Une formule

Bonjour,

Question : Montrer que $pb = qc = \dfrac{pq}{p+q}(b+c) = \dfrac{bc}{b+c}(p+q).$
Amicalement

Réponses

  • Bonjour,
    avec Morley circonscrit : si $B,C,P,Q$ sont les affixes des points du cercle (centré en $O$) aux extrémités respectives des segments de même nom, le point d'intersection des deux cordes a pour affixe $\displaystyle\frac{PB(Q+C)-QC(P+B)}{PB-QC}$, de sorte que les longueurs $b,c,p,q$ sont respectivement les modules de $\displaystyle\frac{P(B-Q)(B-C)}{PB-QC}$, $\displaystyle\frac{Q(C-P)(C-B)}{PB-QC}$, etc. Les égalités attendues s'ensuivent.
  • Bonjour, en fait c'est le fait de similarité avec les angles inscrits $\frac{p}{q}=\frac{c}{b}$, la première formule est la même chose pour dire que le quadrilatère de la figure est inscriptible. Disons $c=1$, donc $pb=q$ donnent les autres égalités aussi.
  • Bonjour,
    Merci john_john et Tonm pour vos contributions.
    Cordialement
  • Chaurien
    Modifié (12 Jun)
    Si $A$ est le point d'intersection des deux cordes, la puissance de ce point $A$ par rapport au cercle est :  $-pb=-qc$. 
    L'égalité : $pb = \dfrac{pq}{p+q}(b+c)$ équivaut à : $ bp=qc$. Idem pour $ qc = \dfrac{bc}{b+c}(p+q)$.
  • Bonjour,

    $pb=qc$ est simplement l'expression de la puissance du point d'intersection des deux cordes par rapport au cercle.
     
    Cordialement,
    Rescassol

  • De la figure on en déduit    en utilisant la puissance par rapport au cercle (ou de la similarité de deux triangles ) que $pb=qc$
    puis loin de la figure c 'est un jeu algébrique en effet : 
    $\frac{p}{c}=\frac{q}{b}\implies \frac{pq}{bc} = \frac{p^2}{c^2}   = \frac{q^2}{b^2} =\frac{p^2+q^2+2pq}{b^2+c^2+2bc}=\frac{(p+q)^2}{(b+c)^2} $ donc $\frac{pq(b+c)}{p+q}=\frac{bc(p+q)}{b+c}$
    il en découle  $  (  \frac{pq(b+c)}{p+q} )^2=\frac{pq(b+c)}{p+q}*\frac{bc(p+q)}{b+c}=  pq*bc = (pb)^2 $  ainsi on déduit  le resultat.

    cordialement
    RH HAS
     









  • Bonsoir RHOM,
    Merci pour ta contribution.
    Cordialement
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