Intuition d'élève (6e) : les nombres ayant un nombre impair de diviseurs sont les carrés

Matricule_63

En fin d'année, j'aime bien faire bosser les élèves sur du "français", en proposant des définitions plus ou moins loufoques. Par exemple ici, "j'appelle nombres sucrés les nombres ayant un nombre impair de diviseurs.
45 Est-il sucré?".

Et là, dans une classe, un élève lève la main, et dit (sic) : "Je vous propose de reformuler votre définition. Il s'agit de l'ensemble des nombres dont la racine carré est un nombre entier."

En 6e. Alors qu'à aucun moment je n'ai parlé de carré, de racine ou de décomposition en produit de facteur premier. Je suis, pardonnez moi l'expression, sur le cul.

Bon par contre ça a été plus compliqué quand il s'est s'agit pour lui de le démontrer ^^' 
(ce qui se fait très bien quelques années plus tard : considérons $n\in \mathbb{N}$ et $D(n)$ l'ensemble de ses diviseurs. Soit $d \in D(n)$. Alors, par définition, $\exists! k\in \mathbb{N}, n = dk$, ou encore $\forall d \in D(n), \exists! k\in D(n), n = dk$. Par commutativité de la multiplication, on a alors une partition de $D(n)$. Avec ces notations, $d=k\iff n=d^2$. $D(n)$ est alors une union d'ensemble de cardinal 2 et d'éventuellement un singleton si $n$ est un carré, d'où le résultat $\exists d\in\mathbb{N}, d^2=n \iff 2 \nmid D(n) $)

AlainLyon

Il est insomniaque et se lève la nuit et lis les livres de ses parents pour se rendormir.

Chaurien

C'est un élève doué, peut-être surdoué, qui mérite qu'on lui propose une instruction spécifique. C'est ce genre de personne qui est le sel de la terre.

zygomathique

salut

je n'ai pas de collégien mais plus naïvement on peut peut-être aussi proposer : 

noter $d_1 = 1, d_2, ..., d_k = n $ les diviseurs de n et faire remarquer/montrer (construire ce tableau) à l'aide d'un tableau la correspondance "biunivoque" : 

$\begin{matrix} d_1 = 1&d_2 &d_3 &... &d_{k - 1} &d_k = n \\ d_k = n & d_{k - 1} &d_{k - 2} &... &d_2 & d_1 = 1 \end{matrix}$

la correspondance biunivoque est évidemment la fonction $ f : x \to \dfrac n x$
et si ces deux lignes contiennent le même entier (ont un entier en commun) alors n est un carré ... (et que cet entier est "au milieu" de ce tableau ...

Sylvain

Il a une ou plusieurs années d'avance ?

Sylvain

Et pourquoi sic avec des fautes d'orthographe si tu veux faire bosser sur du "français" et s'il s'est exprimé à l'oral ?

Matricule_63

Pas d'années d'avance non.
Ah non, la faute de français est de moi ^^' sic c'est pour la tournure de phrase, je ne suis pas en train de reformuler l'expression confuse d'un collégien, au contraire il s'exprime très correctement.

lourrran

On est en fin d'année. Cet élève se comportait comment jusque là ?

Sylvain

Comme disait Coluche "attendez un peu que la gauche repasse en 2012" ^^

Matricule_63

Exactement comme ça. Du genre à caser l'opérateur flèche (l'exponentiation itérée) dans un exo pour faire le malin ou à sommer sans aider les 100 premiers entiers.
Mais jusqu'ici, cela pouvait encore être "que" des connaissances reçues à la maison ou grâce à une grande curiosité, difficile de le challenger véritablement en restant dans le programme de 6e.
Par contre, cette dernière est vraiment impressionnante.

Sylvain

Demande-lui ce que lui évoque le nombre 89.

Sylvain

Mais surtout, qu'il ne surinvestisse pas le domaine intellectuel au détriment de l'affectif, car pour avoir fait cette erreur, je le regrette amèrement.

Matricule_63

ça, je n'ai absolument pas la main dessus...

i.zitoussi

Quel rabat-joie celui-là ! Les nombres sucrés c'était quand même plus sympa. Avec une cuillerée de crême fraîche, mmmh.

hx1_210

La preuve que l’on fait des mathématiques en collège.

pour ma part je ne suis pas spécialement surpris ni impressionné. Des élèves comme cela ne sont pas rares, mais peu ont le vocabulaire et le courage ou l’envie pour s’exprimer Vu le vocabulaire il étudie les mathématiques en dehors des cours (ce n’est pas un defaut)

merci de cette anecdote rafraîchissante.

lourrran

La preuve que l’on fait des mathématiques en collège.

Ah ? 

Julia Paule

Je ne vois là rien d'extraordinaire, il a dû faire ce genre de raisonnement rapide (sans écriture ni lettre, qu'on ne connait pas en 6ème) : 

soit $n$ un entier ; tout diviseur $d$ de $n$ a son alter-ego $n/d$, qui est en général distinct de $d$, donc $n$ a en général un nombre pair de diviseurs, sauf si $n/d=d$, soit $n=d^2$, donc sauf si $n$ est un carré, alors il en a un nombre impair.

C'est sûr, il peut n'avoir aucun bagage mathématique, mais seulement (et c'est déjà beaucoup et essentiel !) une intuition, un sens mathématique.

Dom

La question n’est même pas que ce soit un exploit intellectuel, individuel ou pas. 

La question est de dire que pendant un cours de maths, l’échange entre un élève et un
prof, mieux parfois, entre une classe et un prof peut être un dialogue mathématique. 

Mon expérience me dit que c’est assez rare, et je ne m’en félicite pas. 

Matricule_63

@Julia Paule Est-ce que tu a fréquemment des élèves devant toi?
Pour te donner une échelle, mes 6e ont du mal avec les tableaux de proportionnalité(je multiplie par 2 pour aller de là à là, donc je ... pour aller de là à là), ne pensent pas à diviser par deux le diamètre avant d'appliquer la formule $A=R\times R\times\pi$, ne comprennent pas que l'écriture "$4+1=5+2=7$" implique "$4+1=7$" (et de manière générale ont beaucoup de mal avec les raisonnements transitifs)...
Donc la démarche que tu proposes est extrêmement éloignée de la réalité des élèves de 6e, les miens en tout cas.

@dom Je ne serais pas aussi négatif que toi, j'ai régulièrement des "petits" échanges mathématiques. Mais oui, cela constitue une proportion trop faible des cours.

lourrran

Les autres informations données par Matricule_63 sont importantes. Cet élève sait calculer la somme des 100 premiers entiers, on peut considérer que c'est là aussi un raisonnement rapide. Et cet élève connaît la notion d'exponentiation itérée ($\uparrow$) , et là, ça veut dire que le gamin en question, il n'a pas seulement un raisonnement rapide, mais il passe du temps à 'apprendre' des maths en dehors du cadre du collège.

JLT

Matricule_63 a dit :

 ne comprennent pas que l'écriture "$4+1=5+2=7$" implique "$4+1=7$" (et de manière générale ont beaucoup de mal avec les raisonnements transitifs)...

Ils sont peut-être perturbés par $4+1=5+2$ ?

hx1_210

JLT a dit :

Matricule_63 a dit :

 ne comprennent pas que l'écriture "$4+1=5+2=7$" implique "$4+1=7$" (et de manière générale ont beaucoup de mal avec les raisonnements transitifs)...

Ils sont peut-être perturbés par $4+1=5+2$ ?

Ils sont perturbés par le fait qu’ils ne savent pas ce qu’est une égalité.
Ce n’est pas etonnant car cela n’est pas enseigné avant maths Sup.

Ce qui fait que la quasi totalité des maîtres d’école (bientôt recrutés en dessous du niveau brevet) ne le savent pas non plus.

Tant que l’on considèra qu’enseigner les mathématiques peut être fait par des gens qui n’ont jamais pratiqué les mathématiques…

C’est compris, ainsi que les quatre opérations élémentaires, les développements et factorisation, sous le vocable « on calcule ».

De fait cela correspond à la touche exe d’une calculatrice.

@Dom ce genre de dialogue se suscite et c’est notre métier. De plus en plus difficile il est vrai.

Matricule_63

@JLT C'est une erreur classique, mais peut-être peu connue en dehors de l'enseignement.
L'élève veut faire le calcul $4+1+2$. Il commence par faire $4+1$, puis fait le résultat $+2$. En gros, dans sa tête il fait $4+1\rightarrow 5+2 \rightarrow 7$. Sauf que pour lui, "=" signifie étape suivante, d'où le $4+1=5+2=7$.

Je n'ai fait aucune faute de frappe, c'est vraiment une erreur très courante et difficile à corriger.

Dom

Oui. Dans la tête de l’élève ou du candidat au CRPE par exemple, les priorités sont connues. 

On voit aussi : 
A=2+3x5
A=15
A=15+2
A=17

Ça rejoint l’autre discussion. 

Quand je préconise le « un seul = » c’est facile de montrer qu’il y a un problème. 

« Tu as écrit A=15 et A=17 » et la remarque est comprise. 

JLT

Ah je n'avais pas compris que c'était le calcul de l'élève.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

[Style Éducation Nationale]

Un élève a réussi ? Surtout, n'en parlez pas. Ne l'ébruitez pas. Pas de vague. Oh, non. Pas de vague.

[/Style Éducation Nationale]

Plus sérieusement, c'est le problème des professeurs. Ils pensent avoir une relation personnelle exclusive avec l'élève. Alors que les enfants ont des grands frères, des grandes sœurs, internet, etc. Et quand on tire trop le niveau vers le bas, la vie est plus instructive que l'école. :-(

Il faut avoir le même réflexe avec les adultes : regarder l'environnement. Quand quelqu'un crée son entreprise, c'est bien. Mais s'il a un(e) conjoint(e) qui fait bouillir la marmite, c'est quand même beaucoup plus confortable qu'une personne isolée créant une auto-entreprise pour ne pas crever.

Bravo à cet élève qui a compris.

Jaymz

Merci @Matricule_63 pour ce partage sympa qui fait du bien.

Je pense effectivement que @Julia Paule n'a pas dû voir d'élèves de 6ème depuis longtemps. C'est extraordinaire dans le sens très (très) rare, à la fois dans le raisonnement comme dans le langage utilisé. 

C'est fou comme certains sont "câblés" différemment (je sais que ce mot peut faire réagir mais je ne vois pas comment le qualifier autrement), je vous raconte deux anecdotes récentes, beaucoup plus simples mais très représentatives. 
- Mercredi dernier, j'ai devoirs faits avec des 6ème, Erwan a toujours fait ses devoirs, et très performant et lit l'histoire d'Hyrule à ses heures perdues. Je ne sais plus comment j'en viens à discuter avec lui et Lara de combien fat 4-7, Lara me dit 3 et Erwan -3, tout en disant facile. Je lui dis ok, et 3-(-7) ? Et là, du tacotac, ben ça fait + donc, ça fait 10. comme ça direct! C'est loin d''être le seul dans ce cas mais certain.es ont ces maths naturellement.

- Autre anecdote, je fais tracer la droite d'Euler avec des 5èmes, sur cahier et ensuite je fais l'animation avec Géogebra. Quand je pose la question : que se passe t'il si mon triangle est équilatéral, 2-3 par classe sentent directement que les points de concours sont confondus, c'est comme, c'est naturel chez eux !

jelobreuil

Bonsoir à tous,

Et d'après ce que j'ai compris de certaines discussions, tout l'effort de notre EN consiste à faire rentrer dans le rang ces deux ou trois fortes têtes qui dépassent ... Je me trompe ? J'ose l'espérer, quand même ...

Bien cordialement

Julia Paule

@Matricule_63 je n'ai vu des élèves du collège que pendant deux ans, et cela fait longtemps. 

Je voulais dire : cela n'a rien d'extraordinaire pour un élève qui aime les maths, qui s'y intéresse, qui s'est devancé sur le programme. Il peut faire le raisonnement sans presque aucun bagage mathématique : il a fait tout un tas de raisonnements intuitifs qui l'ont amené au résultat. Ce sont ces raisonnements que je trouve intéressants (par exemple, si $d$ divise $n$, alors $n/d$ aussi, s'il existe $d$ tel que $n=d^2$, alors ce $d$ est unique, ... ) .

Par contre, je suis bien d'accord que c'est exceptionnel pour les élèves en général.

Jaymz

@jelobreuil
Non, je ne suis pas d'accord avec ce discours ambiant que l'on peut lire sur le forum consistant à "faire rentrer dans le rang" autrement dit, niveler par le bas. Il y a moyen de faire des choses biens (mathématiquement et sur tous les autres plans) et de faire bien les choses !

hx1_210

Je suis d’accord avec @Jaimz on peut faire des choses bien. Mais on peut aussi, et au niveau du rapport avancement dans la carrière vs fatigue, faire des choses nulles.

D’autre part le temps disponible pour faire des choses intéressantes est reduit et avec la logique des cycles il tend à se reduire encore phagocyté par la course aux lacunes.

Pour l’instant le contenu des cours n’est pas imposé. Qu’en sera-t-il à la rentrée prochaine?

jelobreuil

@Jaymz

Je crains que tu m'aies mal compris : ce que je voulais relever, c'est que les "administrateurs" de notre EducNat ne me semblent pas enclins à laisser éclore d'aussi jolies "fleurs" dans ses jardins ... Et c'est très regrettable, à mon avis ! 

Et c'est très sincèrement que je souhaite courage à ceux d'entre vous, professeurs, qui s'acharnent à les faire pousser dans le bon sens, ces filles et ces garçons dont vous avez la charge !

Bien cordialement, JLB

Jaymz

Si, c'est bien ce que j'avais compris, et je pense donc que c'est faux, les administrateurs de l'EN n'ont pas pour objectif de laisser faner ces fleurs ou laisser pousser des mauvaises herbes. 
Merci pour tes encouragements

hx1_210

Pour le coup je suis moins d'accord avec toi là dessus. 

jelobreuil

@Jaymz, Comme je n'ai aucun rapport proche ou lointain avec l'EN, je reconnais bien volontiers que ce que j'avance n'est pas solidement fondé, mais tout de même, j'ai eu l'occasion de lire ici d'assez virulentes diatribes contre les "délires pédagogistes", "ilots bonifiés" et autres joyeusetés recommandées par ... qui d'autres que les gens qui dirigent l'EN ??

Alors, ceux-ci n'ont sans doute pas pour objectif avoué de faire en sorte que les enfants n'apprennent rien, ni que ceux qui font preuve de capacités sortant de l'ordinaire rentrent dans le rang la tête basse, mais cela n'empêche pas que c'est bien là ce qu'il se passe, peut-être "à l'insu de leur plein gré" ... 

Matricule_63

C'est un peu plus compliqué que ça.
Disons que les consignes (officieuses) de tout en haut sont de cacher, de toutes les manières possible, l'indigence du niveau de nos élèves.
Ensuite, il y a les inspecteurs. Vu qu'ils ne se reposent ni sur l'expérience du terrain, ni sur les études scientifiques, ils sont perméables à toutes sorte de modes passagères, qui deviennent du jour au lendemain "the" manière de faire avant d'être oublié, voire d'être contredite l'année d'après. Mais ne font que des recommandations.

Jaymz

Loin de moi l'envie de vouloir défendre les inspecteurs, j'ai encore assisté à une réunion de bassin avec les inspecteurs sur les futures 6èmes et c'était une boucherie innommable, mais moi, ce qui m'importe, au delà du discours général, c'est ce que le prof fait concrètement face à ses élèves, et là il y a moyen de faire des trucs sympas, @jelobreuil, oui, j'ai lu tout comme toi les zilobonifiés et autres pratiques mais ce n'est pas le quotidien, loin de là, moi je fais travailler en groupe de temps en temps, je fais des séances multimédia scratch de temps en temps, ça apporte des choses si tu t'appropries vraiment le truc, 

jelobreuil

@Jaymz, bonjour,

Heureusement qu'il y a des profs comme toi pour aimer leur métier et l'exercer le plus correctement possible, dans les conditions actuelles qui plus est, sur lesquelles il est inutile de s'étendre ... 

Tu as raison, c'est ce que le prof arrive à faire en classe qui importe ... Et là, je ne puis que renouveler mes encouragements à tous ces profs qui se décarcassent jour après jour pour instruire leurs élèves et leur donner le maximum de chances de s'épanouir pleinement dans leur vie future ...

Bien amicalement, JLB

lourrran

Le mérite est d'autant plus grand que pour intéresser des élèves comme celui-ci, il faut aborder des notions qui ont été retirées des programmes. Et donc prendre le risque d'être sanctionné. 
L'élève dont parle Matricule_63 est en 6ème. Espérons qu'en fin de 3ème, il soit toujours aussi intéressé, et aussi doué. Il y a un risque non négligeable qu'il s'ennuie fortement dans ce carcan, et qu'il soit devenu un élève problématique plutôt qu'un élève modèle.
Ce risque ressort déjà dans la description donnée par Matricule_63 :  du genre à caser... pour faire le malin.

Un élève doué a besoin d'avoir de temps en temps des exercices qui sont au programme et qui sont trop difficiles pour lui, sinon il devient vite insolent.

Dom

Bonne remarque lourrran. Il arrive que l’élève curieux et investi de 6e devienne élève quelconque en fin de 5e. L’adolescence n’y est jamais pour rien. 

Jaymz

@jelobreuil
En fait, et ça rejoint le débat qu'il y a eu il y a peu sur les épreuves du CAPES, un point important pour moi, quand t'es prof, au delà d'un niveau minimal disciplinaire, c'est la motivation que tu as. Les élèves sont très sensibles à ça et ils voient très vite un prof qui aime ce qu'il fait d'un autre, ils seront alors plus réceptifs et plus travailleurs. Ce n'est pas miraculeux non plus bien sûr. Sur ce forum, et je le comprends parfaitement, beaucoup ne voit que l'aspect maths mais un prof c'est bien plus que ça, tu le dis très bien d'ailleurs ;  instruire leurs élèves et leur donner le maximum de chances de s'épanouir pleinement dans leur vie future ...

@lourrran
Un prof ne se fera pas sanctionner s'il fait du hors piste de temps en temps, j'en fais aussi et ça ne pose pas de problème. 

jelobreuil

Eh oui, @Jaymz, il n'y a pas que les maths dans la vie ... Mes encouragements sont aussi destinés aux profs de français, de langues, de physique-chimie, de sciences de la vie, d'histoire et géographie, d'éducation physique ... etc ... Même si ceux-ci ont peu de chances de les lire : je ne pense pas qu'ils soient nombreux à fréquenter ce forum, aussi, vous qui les lisez, je vous prie de les transmettre à vos collègues des autres matières ...

Bien amicalement, JLB

hx1_210

Merci @jelobreuil pour tes propos positifs qui sont malheureusement devenus trop rares dans notre société obscurantiste.

nicolas.patrois

Jaymz a dit :

Les élèves sont très sensibles à ça et ils voient très vite un prof qui aime ce qu'il fait d'un autre, ils seront alors plus réceptifs et plus travailleurs. Ce n'est pas miraculeux non plus bien sûr.

En effet.

Dans une classe avec un élève tordu qui sait manipuler, ça sera tout le contraire. Si tu aimes ce que tu fais, il fera tout ce qu’il faut pour te démolir.

Jaymz

@jelobreuil
Effectivement, encore merci pour tes encouragements !

Soc

Si tu leur as fait trouver la liste des diviseurs avec la présentation usuelle de ce type:

alors on peut "facilement" comprendre ce mécanisme de parité selon l'existence ou non d'un diviseur d tel que n=d².

Cela nécessite tout de même un enfant à l'esprit vif et certainement beaucoup plus éveillé que la norme actuelle, de plus celui-là semble en plus pratiquer les maths à la maison pour le plaisir.

Matricule_63

Pas si usuelle pour moi ^^' (jamais vu cette présentation)
Je les ai écrit en ligne, mais effectivement en faisant remarquer qu'ils allaient "deux par deux".

Dom

Je préfère 
150
1x150
2x75
etc.
mais ça revient au même. 

Sato

Matricule_63 a dit :

Mais ne font que des recommandations.

Cela existe peut-être. Malheureusement, @Matricule_63, tous ceux que j’ai vus, et j’en ai vu, ne donnaient que des ordres. 

AlainLyon

@Matricule_63 $45$ a $3$ ..oups $4$ diviseurs et ce n'est pas le carré d'un entier!

123rourou

Il a juste appréhendé les entiers comme une surface : un rectangle a obligatoirement un nombre impair de facteurs,dans ce contexte