Nombre de points d'intersection de droites

OShine

Bonsoir,
C'est l'exercice 28.22.
Je ne comprends pas où sont utilisées certains hypothèses : 

• Les droites obtenues ne sont jamais parallèles.
• Trois droites ne peuvent être concourantes qu'aux points initiaux.

Dans la seconde méthode du corrigé, je n'ai pas compris comment on sait qu'on a introduit un ordre.

lourrran

Voilà ce qui se passe quand on ne réfléchit jamais, on est démuni devant une question qui demande 5 secondes de réflexion.

OShine

5 secondes ? Je ne sais pas, je trouve l'exercice compliqué.
J'ai fait un dessin pour $n=4$, mais il y a une infinité de configurations.

Je ne comprends pas trop la première méthode : "trois façons de les apparier".
Pourquoi on a le droit de fixer un point ? C'est où qu'on le compte dans le dénombrement le fait de "fixer un point" ? 

lourrran

Le calcul lui même, il est compliqué.  Mais la question que tu poses, elle est basique.

OShine

Je progresse un peu en dénombrement mais j'ai encore des lacunes.

L'hypothèse : "Trois droites ne peuvent être concourantes qu'aux points initiaux." permet de simplifier le dénombrement ? 
Si j'ai bien compris, si 3 droites se coupent en un point distinct du point initial, on aura compté des points d'intersection en plus avec la méthode du corrigé.

Pour l'ordre, je ne sais pas c'est quand qu'on introduit un ordre dans le dénombrement, je n'ai jamais compris ce détail. 
Pourquoi dans la méthode 1 on n'introduit pas d'ordre alors que dans la méthode 2 on introduit un ordre ? Comment on peut savoir ? 

AlainLyon

@Oshine Je suis presbyte et myope , pas hypermitrope, alors si tu faisait tes photographies à plat je pourrai essayer de t'aider!

OShine

@AlainLyon
Oui désolé très mauvaise qualité la photo.
Je la refais.

lourrran

Si tu cherchais l'exercice, au lieu de lire à toute vitesse le corrigé, tu ferais comment ?
Tu commencerais avec 3 points $A,B,C$. A partir de 3 points, on a (généralement) 3 droites, et on n'a aucun point d'intersection, en dehors de ces 3 points de départ.
Ensuite, on ajoute un 4ème point $D$. La droite $DA$ coupe les droites $AB$ et $AC$ au point $A$... pas de nouveau point. Elle coupe  (généralement) la droite $BC$ en un point nouveau $M_A$.
Idem, la droite $DB$ coupe la droite $AC$ en un point nouveau $M_B$ ; et la droite $DC$ coupe la droite $AB$ en un point $M_C$ 
Donc, sauf accident, avec 4 points $A,B,C,D$, on a 3 points d'intersection en plus des 4 points de départ.
Et en cas d'accident (par exemple si la droite $AB$ est parallèle à $CD$), on a du déchet, on a moins de 3 points d'intersection en plus des 4 points de départ.
Ohhh , heureusement que l'énoncé nous dit que tous ces cas particuliers (droites parallèles, ou points multiples), on les exclue, on reste uniquement sur le cas 'général'. Et donc, réponse unique, à partir de 4 points, si on trace toutes les droites qui passent par 2 de ces 4 points, on obtient 3 nouveaux points. 
D'ailleurs, au tout début, quand je dis qu'avec 3 points on a 3 droites, pourquoi je peux dire ça ? c'est parce que déjà à ce niveau là, je supposais que les 3 points n'étaient pas alignés, autrement dit que les droites $AB$ et $AC$ n'étaient pas parallèles.

Quand on ajoute un 5ème point $E$, on ajoute 4 nouvelles droites $EA, EB, EC, ED$, ces 4 droites coupent les droites déjà existantes ; compter les nouveaux points n'est pas simple. Mais l'information 'pas de droites parallèles, pas de points multiples), on voit parfaitement que cette information est essentielle. 

OShine

@lourrran
Ok merci c'est plus clair.

OShine

Par contre je n'ai pas compris pourquoi on a le droit de fixer un des points pour dénombrer dans la méthode 1.
Pour la méthode 2, comment on sait qu'on a introduit il ordre ?

AlainLyon

@OShine Moi je bloque dès le 38.20 2) Conjecturez l'expression de $a_n$ en fonction de $n$ et établissez la preuve de votre conjecture. Si je conjecture une expression qui n'est pas la bonne, je ne saurai sûrement pas en faire la preuve.

A quel public qui s'adresse ce devoir de classe?

lourrran

'''fixer''' un des points. 
J'ai l'impression que l'exercice est complètement virtuel dans ton esprit.
Prends un stylo 4 couleurs, et fait un dessin.
Tu places 4 points ROUGES, qu'on va noter M,N,P,Q,R.
Tu traces toutes les droites qui s'appuient sur 2 de ces 5 points, en VERT.
Puis tu recenses les point d'intersection (en plus de M,N,P,Q,R), et tu les marques d'un gros point NOIR.

Et maintenant, on s'intéresse à ces points NOIRS. 
Quand on '''fixe''' un des points, c'est un de ces points noirs, qu'on prend, et on se pose la question : Comment ce point a-t-il été obtenu ? Et on va se reposer la même question pour chacun des points NOIRS.  Donc, on fixe un point, sans réellement le fixer.
Par exemple, un des points noirs vient de l'intersection des droites MN et PQ. (ou PQ et MN , ou PQ et NM , ou NM et QP etc, l'ordre n'a pas d'importance)

AlainLyon

Au 28.2 2) Si tu as trouvé une expression de $a_n$ en fonction de $n$ et que tu l'a démontrée, tu aura la considération de ton responsable de thèse, et si a tout fait et exposes dans les temps imparti, et répond aux questions du jury cela te vaudra une mention, voire les félicitations du jury. Et si tu en fait beaucoup plus avant 40 ans, tu aura peut-être une médaille!

OShine

AlainLyon a dit :

@OShine Moi je bloque dès le 38.20 2) Conjecturez l'expression de $a_n$ en fonction de $n$ et établissez la preuve de votre conjecture. Si je conjecture une expression qui n'est pas la bonne, je ne saurai sûrement pas en faire la preuve.

A quel public qui s'adresse ce devoir de classe?

Niveau MPSI, certains exercices sont vraiment ardus.  Le 28.20 n'est pas très compliqué.
$a_n =2^{n-1}$ ensuite on regarde les listes qui terminent par $1$ ou pas.

OShine

@lourran
Je crois avoir compris.
On a $E= \{ A,B,C,D \}$.
Il y a 3 façons de les apparier : $(A,B)$ et $(C,D)$, $(A,C)$ et $(B,D)$, $(A,D)$ et $(B,C)$.
Si on fixe $A$, il y a 3 choix pour faire une droite, puis les deux derniers points sont automatiquement reliés.
Si on fixe $B$, il y a 3 choix.
Si on fixe $C$, il y a 3 choix.
Ces 9 choix donnent le même résultat donc on l'a compté 3 fois et donc il y a juste 3 choix.

Pour la seconde méthode, il y a un ordre car on peut prendre $(A,B)$ puis $(C,D)$ mais aussi $(C,D)$ puis $(A,B)$, or les deux donnent le même point d'intersection.

J'ai une difficulté à comprendre le corrigé de la question $3$ de l'exercice 28.23.
Je ne comprends pas pourquoi le fait que le neutre fixe les images de $(e,x)$ et $(x,e)$ nous permet de conclure qu'il suffit de déterminer les applications de $(E \backslash \{e \})^2$ dans $E$.

Pour le 28.24, pas de difficultés, c'est que du calcul. 

lourrran

Tu attaques les cours sur les dénombrements, et donc, tu as effacé de ta mémoire tout ce que tu as appris en algèbre.
C'est quoi une loi de composition interne, c'est quoi un élément neutre dans une loi de composition interne ?

OShine

Je viens de revoir les structures algébriques et donc les lois de composition interne.
Une loi de composition interne est une application : $f : E \times E \longrightarrow E$ définie par $f(x,y)= x \star y$.
Déjà le neutre est unique, pourquoi $n$ choix ? 
On a $f(e,x)=f(x,e)=x$ mais je ne comprends pas le rapport avec l'application de $(E \backslash \{e \})^2$ dans $E$.

OShine

Je ne comprends pas les solutions des questions 2 et 3.
Je ne comprends pas la façon de dénombrer les applications.
Dans la 2 comment on passe du nombre d'images au nombre d'applications ? 

lourrran

Voici un ensemble avec 3 éléments E={bleu, jaune, vert}
Peux-tu me donner 2 ou 3 exemples de loi de composition interne ayant un élément neutre dans E.

OShine

C'est assez trivial.
Je prends $e=vert$ par exemple, et après je choisis des images qui restent dans $E$.
Déjà $(bleu,e) \mapsto bleu$ etc ..
Par exemple, $(bleu,jaune) \mapsto bleu$ etc.
Pour définir une application, il y a $3 \times 3=9$ images à construire.
C'est très long à écrire mais aucune difficulté.

lourrran

Aucune difficulté, mais si tu n'as pas le courage de le faire, il faut qu'on le fasse à ta place ?
Aucune difficulté, mais le 3x3=9 images à construire que tu nous annonces, il est faux.
Tant que tu liras des corrigés, et que tu refuseras de CHERCHER par toi-même et de suivre les indications, tu resteras nul.

OShine

Il y a 18 images car ce n'est pas forcément commutatif.
Je dois écrire 18 lignes pour définir une application ? 
Je ne comprends pas trop le sens de ta question. 

lourrran

Relis mon message : je te demandais même d'en définir 2 ou 3. Et pas seulement une.
18 .. non, faux encore ; ça t'aurait pris moins de temps de définir 2 ou 3 exemples de loi de composition internes, comme je te demandais, plutôt que tenter de m'expliquer que c'est long.

OShine

Tu as raison, il faut prendre un exemple pour comprendre le dénombrement.
$E=\{b,j,v \}$
Application n°1 : 
Je choisis $e=b$, donc $E= \{e,j,v \}$.
On sait que $f(e,j)=f(j,e)=f(e,v)=f(v,e)=f(e,e)=e$.
Je définis : $f(j,v)=j$, $f(v,j)=v$.

Application n°2 : 
Je choisis $e=b$, donc $E= \{e,j,v \}$.
On sait que $f(e,j)=f(j,e)=f(e,v)=f(v,e)=f(e,e)=e$.
Je définis : $f(j,v)=v$, $f(v,j)=j$.

Application n°3 : 
Je choisis $e=v$, donc $E= \{b,j,e \}$.
On sait que $f(e,j)=f(j,e)=f(e,b)=f(b,e)=f(e,e)=e$.
Je définis : $f(b,j)=b$, $f(j,b)=j$.

Si le neutre est $e=b$, alors toutes les images des couples $(x,y)$ avec $x=e$ ou $y=e$ sont fixées, donc ce qui va bouger ça sera les images de ce qui reste, donc il faut regarder le nombre d'application de $E  \backslash \{e \} \times E  \backslash \{e \} $ dans $E$. 

lourrran

On sait que  $f(e,j)=f(j,e)=f(e,v)=f(v,e)=f(e,e)=e$ : faux , mais sans conséquence sur notre exercice.
Bon, tu demandais à un moment : Déjà le neutre est unique, pourquoi $n$ choix ? 
Je pense que tu as maintenant la réponse à cette question.
D'ailleurs quand tu as écrit hier je prend e=vert par exemple, il y aurait dû y avoir une petite étincelle qui s'allume dans ton cerveau...
Et pour n=3, si on détaille tout ça, on constate qu'on a 3 options pour l'élément neutre, et une fois qu'on a choisi l'élément neutre (par exemple $b$), il reste à choisir f(v,j), f(j,v), f(v,v) et f(j,j), avec 3 options à chaque fois. Donc $3^5$ lois de composition internes avec un élément neutre, quand on part d'un ensemble à 3 éléments. 

OShine

Merci, c'est plus clair.
Oui c'est $f(e,j)=f(j,e)=j$, $f(e,v)=f(v,e)=v$ et $f(e,e)=e$.
Les images des couples $(e,j), (j,e), (e,v), (v,e), (e,e)$ sont fixées.

Chaurien

28.22.

https://oeis.org/A050534

lourrran

Je reviens sur ce message .
Tu as proposé une première application , où tu as défini 7 éléments sur les 9 possibles, tu as fait l'impasse sur $f(j,j)$ et $f(v,v)$, sans dire un truc comme etc etc, pour montrer qu'il restait des éléments à définir.
Dans la 2ème application, même impasse.
Dans la 3ème application, même impasse. 
3 exemple, avec 3 fois la même impasse, c'est suspect.
Quand je lis ça, je me dis que dans ta tête, pour définir une loi de composition interne, les $f(x,y)$ avec $x$ ou $y$ élément neutre, c'est automatique, les $f(x,y)$ avec $x \neq y$, il faut les définir, et les $f(x,x)$, on s'en fout.

OShine

@lourrran
Tu as raison, j'ai oublié mais c'est une coquille.