Nombre complexe

M4d

Le plan complexe est muni d'un repère (0,u,V) (unité graphique: 2 cm). On désigne par m un nombre réel.

On considère la transformation Tm du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par z’= (m + i)z + m - 1 -i

1. Peut-on choisir m de telle sorte Tm soit une translation? Justifier votre réponse. 
2. Déterminer le réel m de telle sorte que T soit une rotation. Préciser alors le centre et l'angle de cette rotation.
3. Dans la suite de l'exercice on pose: m = 1. 
a) Calculer l'affixe du point  $\oméga$ f invariant par Tm  b) Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer $\dfrac{z’-1}{z-1}$ En interprétant géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z’-1}{z-1}$ ; démontrer que T_1 est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.c) Démontrer que, pour tout nombre z on a : z’ - z = i (z - 1). En déduire que si M est distinct de $\oméga$ alors le triangle  $\oméga$MM’ est rectangle et isocèle en M.Voici mes résultats 1. Non , car ¥ m€R m+i  different de 1 2.  Tm est une rotation si  m+i € C-{0;1} et module |m+i| =1  Donc m=0 3. a) L’affixe du point invariant est z=1b)  $\dfrac{z’-1}{z-1}$= $\dfrac{[(m+i)z+m-1-i ]-1}{z-1}$=$\dfrac{(z+1)m-2}{z-1}+i$ je suis bloqué ici 

cailloux

Bonsoir,

Pour 3) je pense que tu as oublié :

3. Dans la suite de l'exercice on pose: m = 1.

M4d

Oh ouii 
donc : $\dfrac{z’-1}{z-1}=i+\dfrac{-1}{z-1}$ je fais comment du z au dénominateur 

cailloux

Tu reprends tes calculs en corrigeant ta ou tes erreurs.

M4d

J’ai trouvé 1+i
comment démontrer que T1 est une similitude plane en interprétant le module et l’argument le l’expression ?

cailloux

Tu as finalement pour tout $z\not=\omega$  :
$$\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=1+i\;\;(1)$$
où $\omega=1$
On a bien sûr $|1+i|=\sqrt{2}$ et $arg(1+i)=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$
Tu passes aux modules puis aux arguments dans (1) avec leurs interprétations géométriques.

M4d

oui oui j’avais calculé le module et l’argument, je ne sais comment interpréter le module et l’argument 

lourrran

Le module d'un complexe ... c'est le rayon d'un certain cercle, de centre $O(0,0)$ : Tous les complexes qui ont comme module $a$, ils forment un cercle de rayon $a$, autour du point origine.
Et l'argument, c'est un angle.
Argument $0$, c'est l'axe des x (plus précisément, la demi-droite qui coïncide avec l'axe des x, et pour les x positifs)
Argument $\frac{\pi}{2}$, c'est le demi-axe des y positifs.
Argument $\frac{\pi}{4}$, c'est la première bissectrice. 

La page Wikipédia explique cela, mais je ne suis pas sûr qu'on puisse comprendre si on ne connaît pas déjà ça par avance.

cailloux

Bonjour,
Je complète ce qu'à raconté @lourran .
On part de

$$\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=1+i$$

où $z'$ est l'affixe de $M'$, $z$ est l'affixe de $M$ et $\omega$ est l'affixe de $\Omega$. Pour mémoire, $\omega=1$.
On passe aux modules dans cette relation puis aux arguments ce qui donne :
$\begin{cases}\dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=|1+i|\\arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=arg(1+i)\;\;[2\pi]\end{cases}$
Puis l'interprétation géométrique :
$\begin{cases}\dfrac{\Omega M'}{\Omega M}=\sqrt{2}\\\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\dfrac{\pi}{4}\;\;[2\pi]\end{cases}$
On est  bien en présence de relations caractérisant une similitude directe composée commutative d'une homothétie de rapport $\sqrt{2}$ et d'une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ toutes deux de même centre $\Omega$.