Cubique gauche (Noguès)

Bonjour,
Pour les amateurs de grands espaces.
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On considère la courbe $x = t, y = t^2, z = t^3$ ; montrer que l'on peut mener, de tout point $A$ de l'espace, trois plans osculateurs à la courbe et que le plan contenant les points d'osculation contient $A$.
Faire un lien avec la géométrie plane.
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De profundis arcsinibus...
L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)

Réponses

  • Bonjour,
    le plan osculateur en le point $M(t)$ contient ce point et est dirigé par les deux premiers vecteurs dérivés (s'ils forment une famille libre, ce qui est toujours le cas ici). On en obtient ainsi l'équation cartésienne : $3t^2X-3tY+Z-t^3=0$.

    Par le point $\cal A$ de coordonnées $(a,b,c)$ passent donc trois plans osculateurs, réels ou non, correspondant aux paramètres $t$ solutions de l'équation $T^3-3T^2a+3Tb-c\stackrel{(1)}=0$.

    Si $t_1,t_2,t_3$ en sont les trois solutions, le plan qui contient les points $M(t_\ell)$ a une équation de la forme $AX+BY+CZ+D=0$, telle que $At_\ell+Bt_\ell^2+Ct_\ell^3+D=0$ pour tout $\ell$ : cette dernière équation doit être proportionnelle à $(1)$, de sorte que, par exemple, $(A,B,C,D)=(3b,-3a,1,-c)$. Ce plan passe bien par le point $\cal A$.

    Reste à voir ce que l'on obtient en géométrie plane (par projection sur un plan par exemple ?)
  • En fait, la cubique gauche a une propriété bizarre : ce n'est pas une intersection complète, c'est-à-dire l'intersection de deux surfaces. Par exemple, on songerait à l'intersection de $V(Y=X^2)$ et de $V(XZ=Y^2)$, mais l'intersection contient la réunion de la cubique et de l'axe $Oz$.

    Il me semble avoir lu dans le Perrin qu'il existe deux surfaces dont l'intersection est la cubique gauche, mais comptée double (il y a contact des deux surfaces en tout point d'intersection). GaBuZomeu le préciserait cent fois mieux que moi, mais je crois que l'on dit qu'il y a intersection complète ensembliste et non pas intersection complète schématique.
  • Piteux_gore
    Modifié (12 Jun)
    Voici ce qu'en dit Auguste Richard Noguès (1843-1939).
    Le fait que le plan des points d'osculation contienne $A$ se rattache à l'alignement des points d'inflexion d'une courbe plane.
    En effet, si l'on projette coniquement la cubique sur un plan, $A$ étant le sommet du cône, les traces des plans osculateurs sur ce plan sont des tangentes inflexionnelles de la courbe projection, parce que A est dans chaque plan osculateur. O, les trois points d'inflexion sont alignés. Par conséquent, le plan passant par la droite des alignements et par A contient les points d'osculation.
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  • Référence de Noguès ? merci.
  • Cours de Mathématiques Spéciales sous forme de problèmes - 5ème édition - Vuibert 1919
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  • Chaurien
    Modifié (12 Jun)
    Merci. On avait parlé de Richard Noguès et de son fils Marcel, malheureusement décédé prématurément  dans un stupide accicent :  https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335814/un-x-hors-du-commun

  • Si les courbes gauches sont encore au programme de Math-Sup, cela ferait une colle intéressante.
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  • Chaurien
    Modifié (13 Jun)
    Cher @Piteux_gore, il y a longtemps que les courbes gauches ont disparu des programmes des classes préparatoires, suivies par les courbes planes, y compris les coniques. Déjà dans les années 1990, il y avait encore quelques notions relatives aux courbes de l'espace, mais non la théorie générale. Pour autant qu"il m'en souvienne, la torsion et le repère de Frenet étaient hors programme : je les avais mis en exercice.
  • john_john
    Modifié (13 Jun)
    Bonjour,
    cher Chaurien : effectivement, la géométrie différentielle a été supprimée à petit feu, quoique, lorsque l'oral du concours des TPE (Travaux publics de l'Etat) existait encore, les colleurs se soient fait de temps en temps un petit plaisir avec un calcul de courbure ou une équation intrinsèque alors ce ces notions avaient disparu jusqu'à dix ans plus tôt. Maintenant, ce ne serait même plus la peine d'essayer.



    À la rentrée de 2014 (jusqu'à celle de 2019), voici ce qu'il subsistait du paragraphe des arcs paramétrés ; on ne fait pas plus hypocrite. Ce moignon a définitivement disparu à la rentrée de 2020.
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