Sextiques dans les prés

Bonjour,
Voici un exercice, que j'ai trouvé bien intéressant.
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On considère les cercles d'équation $x^2 + y^2 - 2ax \cos u - 2ay \sin u + a^2 \cos^2 u = 0$, où $a$ est une longueur donnée.
1) Montrer que l'enveloppe des cercles se compose de l'axe $Ox$ et d'une épicycloïde à deux rebroussements, dont on formera l'équation cartésienne.
2) Trouver l'enveloppe de la droite joignant les points caractéristiques d'un même cercle.
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Bon courage...
L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (10 Jun)
    À défaut d'un calcul, une figure. En fait le calcul avec Sage est immédiat...
    sage: e = x^2+y^2-2*x*cos(u)-2*y*sin(u)+cos(u)^2
    sage: D = solve([e,diff(e,u)],(x,y),solution_dict=True)
    sage: D
    [{y: 2*sin(u)^3/(cos(u)^2 + sin(u)^2),
      x: (cos(u)^3 + 3*cos(u)*sin(u)^2)/(cos(u)^2 + sin(u)^2)},
     {y: 0, x: cos(u)}]
    
    PS : l'équation...
    sage: R. = PolynomialRing(QQ,4)
    sage: I = R.ideal([x-cu^3-3*cu*su^2, y-2*su^3, cu^2+su^2-1])
    sage: J = I.elimination_ideal([cu,su])
    sage: J.gens()
    [4*x^6 + 12*x^4*y^2 + 12*x^2*y^4 + 4*y^6 - 12*x^4 - 24*x^2*y^2 - 12*y^4 + 12*x^2 - 15*y^2 - 4]
    

  • La première enveloppe est une néphroïde d'équation  $4(x^2 + y^2 - a^2)^3 - 27a^4y^2 = 0$ et la seconde est une astroïde d'équation $(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27a^2x^2y^2 = 0$.
    L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)
  • Ah oui, j'ai (enfin...) compris la deuxième question. Voici donc la suite du calcul.
    sage: f = (x-cos(u))*(y.subs(D[0])-y.subs(D[1]))-y*(x.subs(D[0])-x.subs(D[1]))
    sage: DD = solve([f,diff(f,u)],(x,y))
    sage: DD
    [[x == cos(u)^3/(cos(u)^2 + sin(u)^2), y == -sin(u)^3/(cos(u)^2 + sin(u)^2)]]
    sage: R. = PolynomialRing(QQ,4)
    sage: II = R.ideal([x-cu^3, y-su^3, cu^2+su^2-1])
    sage: JJ = II.elimination_ideal([cu,su])
    sage: JJ
    Ideal (x^6 + 3*x^4*y^2 + 3*x^2*y^4 + y^6 - 3*x^4 + 21*x^2*y^2 - 3*y^4 + 3*x^2 + 3*y^2 - 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, cu, su over Rational Field
    
    Et la figure complétée.

  • Origine du problème : toujours Deltheil ?
  • Piteux_gore
    Modifié (11 Jun)
    Toujours et encore Deltheil... C'est une mine d'exercices qui, pour la plupart d'entre eux, sont instructifs sans être insurmontables.
    Le clou de cet exercice est l'élimination de l'angle entre l'équation générale des cercles et sa dérivée... J'ai mis un certain temps à trouver le truc.
    L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)
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