Comment calculer le produit scalaire en barycentriques ?

stfj
Modifié (12 Jun) dans Géométrie
Bonjour,
Voilà une question qui m'interpelle depuis quelques temps car même si j'ai appliqué une formule qu'on m'a gentiment fournie, il n'était guère satisfaisant au bout d'un certain temps de ne pas savoir pourquoi cette formule fonctionne.
Voilà ce que j'ai cru comprendre et vous soumets :
_________________
Soit $ABC$ un triangle avec $a:=BC$(etc.). Soit $u=xA+yB+zC$ un vecteur avec $\sum x=0$. Soit $M=A+u=\xi A+\eta B+\gamma C$ avec $\sum \xi=1$ $$M=A+u=(x+1)A+yB+zC$$Donc $\begin{cases} \xi=x+1 \\ \eta=y  \\ \gamma=z \end{cases}$
Alors $M-A=(\xi-1)A+\eta B+\gamma C=(-\eta-\gamma)A+\eta B+\gamma C=\eta (B-A)+\gamma(C-A)$ $$=y(B-A)+z(C-A)$$
___________
Alors $\langle u,v\rangle=\langle M-A,N-A\rangle=c^2 yy'+b^2 zz'+2\langle B-A,C-A\rangle(yz'+y'z)$ $$=c^2 yy'+b^2 zz'+S_a(yz'+y'z)$$avec $S_a=\frac12(b^2+c^2-a^2)$ $$=-\frac12(c^2(xy'+x'y)+b^2(xz'+x'z)+a^2(yz'+zy'))$$en utilisant le fait que $z=-x-y, z'=-x'-y'$
__________________
Ceci s'écrit joliment en introduisant la matrice $$pyth\doteq \frac12\begin{pmatrix}0 & -c^2 & -b^2 \\-c^2 & 0 & -a^2 \\-b^2 & -c^2 & 0\end{pmatrix}$$ $$(u=xA+yB+zC,v=x'A+y'B+z'C)\mapsto  \color{red}\boxed{(x,y,z)\cdot pyth\cdot ^t(x',y',z')} $$
ce qui m'avait servi à de multiples reprises, ici, là, encore là et là et ici.
__________________
1.- Cette justification de $\color{red}\text{la formule}$ vous paraît-elle correcte mathématiquement ?
2.- Est-elle pertinente ?

Cordialement, Stéphane.

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (12 Jun)
    Bonjour,

    Voilà ma fonctiion ProduitScalaire en Matlab:
    function ps = ProduitScalaireBary(U,V,a,b,c)
    
             % Produit scalaire de deux vecteurs U et V
             % On suppose que x1 + y1 + z1 = x2 + y2 + z2 = 0
    
             x1=U(1); y1=U(2); z1=U(3); x2=V(1); y2=V(2); z2=V(3);
             ps=a^2*(z1*y2+y1*z2) + b^2*(x1*z2+z1*x2) + c^2*(y1*x2+x1*y2);
             ps=-ps/2;
    end
    Ce qui correspond à ce que tu as écrit.

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    Modifié (13 Jun)
    Bonjour @pappus, (@rescassol, edit)
    J'ai trouvé une application intéressante de cette formule : détermination de la bissectrice de $\widehat{NMP}$, où $M,N,P$ sont donnés en barycentriques dans un triangle de base $ABC$.
    Tu dois la connaître, cette application, n'est-ce pas, et avoir une fonction Matlab qui te fournit le nécessaire pour les exercices où on en a besoin.
    Cordialement, Stéphane.
  • Bonjour @stfj
    Tu as parlé de pappus (qui ne pratique pas le calcul formel) au lieu de Rescassol, qui dispose forcément d'une fonction Matlab pour les bissectrices (d'ailleurs bravo à toi pour ta réussite).
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Oui @Vassillia. Faire les calculs du point $K$ et trouver presque sans erreur le bon point donnant la bissectrice, pour moi c'est wow! Et merci à toi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.