux est la chose suivante: "on a besoin de l'axiome du choix dépendant pour démontrer le théorème de récursion transfinie". Juste pour dire, je ne suis pas là pour faire des débats, moi je fais des maths rien que des maths et apparemment je me défile aussi. Sur un ring j'ai du courage, mais en ligne je n'en ai pas, je suis bizarre comme cela moi.
    Mathématiques divines
  • Si tu ne sais pas si la citation est fausse ou non, ne dis pas qu'elle est fausse : c'est comme ça qu'on fait des mathématiques. 
  • Congru
    Modifié (26 Jun)
    @Alesha Je crois que malgré ce que j'ai dit, tu n'as toujours pas compris, ce n'est pas grave. Mais bon, arrête d'essayer me débattre, je ne suis pas intéressé, ne sais-tu pas ? Je me défile.
    Mathématiques divines
  • GG a dit :
    @Congru, il me semble que tu as construit une suite d'intervalles emboîtés dont l'intersection contient au plus un élément qui est alors la borne cherchée, s'il existe. Mais tu n'as pas démontré que cette intersection est non vide, ou est-ce que je me trompe ?

    Tu fais erreur @GG, je construis deux suites de réels qui sont des suites de Cauchy.
    Mathématiques divines
  • Je n'essaye pas de discuter avec un troll, mais quand je vois qu'un troll écrit n'importe quoi d'un point de vue mathématique, j'ai envie de corriger pour éviter que des lecteurs ne soient induits en erreur. Mais je pense que les choses sont claires pour tout le monde : contrairement à ce que ce troll affirmait, la citation de Wikipedia est exacte. 
  • Congru
    Modifié (26 Jun)
    Bon, maintenant cela en vient aux insultes :D
    Dites, est-ce que j'ai fait quelque chose à @Alesha ? :D
    C'est fou quand même!
    Mathématiques divines
  • Dites, est-ce que j'ai fait quelque chose à @Alesha ? D


    A lui, rien de spécial. Mais tu as donné une opinion sur un article wikipedia en disant plus loin que tu n'avais pas vraiment envie de lire ce sur quoi tu as donné ton opinion.


  • @JLapin peux-tu citer l'"opinion sur un article wikipedia" ?
    Mathématiques divines
  • Congru
    Modifié (26 Jun)
    ???
    Mathématiques divines
  • Je ne sais pas si je dois rire ou juste être consterné. C'est quoi votre problème les gars ?
    Mathématiques divines
  • @Congru, je n'ai pas compris. Comment montres-tu que tes deux suites de Cauchy de réels convergent (vers le même réel) ?
    Autrement dit, et plus précisément, comment montres-tu qu'une suite de Cauchy de réels, définis en termes de classes de suites de Cauchy de rationnels, a pour limite un réel ? Comment le construis-tu sans faire appel à un quelconque axiome de choix (ni raisonnement analogue à celui de Foys) ?
  • Foys
    Modifié (27 Jun)
    Foys a dit :
    Le fait que le complété d'un espace métrique est complet se prouve sans AC.

    A la réflexion je ne suis plus du tout sûr de ça. Sans AC (dépendant) le lien entre suites et propriétés topologiques des espaces métriques est généralement compromis et on voit des choses assez étranges.

    Si les résultats généraux sont faux on peut parfois les rétablir sur des exemples particuliers en s'appuyant sur leurs spécificités (comme pour la complétion de $\R$).

    Pour ta question @GG je n'ai pas la réponse.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • La borne sup c'est un axiome. C'est ce qui défini 
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Congru
    Modifié (27 Jun)
    GG a dit :
    @Congru, je n'ai pas compris. Comment montres-tu que tes deux suites de Cauchy de réels convergent (vers le même réel) ?
    Autrement dit, et plus précisément, comment montres-tu qu'une suite de Cauchy de réels, définis en termes de classes de suites de Cauchy de rationnels, a pour limite un réel ? Comment le construis-tu sans faire appel à un quelconque axiome de choix (ni raisonnement analogue à celui de Foys) ?
    Et pourtant ce que j'ai dit est très clair. Je construis deux suites de Cauchy de réels dont la différence tend vers $0$ et qui vu le théorème de complétude de $\mathbb R$ convergent vers un réel qui ne peut être que le supremum de notre ensemble de départ. Ce n'est pas de ma faute si tu as cru que ces réels étaient des segments. Je sais que c'est de bonne guerre d'essayer de me piéger, mais là ça va un peu loin. En quoi c'est pertinent de me demander "ni raisonnement analogue à celui de Foys" ?


    Mathématiques divines
  • troisqua
    Modifié (27 Jun)
    @Positif : Quand tu veux prouver qu'il existe un exemple vérifiant les axiomes requis tu procèdes à une construction effective (puis éventuellement après tu t'amuses à montrer une unicité à isomorphisme près et ensuite tu peux conclure "j'appelle $\R$ tout machin vérifiant les axiomes ad-hoc". 
    Dans cette discussion, il est question de savoir si une construction effective nécessite ou non une variante faible de l'axiome du choix.
    Par exemple, dans le Lelong-Ferrand / Arnaudies (analyse I), la construction de $\R$ planque, il me semble, une utilisation de l'axiome du choix dénombrable: pile au moment de prouver, comme le fait remarquer @GG , qu'une suite de Cauchy de réels converge vers un réel.
  • @Congru : si tu admets la complétude alors pas de souci, mais on tourne en rond: comment tu prouves la complétude ?
  • Congru
    Modifié (27 Jun)
    @troisqua c'est une bonne question, mon but n'était pas de prouver la complétude, mais juste de construire ces suites de réels. A la base je te faisais une simple suggestion pour construire ces suites et cela a pris une ampleur que je n'avais pas vu venir. Si @Foys a donné une démonstration montrant que $\mathbb R $ est complet sans utiliser $AC$, alors le tour est joué. En ce moment je ne vois pas comment montrer la complétude en utilisant la définition des réels par suites de Cauchy de rationnels et sans me servir de l'axiome du choix.
    Mathématiques divines
  • @Congru

    Pas besoin de l'axiome du choix pour démontrer la complétude de $\mathbb R$ (construction avec les suites de Cauchy de rationnels). On vérifie rapidement que ce $\mathbb R$ est un corps totalement ordonné et archimédien, et par conséquent les rationnels y sont denses.

    Étant donné $(\alpha_n)_{n\ge 1}$ une suite de Cauchy de nombres réels, on munit $\mathbb Q$ d'un bon ordre (il en existe car $\mathbb Q$ est dénombrable, il suffit de prendre l'ordre induit par une énumération des rationnels) et on choisit des nombres rationnels $a_n$ tels que $|\alpha_n - a_n| < \frac{1}{n}$. À cette étape, nul besoin de l'axiome du choix, car le bon ordre donne une fonction de choix. 

    On montre ensuite que la suite $(a_n)$ est de Cauchy dans $\mathbb Q$ et que la classe $\alpha$ de cette suite dans $\mathbb R$ est limite de la suite $(\alpha_n)$.
  • Merci beaucoup @SkyMtn
    Mathématiques divines
  • Merci à tous pour toutes ces contributions très enrichissantes.
  • GG
    GG
    Modifié (4 Jul)
    Une question pour Martial.
    Dans le classique "Algebra", van der Waerden démontre que le complété (par suites de Cauchy) de tout corps totalement ordonné est complet (pour la "distance" induite par la valeur absolue du corps) en s'appuyant visiblement mais implicitement  sur un axiome de choix. J'ai donc essayé, mais vainement, de le démontrer sans axiome de choix. Je me demande alors si c'est possible, d'où ma question :
    Martial, est-ce que tu sais si l'on trouve dans la besace de Jech un théorème du style : cette complétude du complété de tout corps implique tel axiome de choix ?
    Cela montrerait naturellement que ma tentative était vouée à l'échec.

  • @GG : personnellement je ne vois pas très bien où on utilise une version quelconque de AC dans la preuve de ce théorème. Et pour répondre à ta question : non, je n'ai rien trouvé dans la besace de Jech... ce qui ne veut rien dire car elle est vaste.
    Désolé.
  • Merci Martial. Dans le cas où le corps n'est pas archimédien, je veux bien une preuve sans axiome de choix. C'est d'ailleurs précisément ce que je cherche en vain !
  • Sorry, je n'avais pas percuté que tu te plaçais dans le cas non archimédien. Donc là ça sort de mes compétences. Ce que je sais démontrer c'est le théorème suivant.
    Soit $K$ un corps totalement ordonné. Les 4 propositions suivantes sont équivalentes.
    (1) $K$ possède la propriété de la borne sup.
    (2) Toute suite croissante et majorée d'éléments de $K$ est convergente.
    (3) $K$ est archimédien et complet.
    (4) $K$ est archimédien et possède la propriété des segments emboîtés.
    Et là, à ma connaissance, pas besoin d'une forme quelconque de AC
  • GG
    GG
    Modifié (4 Jul)
    Oui, on est bien d'accord.
    En outre, ce que j'ai découvert seulement récemment : 
    a) si $K$ possède la propriété des segments emboîtés, il est complet.
    b) s'il est complet, ça n'implique pas nécessairement la propriété des segments emboîtés.
    Pour a), étant donné une suite de Cauchy (non stationnaire), c'est seulement en lisant van der Waerden que j'ai vu qu'on pouvait construire une suite strictement décroissante convergeant vers $0$, ce qui permet de conclure.
    Pour b), j'ai pensé au corps des séries formelles de Laurent (séries formelles qui peuvent commencer à un exposant négatif) sur $\Q$ qui est non archimédien mais complet, à ma surprise : on se dit au premier abord qu'une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel ne converge pas dans ce corps, mais elle n'est pas de Cauchy ! En revanche une suite de segments emboîtés  d'extrémités rationnelles qui ne contient qu'un irrationnel est vide dans ce corps.
    Peux-tu confirmer ?

  • Je ne suis pas spécialiste des séries formelles mais ça a l'air correct. D'autres avis pourront aider.
  • L'outil suivant (sans AC) peut servir: soit $(E,\leq)$ un ensemble totalement ordonné et $x$ une suite de $E$. Alors on peut extraire de $x$ une sous-suite monotone.

    La preuve consiste à distinguer les deux cas suivants (dans le premier on extrait une suite décroissante et le second, une suite strictement croissante):
    1°) Pour tout $n\in \N$, il existe un entier $p\geq n$ tel que pour tout entier $q\geq p$, $x_q \leq x_p$
    2°) Il existe $n\in \N$ tel que pour tout entier $p\geq n$, il existe un entier $q\geq p$ tel que $x_q > x_p$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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