Fermeture de la chasse aux angles entre deux cercles sécants

Swingmustard

Bonjour,

Deux angles $\alpha$ et $\gamma$ émergent lorsqu'on découpe la droite des centres avec les transformations suivantes.

$\beta=\alpha$ se démontre par exemple avec $OCP$ isocèle et des angles alternes internes.

1) Avec l'inversion.

L'inversion de cercle $\Gamma(\Omega,A)$, merci @pappus, nous livre $\delta=\gamma$, $\varepsilon=\beta$ et même $\varphi=\alpha$.

2) Avec l'homothétie.

Par exemple l'homothétie négative de centre $J$ (intersection de la bissectrice intérieure de $\widehat{OPO'}$ avec $OO'$) qui transforme $\mathscr{C}(O,B)$ en $\mathscr{C}(O',B')$.

Ce que je tire de cette situation, c'est surtout $$\widehat{OPJ}=\varphi'+\varepsilon'=\delta'+\gamma$$

C'est geogebra qui me dit que $\delta'=\alpha$, je veux bien une démonstration SVP.

Bref, on en est à $$\varphi'+\varepsilon'=\alpha+\gamma$$

Seulement voilà. Mon point $M$ est pour l'instant artificiel : là où je l'ai mis, on aura $$\varphi'=\gamma\textrm{ et }\varepsilon'=\alpha$$ Mais en le déplaçant un peu, on aura aussi bien $$\varphi'=\alpha\textrm{ et }\varepsilon'=\gamma$$

C'est donc ma question : avez-vous un point $M$ à proposer qui "irait bien", dans ce contexte ?

Amicalement,

Swingmustard

Bonus. On appelle angle entre deux cercles sécants l'angle formé par leurs tangentes.

Avec les notations précédentes, cet angle se décompose en $$2(\alpha+\gamma)$$

Swingmustard

a) Démonstration du bonus : l'angle entre les tangentes, c'est aussi celui entre les centres (puisque les tangentes sont perpendiculaires aux rayons). D'après (1), c'est bien $$\gamma+\delta+\varepsilon+\varphi=2(\alpha+\gamma)$$

b) Démonstration de $\delta'=\alpha$.

Bissectrice de l'angle $\widehat{OPO'}=2(\alpha+\gamma)$, $PJ$ le coupe notamment en $$\widehat{JPO'}=\alpha+\gamma$$ En soustrayant $\widehat{BPO'}=\gamma$, il reste $$\widehat{JPB}=\delta'=\alpha$$c) J'ai vraiment besoin de votre aide pour terminer : quel point $M$ intéressant choisir ?

$M$ tel que $$\widehat{OPM}=\alpha\textrm{ ou }\widehat{OPM}=\gamma\textrm{ ?}$$"Intéressant" peut signifier "homothétique d'un point auquel je n'ai pas pensé", ou n'importe quel point, mais si possible pas le $C'$ du (1) SVP, pour ne pas mélanger les torchons de l'inversion avec les serviettes de l'homothétie.

Amicalement,

Swingmustard

P.S. Ah ben si je refuse $C'$ d'office, comme il correspond à $\widehat{OPM}=\alpha$, c'est réglé : je voulais (sans réaliser) à toute force que $$\boxed{\widehat{OPM}=\gamma}$$ C'est d'ailleurs exactement ce que j'ai dessiné.

Bien joli, mais alors quel peut bien être ce point $M$ ?

Il nous faut créer une ELCC : une encyclopédie des centres de la droite des centres !

pappus

Mon cher Swingmustard

Ce que tu nous racontes est certainement très intéressant mais peux-tu nous dire comment tu as tracé cette figure et en particulier nous donner une définition claire de chacun des points situés sur cette fameuse ligne des centres?

Merci d'avance.

pappus

Swingmustard

Bonjour pappus,

$Px$ est la parallèle à la droite des centres passant par $P$.

Toutes les égalités d'angles ont été démontrées (je crois) dans les messages précédents.

1) Lucky : découpage réussi de $\widehat{\Omega Px}$ en $\alpha+\alpha+\beta+\beta+\alpha+\alpha=\boxed{4\alpha+2\beta}$, grâce à l'inversion de cercle de centre $\Omega$ et de diamètre $AB$, qui transforme respectivement $B, O, C, P$ en $B, O', C', P$. Puisque le titre parle de cercles sécants, il y en a un deuxième : de centre $O$ et de diamètre $CD$. Quant à $H$, il n'est que le projeté orthogonal, sur la droite des centres, de l'intersection $P$ des deux cercles.

2) Unlucky : découpage en attente de $\widehat{OPx}$ en $\beta+\alpha+\alpha+\beta+\alpha+\alpha=\boxed{4\alpha+2\beta}$ grâce à l'homothétie de centre $J$ (j'ai rappelé sa construction comme pied de bissectrice), qui transforme le cercle de centre $O$ et de diamètre $AB$ en le cercle de centre $O'$ et de diamètre $A'B'$.

Qui peut bien être ce drôle de point $M$ ? (Je n'en sais rien.)

J'ai choisi deux notations différentes délibérément : pour m'adapter à chacun des contextes.

Bien que les points soient tous les mêmes, sauf $J\neq O'$ et $M\neq C'$.

Amicalement,

Swingmustard

pappus

Bonjour Swingmustard

Je ne vois aucun message précédent expliquant la construction de cette figure.

Peut-être dans un autre fil plus ou moins récent?

Quelles sont les données de départ à partir desquelles cette figure se construit?

Bref, je reste sur ma faim!

Amicalement

pappus

Swingmustard

M'enfin pappus,

Deux cercles sécants dans le cas le plus général. Soit $P$ l'une de leurs intersections.

Outre les deux fois deux extrémités de diamètres, je ne garnis la droite des centres que de deux malheureux inverses $C'$ et $O'$.

En (2), je remplace ces inverses par un centre $J$ d'homothétie et $M$ qui me pose question, c'est tout.

Amicalement,

Swingmustard

pappus

Merci Swingmustard

On va dans la bonne direction puisque tu as défini certains des points de cette figure mais je ne suis pas encore entièrement satisfait.

Je veux bien croire que tes inverses sont malheureux mais pourrais-tu nous préciser l'inversion qui les définit.

Enfin qu'entends-tu par "remplacer ces inverses par un centre $J$ d'homothétie"?

Amicalement

pappus

Swingmustard

Swingmustard a dit :

Bonjour pappus,

(...) $\widehat{\Omega Px}=\alpha+\alpha+\beta+\beta+\alpha+\alpha=\boxed{4\alpha+2\beta}$, grâce à l'inversion de cercle de centre $\Omega$ et de diamètre $AB$, qui transforme respectivement $B, O, C, P$ en $B, O', C', P$. Puisque le titre parle de cercles sécants, il y en a un deuxième : de centre $O$ et de diamètre $CD$.

Sommes-nous d'accord jusque là ? (On verra $J$ plus tard.)

Amicalement,

Swingmustard

pappus

Merci Swingmustard

Il faut vraiment te tirer les vers du nez!

Mais on va y arriver!

Voilà tout ce que j'ai compris pour le moment.

On a deux cercles: le premier de diamètre $AB$ et de centre $\Omega$, le second de diamètre $CD$ et de centre $O$ qui se coupent en $P$ et en un autre point (non tracé) symétrique de $P$ par rapport à la ligne des centres.

$H$ est la projection orthogonale de $P$ sur la ligne des centres.

La définition des points $C'$ et $O'$ reste pour moi un mystère le plus complet!

Amicalement

pappus

Swingmustard

@pappus tu charries ...

L'inversion est tellement "la version circulaire de la réflexion", que geogebra emploie la même commande.

Définir $\Gamma$ le cercle de centre de diamètre $AB$ puis entrer Symétrie($O,\Gamma$) nous donne directement $O'$.

Même topo pour $C'$ l'inverse de $C$ par rapport à $\Gamma$.

Peut-on s'éloigner des définitions pour s'intéresser à ma question ?

Je veux bien unifier mes notations.

Tu connais parfaitement $J$, le centre d'homothétie négative et pied de la bissectrice intérieure de $\widehat{\Omega P O}$, et je demande simplement qui pourrait être le point $M$ ci-dessus.

Amicalement,

Swingmustard

P.S. Le point de vue suivant a le mérite d'identifier tous les acteurs, mais "mélange" des points des domaines de l'inversion et de l'homothétie, et nous fait perdre $O'$ : dommage, je préférerais enrichir, en découvrant une définition de $M$.

pappus

Si tu parles de point inverse sans préciser le cercle d'inversion et il y avait deux cercles sur la figure, on aura des difficultés à te comprendre!

Merci Swingmustard d'avoir pris la peine de répondre à mes desiderata.

Je vais pouvoir maintenant faire la figure et essayer de répondre à tes questions.

Amicalement

pappus

Swingmustard

Ta lecture (un peu rapide comme souvent : j'avais chaque fois précisé le cercle d'inversion) m'a fait bien élaguer, et maintenant (j'espère que) ma question est plus claire, donc merci @pappus.

Puisque tu dis "mes questions" alors que je n'en ai posé qu'une, en voici une deuxième.

Pour démontrer que $\widehat{JPB}=\widehat{OPC}$, je me suis servi de l'inversion.

Si toi ou quelqu'un d'autre voit une démonstration sans l'inversion, je suis preneur.

Amicalement,

Swingmustard

Swingmustard

Bonjour,

J'en reviens à mes premières notations, qui mettent en valeur l'homothétie négative de centre $J$ qui transforme le cercle violet en le cercle rouge.

1) J'ai envie de renommer $M$ en $B_i$, puisqu'on peut le qualifier de "pied de l'isogonale de $PB$ par rapport aux rayons".

(Sous-entendu : $PO$ et $PO'$).

À part cette définition angulaire, $B_i$ aurait-il des propriétés ? En rapport avec l'homothétie ?

2) Rappel de ma question (2) : démontrer que $\widehat{JPB}=\widehat{O'PA'}$ sans utiliser l'inversion ?

Amicalement,

Swingmustard

P.S. De ce point $B_i$, on peut aussi dire qu'il est, par construction, le conjugué harmonique de $B$ par rapport aux centres d'homothéties $I$ et $J$ puisque ceux-ci sont les pieds des bissectrices de $\widehat{OPO'}$. Mais je n'en tire pas d'avantage de propriétés pour l'instant.

Swingmustard

Bonjour,

Pour la question (1) "Quel est, sous l'éclairage des homothéties, ce point $M$ (alias $B_i$) qui divise $\widehat{OPJ}$ en $\beta + \alpha$ ?", je finis par me répondre ceci.

a) $O'$ a la propriété d'être image de $O$ par deux homothéties dont les rapports ont la même valeur absolue $\dfrac{r'}r$ : de centres $I$ et $J$.

b) Parmi l'infinité de couples d'homothéties de centres $I$ et $J$ ayant (toutes les deux) un rapport de même valeur absolue, il y en a un (couple) qui fait de $M$ pour $B$ ce que $O$ est à $O'$.

Sauf que la valeur absolue commune des rapports de ces deux homothéties-là n'est plus du tout $\dfrac{r'}r$.

Elle m'échappe encore, et vous pouvez m'aider dans sa recherche, qui est peut-être toute simple.

Je résume cette dernière version de la question : exprimer en fonction des données le rapport $$\boxed{\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{JB}{JM}}$$

On a droit à tous les points : $O, O', A, B, A', B', I, J$, sauf $M$ bien entendu.

Amicalement,

Swingmustard

Swingmustard

L'heure de la fermeture a vraiment sonné !

a) Rappel du "Spécial inversion" : $$\boxed{\widehat{OPB}=\alpha+\alpha+\beta}$$

b) Le point mystère $M$, je le note désormais $B''$, on va voir pourquoi.

Les messages précédents mènent à "$BB''$ est la moyenne harmonique de $BI$ et $BJ$"$$BB''=\dfrac{2 BI\times BJ}{BI + BJ}$$

Quant à la construction de $B''$ : de celles que je connais du conjugué harmonique (qu'est $B''$ pour $B$ wrt $I$ et $J$), celle qui se prête le plus à la situation me semble être (ne m'en déplaise, à moi qui cherchais une version "purement homothétique", sans inversion !) le tracé de $B''$ comme inverse de $B$ par rapport au cercle de diamètre $IJ$. Merci @pappus : tu m'as fait découvrir cette construction en deux cercles noirs, il y a deux ou trois ans.

Pourquoi la boucle est-elle bouclée ? On obtient enfin un deuxième découpage distinct (mais si proche) de l'angle $\widehat{OPB}$.

Le "Homothéties mâtinées d'inversion" : $$\boxed{\widehat{OPB}=\beta+\alpha+\alpha}$$

Après cette étude des cercles sécants quelconques, il est temps de revenir à la foule des cercles sécants particuliers (orthogonaux etc...)

Amicalement,

Swingmustard