Droite affine réelle et $\mathrm P_{\mathbb R}(\mathbb R^2)$

stfj
Modifié (7 Jul) dans Géométrie
Bonjour,
Je considère une droite affine réelle $D$ et deux points $A$ et $B$ sur $D$ et $m$ le milieu de $AB$. Je plonge $D$ dans un espace vectoriel $\widehat{D}$ tel que $D$ soit une droite affine de $\widehat{D}$ ne passant pas par l'origine. Je veux que les coordonnées barycentriques d'un point $M$ de $D$, définies à une constante multiplicative non nulle près  soient aussi les coordonnées projectives de $\pi(M)$, où $$\pi:\widehat{D}-0\to \mathbb P(\widehat D)$$ $$M\mapsto \mathbb R.M$$Je prends alors comme repère projectif $(\pi(A),\pi(B),\pi(m))$ d'origine $\pi(m)$.
1.- Est-ce que cela fonctionne ainsi ? Cet exercice que j'ai résolu me semble le confirmer. 
2.-Cette construction est-elle classique ? 
3.- Le point à l'infini est $1: -1\simeq\pi(A-B)$?
4.- Le double point de vue (coordonnées barycentriques et coordonnées homogènes ) n'est-il pas en fait triple puisque Si $M\simeq x:y$, on a aussi $M=xA+yB$ dans la base $(A,B)$ de $\widehat{D}$?
5.- Si les points ci-dessus sont réglés, dans quelles occasions les abus de notation que ce triple point de vue entraîne fatalement, peuvent-ils se révéler problématiques?
6.- En notant $c=d(A,B)$, j'obtiens pour $u=(x,y),v=(x',y')$, avec $x+y=0$ et $x'+y'=0,\, \langle u,v \rangle=u\cdot-\frac12\begin{bmatrix}0 & c^2 \\c^2 & 0\end{bmatrix}\cdot ^t v$. Est-ce correct?
7.- Quel lien avec ce qui se passe quand $D$ est une droite d'un espace affine réel de dimension $3$?
Cordialement, Stéphane.

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