Deux triangles semblables

Bonjour,
Soit $ABC$ un triangle, $Q$ un point sur le cercle circonscrit de $ABC$.
La droite passant par $Q$ perpendiculaire à $(AB)$ coupe les droites $(CA)$ et $(CB)$ aux points $C_a$ et $C_b$.
Définissons de la même manière $A_b, A_c, B_a, B_c.$
Les droites $(B_aC_a), (A_bC_b), (A_cB_c)$ définissent un triangle $T_aT_bT_c. $

Question : Montrer que les triangles $ABC$ et $T_aT_bT_c$ sont semblables.
Amicalement

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (12 Jun)
    Bonjour,

    Avec Morley circonscrit, j'ai préféré appeler $U(u)$ le point $Q$ variable sur le cercle circonscrit,  je trouve qu'on passe du triangle $ABC$ au triangle $T_aT_bT_c$ par la transformation:
    $$f(z)=\dfrac{s_3(a-u)(b-u)(c-u)\overline{z}+(u^2+s_2)(s_2u-s_3)}{(a+b)(b+c)(c+a)u}$$
    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (12 Jun)
    Bonsoir,

    Soit $G$ le centre de gravité du triangle $T_aT_bT_c$.
    Montrer que la droite $(GU)$ tourne autour de $X_{110}$ quand $U$ décrit le cercle circonscrit.
    Le lieu de $G$ passe aussi par ce point, et même que la droite $(X_{110}U)$ est la droite d'Euler de ce triangle.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour Rescassol,
    Merci pour ta contribution.
    Cordialement
  • Bonjour Bouzar
    Quelle est la source de ce joli exercice?
    Amitiés
    pappus
  • Bonjour pappus,
    Il s'agit d'une communication de Ivan Pavlov.
    Amicalement
  • Bonjour,
    Dans le triangle $AC_aB_a$ les hauteurs issues $C_a$ et $B_a$  se coupent en $Q$ donc $(C_aB_a)\perp(QA)$ : Les cotés du triangle $T_aT_bT_c$ sont donc perpendiculaires à $(QA)$, $(QB)$, $(QC)$ et les angles qu'ils forment sont les mêmes que celles de ces trois droites, c'est à dire les mêmes que celles du triangle $ABC$ lorsque $Q$ est sur le cercle circonscrit du triangle.

  • Salut

    considérons  $d$,la droite de Simson  de $Q$ ainsi  ses projetés orthogonales $Q_a,Q_b,Q_c$ sur les cotés respectives de $ABC$ sont alignés sur $d$; $B_aC_aQ_bQ_c$ est cyclique donc $\angle( AB,B_aC_a)=\angle Q_cB_aC_a=\angle Q_cQ_bC_a=\angle (d,AC) $ similairement  
    on déduit de la cocyclicité de $A_b,C_b,Q_a,$ et $ Q_c$ que $\angle (BC,A_bC_b)=\angle (d,AB)$;il  en découle $\angle ( AC,BC)=-\angle (d,AC)+\angle (d,AB)+\angle( AB,BC)=$ $-\angle ( AB,B_aC_a)+\angle (BC,A_bC_b)+ \angle (AC,BC)=\angle ( B_aC_a,A_bC_b)$
    on trouve de la même  façon  les autres  égalités ce qui mène à $ABC\overset {-}{\sim}  T_a T_b T_c$
    cordialement

    RH HAS












  • RHOM
    Modifié (16 Jun)
    problème plus général:
    Soient $ABC $ est un triangle ,$Q$ un  point  de  son cercle circonscrit ;
       $d_a,d_b,d_c$ trois droites passant par $Q$  t.q. $\angle (d_a,BC)=\angle (d_b,CA)=\angle (d_c,AB)$ ;
    $d_a$ coupe $BC$ en $A'$ ;
    $d_b$ coupe $AC$ en $B'$;
    $d_c$ coupe $AB$ en $C'$;
    soient $l_a$ la  perpendiculaire à $BC$ en $A'$;$l_b,l_c$ définient similairement
    $l_a$ coupe $AB,AC$ en $A_b,A_c$;
    $l_b$ coupe $BA,BC$ en $B_a,B_c$;
    $l_c$ coupe $CA,CB$ en $C_a,C_b$;
    si $A"B"C"$ est le triangle déterminé par les intersections de $B_aC_a,C_bA_b,A_cB_c$ alors montrer que les triangle $ABC$ et $A"B"C"$$ sont 
    indirectement semblables.
    cordialement.
    RH HAS





  • Bonjour,

    Tu n'es pas clair avec tes angles. Quelle variété ? Orientation ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol a dit :
    Bonjour,

    Tu n'es pas clair avec tes angles. Quelle variété ? Orientation ?

    Cordialement,
    Rescassol

    Salut à tous
    ce sont des angles  orientés de droites
    cordialement
    RH HAS

  • Rescassol
    Modifié (15 Jun)
    Bonjoir,

    J'ai donc dû me planter quelque part:

    Tu aurais dû fournir ta figure.

    Cordialement,
    Rescassol


  • Tu aurais dû fournir ta figure.

    Cordialement,
    Rescassol

    Merci de l'intérêt  que tu portais   au problème.
    je viens de réaliser qu'il a été élagué!
    Je l'ai rectifié et j'ai attaché une figure avec.
    cordialement
    RH HAS

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.