Métrique qui peut prendre la valeur infinie

amafhh

Bonjour,

Est ce qu'on peut parler d'un métrique qui peut prendre la valeur $+\infty$ ?

Si oui, Est-ce qu'on peut dire que cette métrique est complète ou non ?

Merci pour la réponse

gerard0

Bonjour.

Quelle est, pour toi, la définition de "métrique" ?

Cordialement.

amafhh

Un métrique ou distance est une application $d:E\times E\longrightarrow \mathbb{R}_{+}$ qui est 

symétrique et verifie l'inégalité triangulaire et $d(x,y) = 0$ si et seulement si $x = y.$ 

math2

Donc pour répondre à ta réponse à ta question est dans ta réponse. 

Maintenant la question de savoir si ça serait pertinent d'étendre la notion, ce que l'on conserverait et perdrait en est une autre

Karnaj

Est-ce que $+\infty$ est un élément de $\mathbb{R}_+$ ?

Médiat_Suprème

L'idée de prolonger la notion de distance en une application $d:E\times E\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}_{+}$ n'est pas idiote, est-ce qu'elle mène à quelque chose ???

Karnaj

Oui, par exemple pour modéliser des systèmes dans lesquels il n'existe pas de chemins entre certaines paires de points.

Georges Abitbol

Ce genre d'application porte même un nom : "écart". Dans les espaces vectoriels, il y a des semi-normes.

Médiat_Suprème

Est-ce que "écart" ce n'est pas quand $\neg (d(x, y) = 0 \Rightarrow x = y )$ ?

PS : @Georges Abitbol a raison !

amafhh

merci pour tous,

Foys

Le prolongement (*) de l'ordre et de l'addition usuels de $\R_+$ à $\R_+ \cup \{+\infty\}$ d'une manière "cohérente" ne posent pas de problèmes particuliers (c'est quand vous êtes sur tout $\R$ qu'il se passe des bizarreries): on pose simplement $x+y=+\infty$ dès que $x=+\infty$ ou $y=+\infty$, et pour tout $x\in \R_+ \cup \{+\infty\}$ on pose $x \leq +\infty$.

Avec ces conventions on peut prendre pour définition de distance la définition suivante (qui n'est rien d'autre que la définition usuelle en remplaçant $\R$ par $\R_+ \cup \{+\infty \}$): pour tout ensemble $E$, on appelle distance sur $E$ toute application de $E^2$ dans $\R_+ \cup \{+\infty\}$ telle que

(i) pour tous $x,y\in E$, $d(x,y) = 0$ si et seulement si $x = y$

(ii) pour tous $x,y \in E$, $d(x,y) = d(y,x)$

(iii) pour tous $x,y,z\in E$, $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$.

Il se trouve alors qu'on a la propriété suivante pour toute distance $d$ (au sens précédent, à valeurs dans $\R_+ \cup \{+\infty\}$) sur un ensemble $E$:

Si pour tous $x,y\in E$ on pose $d'(x,y):= \min \{1; d(x,y)\}$ alors la fonction $d'$ est également une distance.

Les points (i) et (ii) sont évidents à vérifier. Pour le (iii), soient $x,y,z\in E$. L'inégalité est évidente à vérifier si $d'(x,y)=1$ ou $d'(y,z) = 1$. Dans les autres cas on a $d'(x,z) \leq d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) = d'(x,y)+d'(y,z)$.

On peut également vérifier que:

(iv) $d$ et $d'$ définissent la même topologie (la définition d'une topologie avec une distance à valeurs dans $\R_+ \cup \{+\infty\}$ est la même qu'avec une distance à valeurs dans $\R$: une partie $V$ de $E$ sera dite ouverte lorsque pour tout $x\in V$ il existe $r\in \R_+ \cup \{+\infty\}$ non nul tel que pour tout $y\in E$, si $d(x,y)<r$ alors $y\in V$)

(v) $d$ et $d'$ définissent les mêmes suites de Cauchy, les mêmes fonctions uniformément continues (en fait la même structure uniforme pour les lecteurs qui savent de quoi il s'agit, sinon consulter Bourbaki Topologie Générale Chapitre 2).

Bref comme $d'$ est une distance au sens usuel (à valeurs dans $\R$), la notion de "distance prenant des valeurs infinies" telle que ci-dessus n'apporte strictement rien de nouveau par rapport à la notion usuelle.

(*) Par contre cette extension des opérations peut être très utile pour définir les concepts de théorie de la mesure en évitant des distinctions de cas fastidieuses (poser également $x \times 0:= 0 \times x := 0$  et $+\infty \times x := x \times +\infty = +\infty$ pour tout $x\in \R_+ \cup \{+\infty\}$; voir Walter Rudin: Analyse réelle et complexe pour un exposé de la théorie de la mesure suivant cette approche).

Foys

Plus amusant: pour tout $y\in [0,+\infty[$, la fonction (examiner sa dérivée) $x\in [0,+\infty[ \mapsto \arctan(x+y) - \arctan (x)$ est décroissante, d'où l'inégalité $\arctan(x+y) \leq \arctan(x)+\arctan (y)$, valable pour tous $x,y\in \R_+$. On en déduit immédiatement que pour tout ensemble $E$ et toute distance $d: E \to \R \cup \{+\infty\}$, l'application $d'':= (x,y)\in E^2 \mapsto \arctan \left ( d(x,y)\right )$ est à nouveau une distance (avec la convention évidente $\arctan (+\infty):= \frac {\pi} 2$: étant donnés $x,y,z\in E$ tels que $d(x,y)<+\infty$ et $d(y,z)<+\infty$, on a encore $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) <+\infty$ et $\arctan \left ( d(x,z)\right) \leq \arctan \left ( d(x,y)+d(y,z)\right) \leq \arctan \left ( d(x,y)\right) + \arctan \left (d(y,z) \right) $ via la croissance de $\arctan$; l'inégalité trianglaire est évidente dans tous les autres cas). Pour cette nouvelle distance on a de plus $d(x,y) = +\infty$ si et seulement si $d''(x,y) = \frac{\pi} 2$ pour tous $x,y\in E$ et les points (iv) et (v) de mon message précédent demeurent en remarquant que pour tout $x\in [0,1]$ on a $\frac x 2 \leq \arctan (x) \leq x$ (étude de fontion à nouveau) et donc que pour tous $x,y$ assez proches on a $\frac 1 2 d(x,y) \leq d''(x,y) \leq d(x,y)$.

amafhh

Foys