Trace nulle = Orthogonalement semblable à une matrice à diagonale nulle

jp nl

Bonjour.

Le but de mon exercice est de montrer que toute matrice réelle de trace nulle est orthogonalement semblable à une matrice dont les éléments diagonaux sont nuls.

1. $u$ est un endomorphisme de $E$ euclidien avec deux vecteurs $x, y$ unitaires, orthogonaux et propres pour les valeurs propres $a$ et $b$ avec $a.b<0$.

Montrer qu'il existe $z$ unitaire dans $Vect(x,y)$ tel que $(z|u(z))=0$.

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J'ai posé $z'=tx+(1-t)z$ où $t\in\R$, puis développé $(z'|u(z'))$ qui est un polynôme du second degré en $t$ dont le discriminant est $-4ab>0$, donc $t$ (tel que le produit scalaire ci-dessus soit nul) existe (et même on a deux valeurs distinctes de $t$).

On peut donc former deux vecteurs $z$ en normant les deux vecteurs $z'$ possibles.

Je me suis demandé, pour la question suivante, si ces deux vecteurs sont orthogonaux ; mais vu l'allure prise par mes calculs, j'ai repoussé à plus tard, si besoin.

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2. Montrer le résultat souhaité pour une matrice symétrique réelle.

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On construit une base orthonormale du noyau, puis on considère la restriction de $u$ au supplémentaire orthogonal $F$ de ce noyau (je note encore $u$ cette restriction). Dans une bonne base orthonormale, $u$ est diagonalisable, et sa trace est encore nulle. On note $x$ et $y$ deux vecteurs comme dans la question ci-dessus et on note $z$ le vecteur unitaire obtenu.

Et là, ça se corse sacrément ! Je ne sais pas écrire la suite !

Merci de toute aide !

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3. Montrer le résultat souhaité pour toute matrice réelle.

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Toute matrice $M$ est la somme d'une matrice symétrique $S$ et d'une matrice antisymétrique $A$.

Pour toute matrice orthogonale $P$, la matrice $P^{-1}AP=P^TAP$ reste antisymétrique, donc de trace nulle.

Comme d'après la question 2, on peut trouver $P$ orthogonale telle que $P^{-1}SP$ est à trace nulle,

le résultat est établi pour $M=S+A$.

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Merci pour tous les coups de main pour la question 2 !

dSP

Dans ta question 2, ce n'est pas très utile de se placer sur l'orthogonal du noyau (cela ne fait que repousser la difficulter, et in fine complique la démarche). Le plus important est de comprendre que faire à partir d'un vecteur unitaire $z$ tel que $(z \mid u(z))=0$. Naturellement, le compléter en une base orthonormale et examiner ce qu'il reste à faire en pensant très fort à des matrices.

jp nl

Merci dSP !

J'imagine que tu penses à une récurrence sur la dimension avec la restriction de $u$ à $F=Vect(z)^{\perp}$ ?

Mais il est douteux que $F$ soit stable par $u$, alors ... je suis perdu.

Edit : en me relisant, je vois que j'ai mal écrit le point 3 : je voulais parler de diagonales nulles, et non de traces nulles.

jp nl

J'essaie un truc...

jp nl

Propriété :

Soit $n\in\N^*$. 

Pour toute matrice $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ de trace nulle, il existe $N$ une matrice à diagonale nulle et $P$ orthogonale tels que $A=P^{-1}NP$.

On remarque qu'alors, $N$ est également symétrique.

Pour $n=1$, la propriété est évidente.

Supposons qu'elle soit vraie pour $n$ fixé.

Soit $M\in\mathcal{S}_{n+1}(\R)$ de trace nulle. On note $f$ l'endomorphisme canoniquement associé.
On écarte facilement le cas où $M$ est nulle. Dans le cas contraire, on peut utiliser la question précédente pour fabriquer un vecteur unitaire $z$ tel que $(z|u(z))=0$.

On construit une base orthonormale $\mathcal{B}'=(z,...)$ de $\R^n$.

La matrice de $f$ dans cette base est $M'=\begin{pmatrix}0&L\\C&A\end{pmatrix}$ et $A$ est symétrique réelle, car $M$ l'est (et la matrice de passage est orthogonale), et de trace nulle, car $M$ l'est.

Par hypothèse de récurrence, il existe $N$ une matrice à diagonale nulle et $P$ orthogonale tels que $A=P^{-1}NP$.

On pose $Q=\begin{pmatrix}1&O\\O&P\end{pmatrix}$ et alors $Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&O\\O&P^{-1}\end{pmatrix}$.

$Q$ est orthogonale car $P$ l'est, et $Q^{-1}M'Q=\begin{pmatrix}0&L'\\C'&N\end{pmatrix}$ est à diagonale nulle. D'où l'hérédité.

C'est l'idée ?

gebrane

C'est un exercice classique qu'on pose à l'oral. Je ne comprends pas cette complication de considérer le cas des matrices symétriques. Tu peux regarder cette vidéo, c'est bien expliqué.

une matrice de trace nulle est semblable à une matrice dont les éléments diagonaux sont nuls - YouTube

Edit, Lol, j'ai zappé le mot orthogonalement semblable

dSP

C'est l'idée ?

C'est tout bon.

gebrane

Bonjour, est-ce que quelqu'un peut monter une preuve sans récurrence ?

jp nl

Merci pour le coup de main !

Comme gebrane, je suis preneur d'une autre preuve !

Zig

Bonjour, une idée de démo qui me vient : 

1/

Soit $A=\left(a_{ij}\right)\in\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)$ telle que $a_{11}<0$ et $a_{22}>0$.

Alors il existe une matrice $P\in\mathcal{O}_{2}\left(\mathbb{R}\right)$ telle qu'en notant $B=\left(b_{ij}\right)=P^{T}AP$, on ait $b_{11}^{2}+b_{22}^{2}<a_{11}^{2}+a_{22}^{2}$.

2/

On en déduit que si $C=\left(c_{ij}\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$ est telle que $\underset{i}{\sum}c_{ii}=0$ et $\underset{i}{\sum}c_{ii}^{2}>0$,

alors il existe $Q\in\mathcal{O}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$ telle qu'en notant $D=\left(d_{ij}\right)=Q^{T}CQ$, on ait $\underset{i}{\sum}d_{ii}^{2}<\underset{i}{\sum}c_{ii}^{2}$

3/

On se fixe $M=\left(m_{ij}\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right)$.

Soit $f$ l'application définie de $O_{n}\left(\mathbb{R}\right)$ dans $\mathbb{R}$ par $f\left(R\right)=\underset{i}{\sum}r_{ii}^{2}$, où $\left(r_{ij}\right)=R^{T}MR$.

Alors $f$ atteint un minimum.

Si $M$ vérifie $\underset{i}{\sum}m_{ii}=0$, alors d'après 2/ ce minimum ne peut être que 0.

Conclusion.