Traduction : extrait d'un texte de W. Ackermann sur les $\epsilon$-termes et relations

Thierry Poma

Bonjour tout le monde,

Je vous propose un extrait du document ci-joint, rédigé en allemand :

L'original se trouve à la fin de la page 342 et au début de la page 343. N'y connaissant pas grand chose en allemand, est-il possible d'avoir une traduction dudit passage, s'il vous plait ? Monsieur Ackermann semble affirmer, déjà en 1956, ce que Hao Wang, en 1963, affirme dans l'extrait suivant, extrait de son ouvrage A survey of Mathematical Logic 

que quelques textes citent comme référence. Je précise, pour simplifier, que si $\phi$ est une formule du premier ordre en un unique symbole de variable n'ayant aucune occurrence libre dans un contexte $\Gamma$ et si $x$, $y$ sont des symboles de méta-variable n'ayant aucune occurrences libres dans $\Gamma\cup\{\phi\}$, alors l'opérateur mutifiant $\iota$ suit la règle d’introduction suivante\[\dfrac{\Gamma\vdash(\exists\,x)(\phi(x)\wedge(\forall\,y)(\phi(y)\rightarrow{}y=x))}{\Gamma\vdash\phi(\iota_x(\phi))}\]Par suite, dans ce système, le schéma d'axiomes\[(\forall\,x)(\phi(x)\leftrightarrow\psi(x))\rightarrow{}\iota_x(\phi)=\iota_x(\psi)\]est en réalité un schéma de théorèmes, où $\psi$ est une formule du premier ordre en un unique symbole de variable.

Si je résume, ce que certains textes attribuent à Monsieur Hao Wang serait en réalité dû à Monsieur Wilhelm Ackermann. J'en dirai plus, plus tard.

jelobreuil

Bonsoir Thierry,

Je peux te traduire cette page d'allemand, disons pour demain ? 

La seule petite difficulté sera d'ordre typographique : le symbole utilisé devant "(x)", c'est un U gothique, ou quoi ?

Bien amicalement, Jean-Louis

Thierry Poma

jelobreuil : bonsoir. Je te remercie beaucoup. Il s'agit d'un A gothique, mais cela n'a aucune importance ; je m'y retrouverai. C'est très sympathique de ta part. Un grand merci par avance.

jelobreuil

Merci pour l'indication, j'en tiendrai compte !

J'en ai déjà traduit la moitié, je compte terminer cela ce soir ... je suis quand même un peu plus alerte en allemand qu'en russe !

A tout à l'heure !

Bien amicalement, Jean-Louis

Thierry Poma

En lisant entre les lignes, il me semble que\[\lambda_x\mathfrak{A}(x)=\iota_x(\forall\,y)(y\in{}x\leftrightarrow{}\mathfrak{A}(y))\]

jelobreuil

Bonsoir Thierry,

Je découvre à l'instant ton dernier message, dont je n'ai par conséquent pas pu tenir compte, mais de toute façon, je le crains, je n'aurais pas su bien utiliser cette remarque, car si j'ai compris à peu près tout ce texte allemand, je ne comprends absolument rien à ces expressions mathématiques ... 

Voici ma traduction, où je n'ai eu qu'une seule hésitation, sur le sens du terme "elementenfremden", littéralement "étrangers en éléments", pour lequel j'ajoute une interprétation qui me semble plausible, étant donné le contexte. 

J'ai pu constater que tant les mathématiciens allemands que les russes utilisent pour désigner un ensemble le mot ("Menge" en allemand) qui, dans leur langue respective, a pour premier sens "quantité, multitude" : lesquels ont copié sur les autres ?

Pour plus de lisibilité, j'ai choisi d'utiliser un "M", plutôt que le "m" du texte, pour appeler l'ensemble défini dans le dernier tiers du texte, et pour le A gothique, le "A" d'une police "Old English".

J'attends tes éventuelles remarques, toujours bienvenues !

Bonne nuit, bien amicalement, Jean-Louis  

Thierry Poma

Bonjour jelobreuil

Je te remercie infiniment pour ton excellent travail. Voici à présent la portion de texte telle qu'on devrait la comprendre aujourd'hui, dans un contexte ZF, par exemple : Car si $M$ est un ensemble d'ensembles non vides et deux à deux disjoints (ou encore mutuellement disjoints), on peut alors définir un ensemble qui a exactement un unique élément en commun avec chaque élément de $M$.

Il s'agit d'une des formulations de l'axiome du choix. D'où la nécessité pour W. Ackermann d'avoir introduit l'opérateur $\iota$ conjointement à l'opérateur $\epsilon$. Grâce à ton travail sérieux, je comprends mieux son objectif. Il est dommage pour moi de ne pas comprendre l'allemand. Je te remercie encore pour ton travail. Pourrais-je faire appel à tes services, s'il te plait, si le besoin se faisait sentir ?

Ce que je soupçonnais est donc vrai !

Martial

@jelobreuil : je réponds à une de tes questions ci-dessus. A mon avis c'est les Russes qui ont copié sur les Allemands, puisque l'Allemagne est le berceau de la théorie des ensembles : Riemann, Dedekind, Frege, Cantor. Bon, la seule exception notable pour l'époque est Russell (Britannique).

Martial

@Thierry Poma  : "Ce que je soupçonnais est donc vrai !"

Que soupçonnais-tu donc ?

jelobreuil

Bonjour Thierry,

Merci pour ton retour, et tes explications. J'avais bien compris qu'il s'agissait d'un ensemble dont les éléments étaient eux-mêmes des ensembles, puisqu'ils contenaient d'autres éléments, mais comme je ne connais pas la terminologie utilisée dans ce domaine, je m'en suis tenu à une traduction assez littérale ... Je prends note de la formulation actuellement en vigueur !

Et bien sûr, je me mets à ta disposition, si besoin est, pour le même genre de services : n'hésite donc pas à m'envoyer les textes en allemand ou en russe  que tu as besoin de mieux comprendre que ce que permet Googletrad ou DeepL. 

Je t'indique mes adresses mail en MP. 

Bien amicalement, Jean-Louis 

jelobreuil

Bonjour @Martial, 

Merci de ta réponse à ma question, c'est ce que je pense aussi ...

Bien amicalement, Jean-Louis

Thierry Poma

@Martial : bonjour. Ce n'est ni plus ni moins ce que j'expliquais au début du fil.

Dans la théorie des ensembles, il n'est pas possible de contourner ce papier de W. Ackermann constitué de onze pages, très important.

A la page 8, la définition 2 peut se lire comme suit : $\hat{x}\mathfrak{A}(x)=\epsilon_x((\forall\,z)(z\in{}x\leftrightarrow\mathfrak{A}(z)))$

Quant à la définition 3, il est possible de l'interpréter comme suit : \[M(y)\leftrightarrow{}y=\hat{z}(z\in{}y)=\epsilon_x((\forall\,z)(z\in{}x\leftrightarrow{}z\in{}y))\]cette définition n'étant valide que pour des objets de type ensemble. L'auteur parle de Nullmenge (ensemble ou multitude vide, je pense) en relation avec $\hat{z}(z\in{}y)$. Est-ce à dire que si $y$ n'est pas de type ensemble, alors $M(y)=\emptyset$ ?

L'on pourra noter la présence de cette notion dans l'exercice 6 extrait du livre Théorie des ensembles de Bourbaki, E II.49 :

Même si j'avais personnellement procédé à une telle démonstration par le passé, je note que W. Ackermann en donne une à la page 11 dudit document, le tout reposant sur le schéma d'axiomes II.4, page 7 appliqué en page 10. Peut-être cela intéresse-t-il @Foys ; je ne sais pas.

jelobreuil

Bonsoir Thierry,

Je confirme que dans le paragraphe qui suit la "Definition 3" en page 8, il est écrit : "Si x n'est pas un ensemble,, il n'y a donc pas d'éléments de x, et ainsi, ^y(xy) signifierait l'ensemble vide."

Je ne vois pas d'autre sens que "ensemble vide" pour le mot "Nullmenge", littéralement "ensemble zéro", soit "ensemble à zéro élément" ...

Je vais te traduire ce soir ce paragraphe de dix ou douze lignes. Je vois à peu près de quoi il retourne, je ne devrais pas en avoir pour plus d'une heure ...

Bien amicalement, Jean-Louis

Et une heure après ....

 

Thierry Poma

jelobreuil : encore une fois, un grand merci pour cet investissement qui apporte un éclairage indéniable. Comment pourrais-je apprendre efficacement l'allemand de manière à comprendre de façon autonome les textes mathématiques rédigés dans cette langue ? Je ne souhaite pas, à mon âge, maîtriser cette langue, à moins que ce ne soit un passage obligé.

Alesha

@Thierry Poma

Tu écris:
> Quant à la définition 3, il est possible de l'interpréter comme suit : 

𝑀(𝑦)↔𝑦=𝑧̂(𝑧∈𝑦)=𝜖𝑥((∀𝑧)(𝑧∈𝑥↔𝑧∈𝑦))

cette définition n'étant valide que pour des objets de type ensemble. L'auteur parle de Nullmenge (ensemble ou multitude vide, je pense) en relation avec 𝑧̂(𝑧∈𝑦). Est-ce à dire que si 𝑦 n'est pas de type ensemble, alors 𝑀(𝑦)=∅ ?

Or je lis : "M x ist zu lesen "x ist ein Menge"." Tel que je le comprends, M est un prédicat (ce que confirme ta propre interprétation avec ta formule 𝑀(𝑦)↔ ...) et donc M(y) n'est pas un ensemble mais une proposition (qui signifie "y est un ensemble") et ainsi 𝑀(𝑦)=∅ ne serait ni faux ni vrai mais n'aurait aucun sens. Si y n'est pas un ensemble, alors on a simplement que M(y) est une proposition fausse. 
Je ne vois pas pourquoi tu ajoutes "cette définition n'étant valide que pour des objets de type ensemble" : si y n'est pas un ensemble, alors on n'a pas 𝑧̂ (y z) = y et donc M(y) est fausse.  Par ailleurs, je n'arrive pas à parser ta formule 𝑦=𝑧̂(𝑧∈𝑦)=𝜖𝑥((∀𝑧)(𝑧∈𝑥↔𝑧∈𝑦)).

Thierry Poma

@Alesha : bonsoir. Tout d'abord, ce ne sont pas mes formules. Face à mon ignorance de l'allemand, j'ai tenté de proposer un targum de ce que je pouvais en déduire en lisant entre les lignes, en commettant des erreurs. A la maison, en creusant les traductions de @jelobreuil, je procède à une autre rédaction en corrigeant les erreurs. Dans ce fil, je ne prétends à aucune rigueur ; ce sont simplement des pistes de recherche. Maintenant, si tu as quelque-chose de constructif à proposer, je suis preneur.

Thierry Poma

@Alesha : je te suggère de suivre ce lien, au cas où tu ne l'aurais pas vu.

Alesha

@Thierry Poma :
"Tout d'abord, ce ne sont pas mes formules." Ah bon? C'est la formule de qui, la formule suivante : 𝑀(𝑦)↔𝑦=𝑧̂(𝑧∈𝑦)=𝜖𝑥((∀𝑧)(𝑧∈𝑥↔𝑧∈𝑦)) ?
"Maintenant, si tu as quelque-chose de constructif à proposer, je suis preneur." Quelle agressivité! Tu sembles croire que M(y) est un ensemble, je te fais gentiment part de mon interprétation : M est un prédicat et M(y) n'est pas un ensemble mais une proposition, et je ne serais pas constructif?!
"ce sont simplement des pistes de recherche" : je n'ai pas compris quelles pistes de recherche tu as données. Tu as proposé une "interprétation" de la Définition 3, qui me semble n'avoir aucun sens, je te demande de préciser ce sens; si ça n'a aucun sens, ça ne s'appelle pas une "piste de recherche"; si ça en a, tu devrais simplement expliquer ce que je n'ai pas compris sans agressivité.

Alesha

@Thierry Poma
"@Alesha : je te suggère de suivre ce lien, au cas où tu ne l'aurais pas vu." Quel culot! D'où aurais-je tiré ma citation : "Or je lis : "M x ist zu lesen "x ist ein Menge"." ?!

Thierry Poma

@Alesha : je suis profondément désolé. Je ne voulais pas te blesser, ni être agressif ou désagréable avec toi. Je suis très très fatigué ; cela ne constitue pas pour autant une excuse à ma conduite. Si tu le veux bien, je répondrai à toutes tes questions demain, si je vais mieux.

Alesha

@Thierry Poma Bien sûr, je te lirai avec intérêt demain, ou plus tard quand tu iras mieux. Plus que blessé j'ai été surpris : j'ai fait l'effort d'essayer non seulement de te lire, mais aussi de lire un passage de l'article d'Ackermann (ce qui est très difficile pour moi au vu de mon niveau en allemand) et j'ai voulu t'aider en signalant pourquoi je pensais que tu te fourvoyais et, même s'il se peut que ce soit moi-même qui me fourvoie, dans tous les cas, je m'attendais à une réponse sur le fond.

Thierry Poma

@Alesha : bonjour. J'espère que tu vas bien.

J'ai également beaucoup de problèmes à lire et à comprendre l'allemand. Cela dit, considérons le montage suivant dont les extraits se trouvent à la fin de la page 3 et au début de la page 4 du document dont tu connais le lien :

W. Ackermann y précise notamment ceci : Un assemblage de signes (ou combinaison de caractères) $\{x\}\,(y)$ désigne que "$x$ est un ensemble et [que] $y$ est élément de cet ensemble" (à peu près semblable à de l'anglais !), ou encore "$x$ est un ensemble et $y$ appartient à cet ensemble" si l'on veut du dynamisme. La note ${}^7)$ indique que les signes (ou symboles) $\{\}$ et $(\,)$ sont ceux de A. Church (après, je ne comprends pas !). Toutefois, l'auteur apporte une précision importante que je ne saurais traduire, mais qui semble dire qu'en certaines circonstances, il lui arrivera d'utiliser l'expression plus simple $x\,y$ formée à partir de $x$ et $y$ : ce qui me conduit à cette conclusion provisoire, c'est l'usage par l'auteur du composite 'Zeichenkomplexe' et du relateur 'so' (comme en anglais, avec anaphore (reprise en arrière) !). J'ai commencé à apprendre l'allemand ce matin ; c'est difficile, mais j'ai la volonté.

Aujourd'hui, nous écririons $y\in{}x$ à la place de $x\,y$ (ne pas oublier que le texte a été diffusé en avril 1937 ce qui exige que sa rédaction soit antérieure à cette date. Jacques Herbrand n'en n'a donc pas eu connaissance, endormi dans la mort beaucoup trop tôt.). Au vu de ce qui précède, voici comment traduire la définition 1, où l'auteur y définie l'égalité entre deux objets : \[x=y\leftrightarrow(\forall\,z)(x\in{}z\leftrightarrow{}y\in{}z)\].

Dans la définition 2, l'auteur y définie $\hat{x}\mathfrak{A}(x)$ au moyen de l'$\epsilon$-fonction, à savoir : \[\hat{x}\mathfrak{A}(x)=\epsilon_x(\forall\,x_{_0})(x_{_0}\in{}x\leftrightarrow\mathfrak{A}(x_{_0}))\]A ce stade, sommes-nous d'accord ? La définition 3 résulte indubitablement de cette définition et de la définition 1 dont je n'ai pas tenu compte, à savoir, en posant $\mathfrak{A}_x(y)\equiv{}y\in{}x$ : \[M(x)\leftrightarrow{}x=\hat{y}(y\in{}x)=\hat{y}\mathfrak{A}_x(y)=\epsilon_y(\forall\,y_{_0})(y_{_0}\in{}y\leftrightarrow{}\mathfrak{A}_x(y_{_0}))=\epsilon_y(\forall\,y_{_0})(y_{_0}\in{}y\leftrightarrow{}y_{_0}\in{}x)\]Sommes-nous d'accord ?  Résumons-nous en écrivant plus simplement : $x$ est un ensemble si, et seulement si $x=\epsilon_y(\forall\,y_{_0})(y_{_0}\in{}y\leftrightarrow{}y_{_0}\in{}x)$, i.e. si, et seulement si $x$ est égal à l'objet constitué de ses éléments.

Sauf erreur de ma part !

N.B : à la page 9 du document, l'auteur donne sa version (a priori) du schéma d'axiomes de substitution, avec la variante plus connue en note. Dans les deux cas, le symbole de variable $u$ semble y avoir une occurrence libre. Qu'en penses-tu, s'il te plait ?

jelobreuil

Bonjour Thierry

J'ai lu ton message, je vais te traduire ce paragraphe, avec la note 7.

Je te renouvelle mon offre de soutien et mes encouragements dans ton étude de l'allemand !

Bien amicalement, Jean-Louis

Thierry Poma

Enfin, j'oubliais la définition 4 qui est a priori la suivante : \[x\subseteq{}y\leftrightarrow\left((\forall\,z)(z\in{}x\rightarrow{}z\in{}y)\wedge{}x=\epsilon_y(\forall\,y_{_0})(y_{_0}\in{}y\leftrightarrow{}y_{_0}\in{}x)\wedge{}y=\epsilon_z(\forall\,z_{_0})(z_{_0}\in{}z\leftrightarrow{}z_{_0}\in{}y)\right)\]

Foys

Ces textes fournissent un éclairage historique. Il est intéressant de lire qu'à l'époque l'axiome du choix était vu comme une bonne chose (au point de l'introduire dans le langage même avec le "calul epsilon", même s'il s'est avéré par la suite que ce dernier est en fait une extension conservative de la logique du premier ordre).

Thierry Poma

jelobreuil : bonjour. J'espère que tu vas bien également. 

C'est très sympathique de ta part, mais je ne voudrais pas abuser.

J'ai écouté les cinq premières pistes du premier CD de la méthode de Michel Thomas. Je possède depuis très longtemps les deux coffrets. Cela me semble efficace, comme ça l'était lorsque nous étions des tous petits, apprenant le français oral. C'est dynamique ! Merci pour tout.

Amitiés,

Thierry

Thierry Poma

@Foys : bonjour. J'espère que tu vas bien.

Je suis de ton avis ; ces textes sont vraiment très enrichissants. Ce que je souhaiterais, c'est qu'ils soient traduits en langue anglaise pour être étudiés largement dans le monde. J'aime notre langue, mais il faut voir large. Peut-être quelqu'un aura-t-il le courage, la volonté d'entreprendre une telle démarche. Je le voudrais bien, mais je suis nul en langue.

jelobreuil

Thierry, voici ma traduction de ce paragraphe des pages 3 et 4 de ce deuxième texte d'Ackermann, auquel j'ai ajouté le petit paragraphe introductif de la section.

Je dois dire que j'ai eu, pour traduire ce texte, un peu plus de difficultés que pour le premier, dues notamment au fait que je ne connais rien du contexte général de ces articles. Il m'arrive donc d'interpréter, et quand je ne suis pas sûr de moi, j'ajoute une traduction littérale. Mais cela, je m'y attendais un peu ...

Je dois dire aussi qu'avec le lien que tu as fourni, je n'ai pas pu télécharger ce deuxième texte : il faudrait le faire page par page, et je ne sais pas comment réunir ensuite tous ces pdf en un seul ...

Quant à ton souhait que ces textes soient traduits en anglais, je le comprends très bien, mais je n'oserais pas m'y lancer, du moins pas tout seul ... Mais si toi ou l'un de tes collègues (où même l'un des membres de ce forum, appel au peuple !) es assez "english fluent" pour assurer une traduction à partir d'un premier jet que je fournirais, en français  ou en anglais, pourquoi pas ? Je suis assez tenté de relever ce défi, sachant que pour une fois, mon travail de traducteur serait un peu plus utile que d'habitude, en ce sens qu'il aurait sans doute plus de lecteurs intéressés ...

En toute amitié, Jean-Louis

Alesha

Bonjour @Thierry Poma,
Tu écris cette fois :  
> Résumons-nous en écrivant plus simplement : 𝑥 est un ensemble si, et seulement si $𝑥=\epsilon_𝑦(∀𝑦_0)(𝑦_0 \in y \leftrightarrow y_0 \in 𝑥)$, i.e. si, et seulement si 𝑥 est égal à l'objet constitué de ses éléments.

et ça me convient; ça confirme ce que je disais : M est un prédicat et $M(y)$ a un sens quel que soit $y$ (y compris, si $y$ n'est pas un ensemble, alors que tu avais écrit "cette définition n'étant valide que pour des objets de type ensemble"), en revanche $M(y) = \emptyset$ (ce que tu avais écrit) n'a aucun sens pour moi.   

Quant à la formule que tu as écrite juste au-dessus (qui ressemble à la formule qui me posait problème en pire et dont j'avais dit, non qu'elle était fausse mais que je n'arrivais à la parser), personnellement, je n'écris pas ce genre de définition (et je ne me souviens pas en avoir lues dans des livres ou des articles, mais je ne prétends pas que ça n'existe pas) : on définit M par la formule $M(x) \leftrightarrow ... = .... = .... $ - dans cette suite d'égalités, il y a une égalité qui est toujours vraie et une égalité qui n'est vraie que si M(x) est vraie, je trouve cela, pour le moins, maladroit (en tout cas, ça m'est difficilement lisible). Quelque chose de lisible pour moi :

On définit le prédicat M ainsi : pour tout $x$, on a $M(x)$ si, et seulement si, on a $𝑥=\epsilon_𝑦(∀𝑦_0)(𝑦_0 \in y \leftrightarrow y_0 \in x)$. Remarquons que, pour tout $x$, on a $𝑧̂(𝑧∈x)=\epsilon_𝑦(∀𝑦_0)(𝑦_0 \in y \leftrightarrow y_0 \in x) $. Enfin, on dira que "$x$ est un ensemble" si on a $M(x)$. Ainsi, si $x$ n'est pas un ensemble, l'égalité  $x = \epsilon_𝑦(∀𝑦_0)(𝑦_0 \in y \leftrightarrow y_0 \in x)$ est fausse. 

J'ai ajouté la dernière phrase en réponse à ce que tu écrivais : "Est-ce à dire que si 𝑦 n'est pas de type ensemble, alors 𝑀(𝑦)=∅ ?" 

En tout cas, je vous remercie, toi et @jelobreuil, d'essayer de nous aider à comprendre cet article, qui semble très intéressant.

J'ajoute un dernier point, car peut-être que je viens de deviner ce que tu avais en tête. Tu as écrit : "Est-ce à dire que si 𝑦 n'est pas de type ensemble, alors 𝑀(𝑦)=∅ ?", alors que peut-être que tu voulais écrire : "Est-ce à dire que si 𝑦 n'est pas un ensemble, alors $\epsilon_x(∀𝑦_0)(𝑦_0 \in x \leftrightarrow y_0 \in y)=\emptyset$ ?"? Je crois qu'il faut éviter de parler de "type" ici - Ackermann utilise-t-il ce mot ou quelque chose de similaire? - si le prédicat $M$ est défini pour tout $x$, qu'il soit un ensemble ou non, car la notion de "type" sert à interdire certaines expressions : typiquement, lorsqu'on utilise des types, si on a un prédicat $M$, il sera défini sur un certain type et si $x$ n'a pas ce type, on n'aura pas que $M(x)$ est fausse mais que $M(x)$ n'a pas de sens (on dira que c'est une expression mal typée). 

Thierry Poma

@jelobreuil : un grand merci pour ces traductions qui apportent un éclairage indéniable.

@Alesha : cela me fait plaisir de te lire. Cette fois-ci, j'ai cherché à être plus rigoureux en me servant du travail de @jelobreuil et de ce que j'avais compris du texte, sans faire preuve d'une quelconque originalité ; tu en avais compris toute la profondeur bien avant ma dernière intervention. Je tiens compte de tes remarques. Ce sont des textes fondateurs, il ne faudrait pas les oublier. Qu'en est-il de ma remarque sur le schéma d'axiomes de substitution, si tu as une idée ? Quelque-chose me trouble.

Un grand merci à vous deux.

Thierry Poma

@Alesha : pour les types, il me semble avoir compris (sic) que l'auteur se sert, comme Gödel, des Principia Mathematica de Russel-Whitehead. Je ne sais pas si cela t'aide.

Cyrano

C'est amusant de lire ce fil, je me rends compte que mon professeur de logique nous avait appris la théorie des ensembles comme ça à l'époque. La formule $\hat x \varphi(x)$ correspondait à ce qu'on note habituellement $\{x : \varphi(x)\}.$ L'accent circonflexe sur la variable était appelé classifiant. Le $\epsilon$ n'était pas introduit, c'était le classifiant qui servait de brique fondamentale. 

Alesha

@Thierry Poma
Pour le schéma de substitution, la variable $u$ est libre, certes. Si on avait quantifié universellement sur $u$ la formule, cela te poserait-il encore problème? Sinon, pourquoi cela te pose-t-il problème ici d'avoir $u$ comme variable libre, et non d'avoir $x$ et $y$ libres dans l'axiome de la paire ((III, 3), page 8), par exemple (ou que $y$ soit libre dans (III, 4), etc...)?
Si tu n'aimes pas les formules avec variable libre, à chaque fois rajoute des quantificateurs universels devant, je crois qu'ils sont sous-entendus et que c'est juste une histoire de goût et de style (certains auteurs doivent préférer enlever les quantificateurs universels qui quantifient sur toute la formule pour l'alléger un peu afin de la rendre plus lisible et considèrent qu'ils sont implicites, les autres doivent se dire que le lecteur risque de se demander si la variable n'a pas été introduite auparavant et vouloir respecter plus scrupuleusement un certain formalisme). 

Alesha

@Thierry Poma
Tu peux me dire à quelle page Ackermann fait référence aux Principia? Quand bien même il utiliserait la notion de type des Principia, ça ne voudrait pas dire qu'il y aurait un type des ensembles (encore une fois, ça contredirait le fait qu'on puisse parler de $M(x)$ pour tout $x$, qu'il soit un ensemble ou non). Tu pourrais avoir un type des "individus" (certains individus sont des ensembles et d'autres non) et le type des fonctions des individus dans les individus (et ainsi de suite); dans ce cas, tu pourrais dire que $M$ est défini sur le type des individus mais que si $f$ est une fonction des individus dans les individus, alors $M(f)$ n'est pas défini.
Dans ces théories avec types, une fonction n'est pas un ensemble; ça me semble un peu bizarre qu'Ackermann considère une théorie des types avec des fonctions qui ne seraient pas du type "individu" tout en ayant un schéma d'axiomes de remplacement formulé de manière habituelle (en théorie des ensembles), mais c'est peut-être possible, j'avoue ne pas avoir lu l'ensemble de l'article, car, comme je l'ai déjà dit, je ne maîtrise pas l'allemand. Disons qu'en général il y a une certaine opposition entre une théorie des ensembles (où tout, à part éventuellement des atomes, est ensemble) et une théorie des types.

Foys

La différence entre le classifiant de @Cyrano et le symbole de description indéfinie (i.e. l'epsilon d'Hilbert et Ackermann) est que le premier n'enrichit pas strictement le langage (tout énoncé qui peut être écrit avec peut être écrit sans):

Ci-dessous, $\in$ et $\simeq$ sont deux symboles de relation binaire distincts.

Pour toute formule avec $\in, \simeq$ et le symbole classe$\{\cdot \mid \cdot\}$ on pose (avec les conventions suivantes: $x,y$ sont des lettres, et à chaque fois, $A$ et $B$ sont des expressions de la forme $\{z \mid G\}$ ou bien des lettres -on appellera ci-dessous "classes" de telles lettres ou arrangements de symboles-;$w$ est une lettre ne figurant libre ni dans $A$, ni dans $B$ et distincte de $x$):

(i) $\Theta \left (y \in  \{x \mid F\} \right):= (\Theta F) [x:= y]$
(ii) $\Theta \left (A \simeq B \right ):= \forall w \left (\Theta(w \in A) \Leftrightarrow \Theta (w \in B ) \right) $
(iii) $\Theta \left ( \{x \in F\} \in A\right):= \exists w \left ( \Theta \left (w \simeq \{x \in F\} \right ) \wedge \Theta (w \in A) \right)$

(iv) $\Theta(F \clubsuit G):= \Theta (F) \clubsuit \Theta(G)$ pour tout connecteur propositionnel $\clubsuit$; $\Theta (Qx F):= Qx \Theta (F)$ pour $Q:= \forall$ ou $\exists$; $\Theta(\neg F):= \neg \Theta(F)$ etc.

$\Theta$ est un algorithme qui termine pour tout entrée $F$ et renvoie une formule ne comportant plus le symbole $\{\cdot \mid \cdot\}$ ni le symbole $\simeq$ (bref une formule écrite sur la signature $\{\in \}$); de plus pour tout $F$, $F$ et $\Theta(F)$ ont les mêmes variables libres (à vérifier).

$\Theta$ "traduit" les énoncés écrits avec symboles de classe ensembliste en énoncés où ils n'apparaissent pas.

Soit "$EXT$" l'énoncé suivant: $\forall x \forall y (\forall t (t \in x \Leftrightarrow t \in y)) \Rightarrow (\forall t (x \in t \Leftrightarrow y \in t))) $ ("axiome d'extensionnalité").

On peut démontrer la propriété de Leibniz avec $EXT$: pour toute formule $F$ (écrite sans $\in$ et toutes lettres $a,b,x$, on a $EXT \Rightarrow (\forall t (t \in a \Leftrightarrow t \in b)) \Rightarrow F[x:= a] \Rightarrow F[x:= b]$ qui est un calcul des prédicats (et donc $\simeq$ est une vraie relation d'égalité sous $EXT$, qu'on peut alors noter $=$ et pas $\simeq$).

Alors par induction sur la taille des objets et des notations évidentes, on peut montrer que pour tout ensemble (fini...) $\mathcal C$de lettres, pour tout entier $n$, toutes lettres $x_1,...,x_n$ distinctes ne figurant pas dans $\mathcal C$, toutes classes $A_1,...,A_n, B_1,...,B_n$ à variables libres dans $\mathcal C$ et enfin pour tout énoncé $F$ à variables libres dans $\mathcal C \cup \{x_1,...,x_n\}$ (comportant éventuellement $\simeq$ et classes), on a le théorème de calcul des prédicats suivant:

$EXT \Theta \left (  \Rightarrow (A_1 \simeq B_1 \wedge A_2 \simeq B_2 ... \wedge A_n \simeq B_n) \Rightarrow F[x_1:= A_1 ; ...; x_n := A_n] \Rightarrow F[x_1:= B_1 ; ...; x_n := B_n] \right)$

Si on abrège par $\mathcal M (X)$ ("menge" ) l'énoncé $\exists w, w \simeq X$ ($w$ non libre dans $X$ avec $X$ qui est une classe), on peu en déduire les propriétés suivantes pour toute classe $Y$, toute lettre $x$ non libre dans $Y$ et toute formule $F$ :
Les énoncés suivants sont des théorèmes de calcul des prédicats:
$\Theta \left (EXT \Rightarrow \forall x F \Rightarrow \mathcal M(Y) \Rightarrow F[x:= Y] \right )$
$\Theta \left (EXT \Rightarrow \mathcal M(Y) \Rightarrow F[x:= Y]  \Rightarrow \exists x F \right )$

Autrement dit $\{\cdot \mid \cdot\}$ se "comporte bien" sous la traduction $\Theta$ et le slogan "la théorie des ensembles s'écrit formellement au premier ordre avec la signature $\{\in, =\}$ voire $\{\in\}$ seule" est en fait vrai (malgré l'usage de notations $\{\cdot \mid \cdot\}$) qui n'en font techniquement pas partie).

Thierry Poma

@Alesha : bonjour. J'espère que tu vas bien.
Dès la première page du document, l'auteur parle des Principia Mathematica et de la théorie des types. Je ne sais pas encore en quels termes. Cela n'est cependant pas urgent. Toutefois, nous avons vu que l'auteur utilise la notation $a\,b$ pour $b\in{}a$. Après je ne maîtrise pas le système de Russel-Whitehead pour t'en dire d'avantage. Pour l'heure, je suis sur les théorèmes de Gödel dans leurs versions originales.

Alesha

Bonjour @Thierry Poma, oui, dans l'introduction ils sont mentionnés, mais juste après est aussi mentionnée la "typenfreie Logik" (la logique sans types) de Church. Ça me demanderait trop d'efforts d'essayer de comprendre en détail toute l'introduction, mais ce n'est pas parce qu'on mentionne un travail dans une introduction qu'on se place dans ce cadre. Il y avait à cette époque plusieurs directions pour fonder les mathématiques : 
- une théorie des types à la Russell (avec, notamment, les Principia Mathematica de Russell et Whitehead) : dans une telle théorie, si A a un certain type, alors une fonction de A dans A a un autre type (et donc une fonction ne peut pas être un ensemble) - de nos jours, on ne lit plus vraiment ce livre mais on a gardé l'idée des types dans le lambda-calcul typé, la théorie des types, les assistants de preuves, etc...;
- une théorie des ensembles du premier ordre (Zermelo-Fraenkel) : tout ce qui n'est pas un atome est un ensemble - je pense que c'est dans ce cadre qu'Ackermann se place dans cet article;
- le lambda-calcul non-typé de Church (c'est un peu le dual de la théorie des ensembles dans laquelle tout objet est un ensemble - ici tout objet est un lambda-terme, c'est-à-dire, essentiellement, une fonction) qu'Ackermann mentionne au moins en passant (apparemment pour en dire que ça n'a pas complètement réussi - par la suite, Church introduira des types dans le lambda-calcul).

jelobreuil

Bonsoir Thierry, Alesha et autres lecteurs de cette discussion,

J'ai pris des copies d'écran des trois pages d'introduction de cet article, et je vais me mettre à traduire ce texte. Si tout se passe bien, je devrais en avoir fini jeudi soir, au plus tard ... 

Et comme je vous l'ai écrit, ça m'intéresse de faire ce travail, parce que je le sais utile ! En outre, ça m'occupe, et ça m'instruit aussi un peu ... 

Bien amicalement, Jean-Louis B. 

jelobreuil

Bonjour @Thierry Poma @Alesha et autres lecteurs,

Voici en pièce jointe ma traduction de l'introduction de cet article de W. Ackermann, à laquelle j'ai joint (puisque c'est ce qui vient juste après !) la traduction du début de la deuxième section, que vous connaissez déjà.

Comme je ne suis absolument pas au fait du vocabulaire particulier que vous utilisez dans ce domaine, je vous prie de m'indiquer en retour toutes les erreurs et impropriétés de terme que j'aie pu commettre, pour que je les corrige, et surtout, pour que j'en tienne compte à l'avenir dans d'autres travaux du même genre. Merci beaucoup ! 

Bonne lecture ! bien amicalement, JLB

Thierry Poma

@jelobreuil : bonsoir. Je te remercie du fond du cœur pour ce travail monumental. Je vais l'imprimer et l'analyser (je suis de la vielle génération !). En première lecture, il semblerait que @Alesha avait raison. Cependant, il y a d'autres points importants que tu as mis en valeur. Encore un grand merci !

Amitiés,

Thierry

jelobreuil

Bonsoir @Thierry Poma @Alesha et autres lecteurs intéressés,

Je vous joins une traduction complète des deux premières sections de cet article d'Ackermann.

Par rapport à ma traduction d'avant-hier, outre que j'ai ajouté les paragraphes restants de la deuxième section, j'ai revu ma traduction et y ai apporté quelques corrections, portant notamment sur quelques termes que j'avais traduits assez maladroitement ... par exemple, l'adjectif allemand "mengentheoretische" pour "ensembliste", dans le titre et le texte ...

Je poursuis ma traduction, et prévois la prochaine livraison quand j'aurai fini la section 3, sauf si vous préférez attendre la traduction complète, que je pense être en mesure de vous fournir vers la fin de juillet, au plus tard ...

Je vous remercie par avance de vos éventuels retours concernant des erreurs ou des imprécisions de termes de ma part. Bien évidemment, j'en tiendrai compte !

Bien amicalement, Jean-Louis B 

Martial

A nouveau merci @jelobreuil pour cette traduction. Cela n'a rien à voir mais j'ai l'impression que la traduction en anglais de "mengentheoretische" est "settheoretic", terme qui me paraît plus évocateur que l'équivalent français "ensembliste".

jelobreuil

@Martial, oui, c'est vrai, mais d'une part, j'ai vérifié qu'en français, le terme "ensembliste" signifie bien "relatif à la théorie des ensembles", et d'autre part "settheoretic" n'est pas autre chose que le calque linguistique du mot allemand, qu'il est facile de forger en anglais en raison de la similitude de structure de ces deux langues, plus facile en tout cas qu'en français ...

Bien amicalement, JLB

jelobreuil

Bonjour à tous,

Voici la suite de ma traduction de cet article, soit les sections 1 à 3 du texte.

J'aimerais bien comprendre ce que l'auteur entend par ce que j'ai traduit, littéralement, "symbole d'objet" : peut-être me faut-il traduire plutôt par "symbole objet" ? C'est une autre possibilité ... Il apparaît aussi quelquefois le mot "Ding", où vous reconnaîtrez l'anglais "thing", et que j'ai traduit par "chose", mais que j'aurais pu traduire aussi par "objet". Toutefois, j'ai voulu garder une éventuelle différence faite par Ackermann entre "Ding" et "Gegenstand", qui est le mot que j'ai traduit par "objet". En fait, les deux mots signifient en premier lieu "chose, objet", mais "Gegenstand" peut avoir aussi des sens figurés tels que "sujet" ou "motif" d'un article ou d'un exposé ... 

Voyez aussi, dans l'avant-dernière sous-section de la section 3, si les noms que j'ai donnés aux axiomes sont ceux que vous utilisez habituellement.

Merci beaucoup de vos éventuels retours et indications de corrections !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Thierry Poma

@jelobreuil : bonjour. J'espère que tu vas bien.

Quel travail titanesque ! C'est époustouflant.

Pour Gegen-stands-zeichen : au vu du point 5 concernant l'$\epsilon$-terme $\epsilon_{_x}\mathfrak{A}(x)$, ta traduction semble correcte, même s'il me semble avoir vu également "symbole d'individu" que Stephen Cole Kleene interprète comme un "symbole de fonction à 0-place". A suivre !

Par ailleurs, l'on a bien affaire, à la page 10 de ta traduction, au schéma d'axiomes de remplacement ou de substitution, avec la variante bien connue en note.

Une pure merveille. Je te remercie grandement du fond du cœur.

jelobreuil

@Thierry Poma

Merci de ton message, qui me rassure : je suis donc capable, même si je ne comprends pas vraiment ce que j'écris, de pondre quelque chose qui tient debout ... En fait, je m'appuie essentiellement sur une analyse grammaticale rigoureuse des mots et des phrases, et pour le sens des mots, sur un bon dictionnaire et (quand même !) mon esprit et ma culture scientifique. 

Je ne doute pas, Thierry, que quand tu auras assimilé l'essentiel de la grammaire, notamment les règles de construction des phrases, avec (très important et inhabituel pour nous) le rejet du verbe en fin de proposition dans les subordonnées, et appris à repérer les mots-outils et les désinences des cas au singulier et au pluriel, tu pourras (avec quelque difficulté au début, bien sûr ...) parvenir à peu près à lire et comprendre des textes de ce genre !

D'ailleurs, je pense que tu peux essayer de "comprendre" ma traduction, en la lisant en regard du texte original et en repérant les mots selon leur catégorie, notamment les substantifs qui s'écrivent tous, règle intangible, avec une majuscule initiale, ce que tu as sans doute déjà remarqué ... Sache qu'en règle générale, ma traduction suit d'assez près le texte allemand, car je n'ai pas de recul suffisant dans ce domaine pour "agrémenter" ma traduction de tournures plus "élégantes", comme je le fais assez souvent dans les textes de chimie !

Bonne soirée, en toute amitié, Jean-Louis B.

jelobreuil

Bonjour à tous,

Je joins à ce message ma traduction des cinq première sections de l'article d'Ackermann, soit, par rapport à mon envoi précédent, avec en plus les sections 4 et 5.

J'ai pris le temps de relire ma traduction depuis le début, notamment pour l'harmoniser en ce qui concerne la traduction de "Ding", mot que j'avais traduit par "objet" dans les deux premières sections, ce qui s'était révélé peut-être imprécis (voir ci-dessus mon premier message du 7 juillet), ainsi que pour vérifier et, le cas échéant, corriger les noms des axiomes, en comparant les pages pertinentes de Wikipedia en allemand et en français.

Merci de vos éventuels commentaires et remarques, en particulier à propos de ma NdT concernant le mot "Feld" à la fin de la section 5.

Bonne lecture, bien amicalement

Jean-Louis B.

Thierry Poma

@jelobreuil : bonjour. J'espère que tu vas bien. Je te remercie beaucoup. J'avoue bien volontiers mon admiration pour ton travail que je trouve excellent, à tel point que je prends conscience du travail à fournir dans mon apprentissage de l'allemand. Mais, je ne me décourage pas. Encore un grand merci. 
Amitiés,

Thierry

jelobreuil

Bonjour, Thierry, bonjour à tous, 

C'est avec grand plaisir que je vous envoie aujourd'hui la traduction complète de cet article d'Ackermann, dont je viens d'achever la relecture. 

J'espère ne pas avoir fait de mauvais choix concernant le vocabulaire spécifique de cette branche des mathématiques. D'ailleurs, j'attends vos commentaires, toujours bienvenus !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Thierry Poma

@jelobreuil : Bonjour. J'espère que tu vas bien.

Un grand merci pour cet excellent travail. Je viens de parcourir rapidement ta traduction ; je vais l'imprimer et l'examiner en détail. Cependant, pour Feld et au vu de la définition 7 page 13 de ta traduction, il y est question de relation binaire, ce que l'auteur confirme avec le $(8)$. Il semble que l'auteur veuille dire que $z$ appartient au domaine de $x$ vu comme relation binaire. En effet,  selon $(8)$, $Rx$ revient à écrire que $x$ est un ensemble (i.e. $Mx$) composé exclusivement de couples. A suivre...

Thierry Poma

L'allemand a le vocable Körper pour désigner un corps, contrairement à l'anglais qui utilise Field pour domaine. Se rappeler que nous avons le concept de domaine d'intégrité.