Convergence de suites

michal

Bonjour, 

Dans un exercice d'oral (Mines PSI), le début est comme suit : 

Soient $E$ un $\mathbb{R}$ espace vectoriel, $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$.

a) Soit $(u_n)$ une suite qui converge dans $(E,\, N_1)$. On suppose que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes. Montrer que $(u_n)$ converge dans $(E,\, N_2)$.

b) On suppose qu'une suite $(u_n)$ converge dans $\left(E,\, N_1\right)$ si et seulement si $\left(u_n\right)$ converge dans $\left(E, N_2\right)$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes.

Ma question concerne la question b). Faut-il la laisser comme ça ou doit-on comprendre : 
On suppose qu'une suite $(u_n)$ converge dans $\left(E,\, N_1\right)$ si et seulement si $\left(u_n\right)$ converge vers la même limite dans $\left(E, N_2\right)$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes.
Merci d'avance pour vos réponses, 
Michal

michal

Voici la suite de l'exo pour ceux que ça intéresse :

c) On prend $E=\mathbb{R}[X],\, a \in \mathbb{R}$ et $N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1\left|P^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$.

Montrer que, si $a, b \in[0,1], N_a$ et $N_b$ sont équivalentes.

d) Soit, pour $n \in \mathbb{N}, P_n=\frac{X^n}{2^n}$. Trouver les valeurs de $a$ telles que $\left(P_n\right)$ converge pour $N_a$ et déterminer alors la limite.

e) En déduire que $N_a$ et $N_b$ ne sont pas équivalentes si $0 \leqslant a<b$ et $b>1$.

Foys

Cet énoncé b) mal quantifié est une honte (qui sont ces suites?).

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $N_1,N_2$ deux normes non équivalentes. Soient $A_1:= \{n\in \N \mid \exists x \in E, nN_1(x) < N_2(x)\}$ et $A_1:= \{n\in \N \mid \exists x \in E, nN_2(x) <  N_1(x)\}$. La non-équivalence des normes $N_1$ et $N_2$  entraîne que  $A_1 \cup A_2 = \N$ et donc l'un des ensembles $A_1,A_2$ est infini. Si $A_1$ est infini il existe une fonction strictement croissante $\alpha: \N \to A_1$ et une suite $(y_n)_{n\in \N}$ de $E$ telle que pour tout entier $n$, $\alpha(n) N_1 (y_n) < N_2(y_n)$ et donc, si on pose $z_n:= \frac {\sqrt (\alpha (n))}{N_2 (y_n)} y_n$ on voit alors que $N_1(z_n)  \leq \frac{1}{\sqrt{\alpha(n)}}$ et $N_2(z_n) = \sqrt{\alpha(n)}$ pour tout entier $n$, par suite $z_n$ tend vers $0$ pour $N_1$ et diverge pour $N_2$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
Le même argument vaut lorsque c'est $A_2$ qui est infini (on échange alors $A_1$ et $A_2$, puis $N_1$ et $N_2$ dans la construction c-dessus).

L'énoncé est "$N_1$ et $N_2$ sont équivalentes si et seulement si toute suite convergente pour l'une est convergente pour l'autre" (sans préciser pour quelles limites ni mêmes si les limites éventuelles sont égales).

raoul.S

michal a dit : 
Faut-il la laisser comme ça ou doit-on comprendre : .... vers la même limite

Comme l'a dit Foys ci-dessus, si les espaces $(E,\, N_1)$ et $(E,\, N_2)$ ont les mêmes suites convergentes alors ces suites ont également les mêmes limites. Voici un autre argument pour le montrer :

Soit $(x_n)$ une suite convergeant vers $x$ pour $(E,\, N_1)$. On considère alors la suite notée $(x_n^{*})$ obtenue en intercalant $x$ entre chaque terme de $(x_n)$ (en gros $(x_n^{*})$ est la suite $(x_0,x,x_1,x,x_2,x,x_3,x...)$).

Alors $(x_n^{*})$ converge également (vers $x$) dans $(E,\, N_1)$ donc converge dans $(E,\, N_2)$. Or $x$ est visiblement une valeur d'adhérence de cette suite. Donc la limite dans $(E,\, N_2)$ est aussi $x$. Et par conséquent la limite de la suite $(x_n)$ dans $(E,\, N_2)$ est aussi $x$ (car $(x_n)$ est une suite extraite de $(x_n^{*})$).

PS : juste pour compléter ma réponse, on voit donc que $(E,\, N_1)$ et $(E,\, N_2)$ ont les même fermés (utiliser la définition séquentielle des fermés) donc la même topologie, donc l'application (linéaire) identité $id:(E,\, N_1)\to (E,\, N_2)$ est un homéomorphisme ce qui se traduit par l'existence de $c_1,c_2>0$ tels que $c_1N1\leq N_2\leq c_2N_1$. La réciproque étant quasi immédiate.

michal

Merci à vous deux !