orientation d'un arc géométrique

Bonjour,

On part d’un arc paramétré (I,f) défini en polaires par la relation ρ(θ).

On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des arcs paramétrés en disant que (I,f) est équivalent à (J,g) s’il existe un homéomorphisme φ de I sur J, tel que f = g o φ. On obtient un arc géométrique.

Si on impose à φ d’être strictement croissant on a une nouvelle relation d’équivalence, qui a une ou deux classes.

Dans le cas, où il y a 2 classes : appelons les Γ bleue et Γ verte ,on appelle ces classes un arc géométrique orienté.

L’une de ces classes définit arbitrairement le sens direct.

Sans autre critère, deux étudiants différents peuvent très bien ne pas choisir la même classe comme directe ?

Pour préciser ce choix, je lis parfois Γ+ « est orienté dans les sens des θ croissants ».
Qu’est-ce que cela signifie précisément ?

Merci.



Réponses

  • Bonjour, 
    Vu que j'ai beaucoup de vues et aucune réponse, je m'interroge. Mes questions sont-elles idiotes ou peu claires ?
    Merci
  • Bonjour,
    en coordonnées polaires, $\vartheta$ est un paramètre admissible et tacitement (ou explicitement), on choisit l'orientation définie par le paramétrage qu'il définit.
  • Merci, mais je ne comprend pas ce que cela veut dire. Auriez-vous un exemple de paramétrage défit par thêta et un qui ne soit pas ?
  • Barjovrille
    Modifié (12 Jun)
    Bonjour, je ne sais pas si j'ai bien compris le message.
    Mais voici ce que je peux dire d'après le théorème des valeurs intermédiaires un homéomorphisme $\phi : I \subset \mathbb{R} \to J \subset \mathbb{R}$ est nécessairement strictement croissant ou strictement décroissant ($I$ est un intervalle).
     Donc tu choisis l'orientation par rapport au type de monotonie. Plus précisément la deuxième relation d'équivalence "scinde" les classes d'équivalences de la première relation en 2. ie : $\Gamma= \Gamma^+ \cup \Gamma^-$ (où $\Gamma$ est une classe d'équivalence d'arc pour la première relation).
     Et donc la phrase $\Gamma^+$ est orienté dans le sens des theta croissant je pense que ça veut dire :  si $f,g \in \Gamma$ avec $f=g \circ \phi$, si $\phi$ est strictement croissante alors $g \in \Gamma^+$ et dans l'autre ensemble sinon. (il y a peut-être des ambiguïté dans ce que je dis mais tu peux les lever en vérifiant que ta relation arc géométrique orienté est bien une relation d'équivalence).
  • Les termes "directes" et "indirectes" sont effectivement arbitraires.
  • Bonjour, Lipschitz,
    si tu parcours un cercle dans le sens trigonométrique, tu dis que tu  le parcours orienté selon les $\vartheta$ croissants et, sinon, dans le sens des $\vartheta$ décroissants. Les Anglo-Saxons disent respectivement sens anti-horaire et sens horaire.

    Si tu es à Paris et que, un beau jour, tu voies le soleil se déplacer d'Ouest en Est, tu diras que son sens de parcours a changé.

    Je ne vois pas quoi dire de plus concret...
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