Cardinal d'une union disjointe preuve

OShine
Modifié (9 Jun) dans Fondements et Logique
Bonjour,

Je ne comprends le raisonnement avec les antécédents.

Réponses

  • @OShine : fais l'effort, s'il te plait, de choisir la bonne catégorie (ou le bon dossier) avant de déposer ton fil ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Du reste, que ne comprends-tu pas dans cette démo ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Vu que $A\cap{}B=\emptyset$, tout $x$ dans $A\cup{}B$ est nécessairement tel que ou bien $x\in{}A$, ou bien $x\in{}B$. What else?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Je ne comprends pas pourquoi si $y \in A$, alors un antécédent de $y$ appartient nécessairement à $[|1,m|]$.
    Je ne vois pas le rapport avec le fait que $y \notin B$.
  • Tu n'as donc pas lu la définition de $h$. Pourquoi poser des questions sur ce que tu ne lis pas ?
  • J'ai lu la définition de $h$ plusieurs fois, je ne comprends toujours pas.
  • Tu ne comprends pas la démonstration. Admettons.
    Si tu devais faire une démonstration par toi-même, tu saurais le faire facilement ? difficilement ? Tu ne saurais pas le faire ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • La définition de h dit exactement ce que tu ne comprends pas. Donc tu ne l'as pas comprise. Ne te contentes pas de passer l’œil dessus, pense à ce qu'elle dit, au besoin, prends un exemple simple avec n=2 et m=3, par exemple, et fais un dessin avec un ensemble à 2 éléments et un autre à 3 éléments, tous différents des deux premiers.
    On appelle ça "penser". Je sais, ça t'est difficile, mais il est temps de commencer à le faire, tu es grand maintenant.
  • @lourran
    J'aurais fait la même démo mais sans savoir justifier rigoureusement.
    Avec des patates c'est simple, mais formaliser la démonstration est plus compliqué.
    Cette démonstration est un peu technique et difficile pour mon niveau, c'est peu probable que je trouve seul une démo de ce type. C'est le genre de démo que je dois retenir en me souvenant de l'idée.
    Si je la présente à un oral de maths, je ferai un dessin.

    @gerard0
    Ok merci avec le dessin j'ai compris.
    Voici ma preuve dans le cas général, enfin une tentative.
    J'ai écrit : $A=\{ f(1), \cdots, f(m) \}$
    $B=\{ g(1), \cdots, g(n) \}= \{ g(m+1-m), \cdots, g(m+n-m) \}$.
    Soit $y \in A$. Montrons qu'un antécédent de $y$ par $h$ appartient nécessairement à $[|1,m|]$.
    Si $y \in A$, $y \notin B$, donc il existe $x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$. 

    Soit $y \in B$. Montrons qu'un antécédent de $y$ par $h$ appartient nécessairement à $[|1,m|]$.
    Si $y \in B$, $y \notin A$, donc il existe $x \in [|1,n|]$ tel que $y=g(x)$, c'est-à-dire $x \in [|m+1,m+n|]$ tel que $y=h(x)$.

  • Soit $y \in A$. Montrons qu'un antécédent de $y$ par $h$ appartient nécessairement à $[|1,m|]$.
    Si $y \in A$, $y \notin B$, donc il existe $x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$.
    Je suis loin d'être convaincu.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • OShine
    Modifié (10 Jun)
    Car $f(x)=h(x)$ sur $[|1,m|]$.
  • @OShine : ah bon ? Première nouvelle !
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Il va nous dire que c'est une coquille.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Coquille rectifiée.
  • L'argument $y \notin B$ est il utile ? S'il est utile, il faut le laisser. S'il est inutile, le laisser est une faute.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (10 Jun)
    Bonjour
    C'est un exercice à poser à  l'école primaire. Il y a $m$ billes dans la boîte A et  il y a $n$ billes dans la boîte B. 
    On réunit les billes des deux boîtes  dans une troisième boîte  que l'on désignera par $C$.
    Combien  y-a-t-il de billes dans la boîte $C$?
    Essaye de justifier ta réponse en évitant de dessiner des patates mais en utilisant les mots "application", "bijection" et  "antécédent."
        
       

     
  • OShine
    Modifié (10 Jun)
    lourrran a dit :
    L'argument $y \notin B$ est il utile ? S'il est utile, il faut le laisser. S'il est inutile, le laisser est une faute.
    Je pense que oui, pour dire que $A$ ne contient pas d'éléments de la forme $g(x)$.
    Je doute que le corrigé soit faux, c'est un livre très sérieux. 
  • @bd2017
    $m+n$, la réponse est donnée par la démonstration avec l'application.

  • zeitnot
    Modifié (11 Jun)
    OShine a dit :

    Si $y \in A$, $y \notin B$, donc il existe $x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$. 

    @OShine tu écris la phrase ci-dessus dans ta démonstration.

    A quel niveau $y \notin B$ intervient dans ce que tu écris.

    Je reprends ta phrase en enlevant $y \notin B$ :

     Si $y \in A$, il existe $x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$ cette phrase est correcte même si $A$ et $B$ ne sont pas disjoints. Donc tu as un Thierry pas convaincu et un Lourrran qui te demande s'il faut enlever  $y \notin B$. Il ne parle pas de la démonstration du livre mais de la tienne.







     





    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • On a $A = \{ f(1), \cdots, f(m) \}$.
    Si $y \in A$, il existe $x \in [|1,m|]$ tel que $y=f(x)$, donc il existe $x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$ car sur $[|1,m|]$ on a $h(x)=f(x)$.

    Par contre je n'ai pas trop compris, à quoi sert l'hypothèse $y \notin B$ dans la preuve, et c'est où qu'on utilise que $A$ et $B$ sont disjoints.
  • .... donc il existe $ x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$.... Est-ce qu'il peut exister $x \in [|m+1,n|]$ tel que $y=h(x)$ ? Oui, non pourquoi, à quelle condition ?
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Je ne sais pas où on s'en sert, et je m'en moque totalement. Ce que je sais, c'est que s'ils ne sont pas disjoints, $A\cup B$ est de cardinal strictement inférieur à $m+n$, et donc ne peut pas être en bijection avec $[|1,m+n|]$

    Allez, au boulot.

    $A$ est de cardinal $m$ donc il existe une bijection $F$ de $A$ vers $[|1,m|]$
    $B$ est de cardinal $n$ donc il existe une bijection $G$ de $B$ vers $[|1,n|]$
    (je note mes bijections $F$ et $G$ et non $f$ et $g$ comme dans le corrigé, parce que je préfère aller de $A$ vers $[|1,m|]$, au lieu de l'inverse, donc je ne reprends pas les mêmes notations)
    On peut introduire l'application $P$ de $[|1,n|]$ vers $[|m+1,m+n|]$ , définie par $P(x)=m+x$
    Question 1 : Montrer que $P$ est une bijection.
    Question 2 : Montrer que $P o G$ est une bijection de $B$ vers $[|m+1,m+n|]$ 

    Soit l'application $H$ de $A \cup B$ vers $[|1,m+n|]$ définie par : 
    $H(x) = F(x)$ si $x \in A$
    $H(x)= P o G(x)$ si $x \in B$ ... tiens, heureusement que $A$ et $B$ sont disjoints, sinon ma fonction serait ambigüe, j'aurais 2 formules différentes pour calculer l'image de $x$, pour les éléments de $A\cap B$
    Question 3a : Montrer que H est parfaitement définie (il y a un indice)
    Question 3b :  Montrer que H est une bijection de $A \cup B$ vers $[|1,m+n|]$

    pffffff. 

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • zeitnot a dit :
    .... donc il existe $ x \in [|1,m|]$ tel que $y=h(x)$.... Est-ce qu'il peut exister $x \in [|m+1,n|]$ tel que $y=h(x)$ ? Oui, non pourquoi, à quelle condition ?
    S'il existe $x \in [|m+1,m+n|]$ tel que $y=h(x)$ alors $y=g(x-m)$ avec $x-m \in [|1,n|]$ donc $y=g(z)$ avec $z \in [|1,n|]$ donc $y \in B$, ce qui est absurde.
  • OShine
    Modifié (12 Jun)
    @lourran
    Merci je réponds ce soir, j'ai eu beaucoup de choses à faire ces temps-ci avec les conseils de classe.
    Mais je commence à prendre du plaisir à faire du dénombrement, avoir revu le cours des années après m'a bien aidé, je comprends mieux les notions d'arrangement, de combinaison, l'utilisation des partitions dans le dénombrement etc.. Tout me semble plus clair.
    Je vais pouvoir préparer la leçon de l'agreg interne sur le dénombrement.
  • @lourran
    1) $P : [|1,n|] \longrightarrow [|1+m,m+n|]$ définie par $P(x)=x+m$.
    Montrons que $P$ est bijective.
    Soit $y \in [|1+m,m+n|]$ tel que $P(x)=y$. Alors $x=y-m \in [|1,n|]$ donc $P$ est bijective.
    2) $P$ est une bijection de $[|1,n|]$ vers $[|1+m,m+n|]$, $G$ est une bijection de $B$ vers $[|1,n|]$, par composée d'applications bijectives, $P \circ G$ est une bijection de $B$ dans $[|1+m,m+n|]$.
    3) On a $H : A \cup B \longrightarrow [|1,m+n|]$ définie par : $H(x)= \begin{cases} F(x) \ \text{si} \ x \in A \\ P \circ G(x) \ \text{si} \ x \in B   \end{cases}$
    a) $H$ est bien définie car chaque élément $x \in A \cup B$ a une unique image, car $A$ et $B$ sont disjoints, soit l'image de $x$ est $F(x)$, soit c'est $P \circ G(x)$.
    b) Soit $z \in [|1,m+n|]$. Raisonnons par disjonction de cas :
    • Si $z \in [|1,m|]$, par définition de $F$, il existe $x \in A$ tel que $z=F(x)$. Ainsi, $x=F^{-1} (z)$.
    • Si $z \in [|m+1,m+n|]$, alors par définition de $P \circ G$, il existe $x \in B$ tel que $z=P \circ G(x)$. Ainsi, $z=G^{-1} \circ P^{-1} (x)$.
    Dans les deux cas, $x$ est unique. $A$ et $B$ étant disjoints, $x$ reste unique pour tout $z$ dans $[|1,m+n|]$.
  • lourrran
    Modifié (13 Jun)
    On a donc construit une bijection de $A \cup B$ vers $[|1, m+n|]$, et on a donc démontré que $Card(A \cup B ) = Card(A)+Card(B)$

    A priori, tu vas beaucoup aimer ce bouquin, il a été fait sur mesure pour toi ; il fait combien de pages en tout ? 25000 ? 50000 ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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