Une suite et des séries de somme nulle.

Bonjour,
en regardant des choses sur les matrices nilpotentes, je me suis souvenu d'un énoncé que j'ai peut-être vu ici, avec un énoncé potentiellement incomplet:

on a une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ telle que:
$$ \forall k \in \mathbb{N}^*, \sum_{n \in \mathbb{N}} {u_n}^k=0 $$
$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est-elle la suite nulle ?

retrouver le fil en question me suffit, car j'ai l'impression que ça a été traité.
Merci.

Réponses

  • Une tentative. 
    Si on a une telle suite $u$ non nulle, on peut commencer par la diviser par un de ces termes de plus grand module, ce qui ne change pas la relation. On peut donc sans perte de généralités supposer $u_0 = 1$. Comme $u$ est un terme général de série convergente, $u$ converge vers 0 donc, à partir d'un certain rang $N$, on a $\forall n \geqslant N, \vert u_n \vert \leqslant \frac{1}{2}$. Dès lors, $\left(\sum\limits_{n = N}^{\infty} u_n^k \right)_{k \in \mathbb{N}^*}$ qui converge vers 0 par convergence dominée. Donc la suite de sommes finies $\left(\sum\limits_{n = 0}^{N-1} u_n^k \right)_{k \in \mathbb{N}^*}$ converge également vers $0$. Et là, je pense que l'on peut aboutir à une contradiction.
  • Tu as piégé Heuristique , car c'est faux, un contre exemple est ici 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Effectivement...
  • Mon développement d'agreg, nostalgie....
    C'est en revanche vrai si l'une des séries est absolument convergente. Dans ce cas l'heuristique d'Heuristique marche :)
  • Si on ajoute que la série cva, par l'absurde on tombe sur la contradiction 1<1
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Merci pour ces précisions, je regarderai tout ça en détail, plus tard mais c'est (très/trop) distrayant.
  • Bonjour @Namiswan,

    Peux-tu, s'il te plaît, nous fournir ce développement,

    "ainsi que tous tes développements pour l'agrégation ? Merci beaucoup ! 😊"
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.