Fonction valeur de vérité

Georges Abitbol

Un peu d'accord avec raoul.S !

Congru : bien entendu que tu ne vois pas les difficultés, puisque tu as écrit toi-même ces formules. Si tu as déjà programmé un peu, t'es-tu déjà rendu compte que c'est bien plus difficile de comprendre le code de quelqu'un d'autre que le sien ?

En plus, on ne sait pas trop ce que tu attends.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Et maintenant, @Congru, tu étends cela à la sémantique d'un langage du premier ordre dans un topos ?

samok

Bonjour,

bon ben c'est quoi un topos ?

genre c'est de la stéganographie pour insulter ma mère ?!

Je parie que c'est même pas constitué d'ensembles les, comment il m'insulte déjà, les ... topos !?

Congru

Bonjour @GaBuZoMeu, je ne suis pas familier avec les topos, il me semble qu'il y a un lien avec la théorie des catégories et que ça a été crée par Alexandre Groethendieck, c'est un peu près à cela que mes connaissances dessus se limitent. Je m'intéresserais à ça de plus près un peu plus tard quand j'aurais terminé d'autres projets suspendus depuis longtemps.

GaBuZoMeu

J'ai parlé des topos pour rigoler, mais en tout cas ce que je sais de la sémantique dans les topos me fait penser que la "bonne" façon de parler de valeur de vérité ne peut pas éviter de dire aussi ce qu'est l'extension d'une formule (close ou pas) dans une structure pour le langage, relativement à un contexte (ensemble fini de variables contenant les variables libres de la formule).

Congru

@GaBuZoMeu La première fois que j'ai lu une description de la fonction "valeur de vérité" c'était dans le David-Nour et c'était comme tu dis, c'est ce que j'appelle la méthode classique, je trouve que ça fait très "programme informatique" et je ne trouves pas ça très naturel. Je ne trouve pas cela adapté au calcul par un humain non plus. Je voulais quelque chose avec lequel je pourrais travailler, c'est pour cela que j'ai fait ma propre construction et je l'ai utilisé beaucoup de fois (plus de 100 fois) pour calculer (sans l'aide d'un ordinateur) des valeurs de vérité de formules parfois très complexes.

Congru

Pour ceux que ça intéresse (sait-on jamais), voici quelques implémentations du lambda-calcul, notamment vous y verrez la fonction substitution du "3." mais pour les lambda-termes. Oui mes formules peuvent être transformées en programmes informatique.

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335195/implementations-informatiques-du-lambda-calcul#latest

GaBuZoMeu

"je l'ai utilisé beaucoup de fois (plus de 100 fois) pour calculer (sans l'aide d'un ordinateur) des valeurs de vérité de formules parfois très complexes."

Un exemple, STP. Cela m'étonnerait fort que, pour une formule avec quantificateurs du calcul des prédicats, tu ne passes pas par l'extension d'une formule avec variables libres.

Congru

@GaBuZoMeu Voici quelques exemples assez simples:

Edit. J'ai des exemples plus compliqués mais ça risque de focaliser la conversation ailleurs.

GaBuZoMeu

Tu as écrit cela à la main ???

Héhéhé

Foys a dit :

@gerard0 a écrit:
Si ce n'est pas le débat, pourquoi Foys en a-t-il parlé ?

 l'antiformalisme militant rampant qu'on voit parfois sur le forum est largement hors-sujet ici.

Ton "formalisme" est le formalise actuel. S'il était nécessaire pour faire des mathématiques, que faisait donc Euclide, Euler, Gauss, Riemann et compagnie ? Du tricot ? Dans 100 ans, le formalisme aura changé (comme il a déjà changé moult fois dans le passé). Donc on arrête de faire des maths ?

Héhéhé

Congru a dit :

@GaBuZoMeu Voici quelques exemples assez simples:

Edit. J'ai des exemples plus compliqués mais ça risque de focaliser la conversation ailleurs.

On dirait une parodie des messages de Foys 

Congru

@GaBuZoMeu oui j'ai fait les calculs à la main.

Congru

Héhéhé a dit :

Foys a dit :

@gerard0 a écrit:
Si ce n'est pas le débat, pourquoi Foys en a-t-il parlé ?

 l'antiformalisme militant rampant qu'on voit parfois sur le forum est largement hors-sujet ici.

Ton "formalisme" est le formalise actuel. S'il était nécessaire pour faire des mathématiques, que faisait donc Euclide, Euler, Gauss, Riemann et compagnie ? Du tricot ? Dans 100 ans, le formalisme aura changé (comme il a déjà changé moult fois dans le passé). Donc on arrête de faire des maths ?

Bonjour, je penses sincèrement que tu n'est pas encré dans cette conversation.

Congru

Héhéhé a dit :

Congru a dit :

@GaBuZoMeu Voici quelques exemples assez simples:

Edit. J'ai des exemples plus compliqués mais ça risque de focaliser la conversation ailleurs.

On dirait une parodie des messages de Foys 

Très constructif, j'adore. Le bal des clounes c'est à côté.

GaBuZoMeu

Congru a dit :

@GaBuZoMeu oui j'ai fait les calculs à la main.

Que d'énergie dépensée pour si peu de choses ! Je ne pourrais absolument pas m'investir dans ce genre de choses, heureusement qu'il y a des façons plus intéressantes de faire des mathématiques.

Héhéhé

Congru a dit :

Bonjour, je penses sincèrement que tu n'est pas encré dans cette conversation.

Je vais m'encrer alors puisque apparemment il faut ton approbation pour participer à la conversation. Peux-tu m'expliquer ce que tes pages de symboles apportent par rapport à la preuve présente ici : https://proofwiki.org/wiki/Opposite_Ring_is_Ring ?

Foys

Ci-dessous on propose une définition rapide de la sémantique à base de valeurs de vérité de la logique classique du premier ordre sans prérequis autre qu'un vocabulaire ensembliste basique.

1°) Une signature du premier ordre est un quadruplet $S:=(F,a_F,P, a_P)$ où:

$F,P$ sont des ensembles disjoints (de lettres), $a_F$ est une application de $F$ dans $\N$ et $a_P$ est une application de $P$ dans $\N$.

On appelle souvent "symboles de fonction" (resp de "prédicat") les éléments de $F$ (resp. $P$).

Les fonctions $a_F, a_P$ s'appellent des "arités". Un symbole de fonction (resp. de prédicat) d'arité égale à $0$ est habituellement appelé "constante" (resp. constante propositionnelle).

Dans toute la suite du message on fixe une signature notée comme ci-dessus.

2°) Soit $C$ un ensemble (de lettres,disjoint de $F \cup P$ et fini en pratique: on appellera "contexte" un tel ensemble). Les termes de $S$ de contexte $C$ (on notera $T(S,C)$ leur ensemble) sont les suites de caractères produites selon les règles suvantes:
2.1) tout élément de $C$ est dans $T(S,C)$
2.2) tout élément $x$ de $F$ tel que $a_F(x)=0$ est dans $T(S,C)$
2.3) Pour tout $g$ dans $F$ et tous $t_1,...t_{a_F(g)}$ dans $T(S,C)$, $g \left ( t_1,...t_{a_F(g)}\right )$ est dans $T(S,C)$

3°) Soit $C$ un contexte. On appelle formule de $S$ de contexte $C$ (on notera $\Phi(S,C)$ leur ensemble dans ce qui suit) toute suite de caractères obtenue selon les règles suivantes:
3.1) Pour tout $h\in P$ et tout $a_P(h)$-uplet $u_1,...u_{a_P(h)}$ d'éléments de $T(S,C)$, $h \left (u_1,...u_{a_P(h)} \right)$ est dans $\Phi(S,C)$
3.2) Pour tous $\alpha,\beta$ dans $\Phi(S,C)$, $\neg \alpha$ et $\alpha \wedge \beta$ sont dans $\Phi(S,C)$

3.3) Pour toute lettre $a$ ne figurant pas dans $C \cup F \cup P$, et toute formule $\gamma \in  \Phi(C \cup \{a\}, S)$, $\exists a \gamma$ est dans $\Phi(S,C)$ (ainsi le contexte peut changer).

-Les éléments de $\Phi(S,\emptyset)$ sont appelés parfois "formules closes".
-Lorsque $\delta$ est une formule de $S$ et de contexte $C$, les seules lettres de $\delta$ qui sont signifiantes sont celles qui sont dans $C$ et toutes les autres sont de simples auxiliaires grammaticaux.

4°) Sémantique (classique): Dans ce paragraphe, $M$ désigne un ensemble, $\overline f$ une fonction de domaine $F$ et $p$ une fonction de domaine $\overline p$ telles que

(i) pour tout $u\in F$, $\overline f (u)$ est une fonction de $M^{a_F(u)}$ dans $M$
(ii) pour tout $v$ dans $P$, $\overline p (v)$ est un sous-ensemble de $M^{a_P(v)}$.

4.1°) (Important): Etant donné un contexte $C$, on appelle environnement de $C$ toute application de $C$ dans $M$. Etant donné un environnement $e$ de $C$, un élément $m$ de $M$ et une lettre $x$ qui ne figure pas dans $C \cup F \cup P$, on désignera par $e++[x:=m]$ l'unique environnement de $C \cup \{x\}$ qui envoie $x$ sur $m$ et dont la restriction à $C$ est $e$.

4.2°) pour tout environnement $e$ et tout terme $t$ de $S$ de contexte $C$, on appelle valeur de $t$ dans $e$ et on désigne par $val^T(C,e,t)$ l'élément de $M$ défini par induction comme suit:
(i) $val^T(C,e,x) = e(x)$ pour tout $x$ dans $C$
(ii) $val^T \left (C,e,  g (t_1,...,t_{a_F(g)})\right) := \overline f (g) \left (val^T(C,e,t_1), ... val^T(C,e,t_{a_F(g)}) \right)$ pour tout $g\in F$ et tous termes $t_1,...,t_{a_F(g)}$ de $T(S,C)$.

4.3°) Pour tout contexte $C$, tout environnement $e$ de $C$ et toute formule $\varphi$ de $S$ de contexte $C$, on appelle "valeur de vérité" de $\varphi$ et on désigne par $val^{\Phi}(C,e, \varphi)$ le nombre (qui vaut toujours $1$ ou $0$; pour les autres sémantiques telles que celle de la logique intuitionniste le terme de "valeur de vérité" est-il adapté?) défini par induction de la manière suivante:

(i) pour tout $h\in P$ et tous termes $u_1,...,u_{a_P(h)}$,on pose  $val^{\Phi} \left (C,e, h(u_1,...,u_{a_P(h)}) \right):= 1$ si $\left (val^T(C,e,u_1),...,val^T(C,e,u_{a_P(h)}) \right) $ appartient à $\overline p (h)$ et $0$ dans le cas contraire.
(ii) pour toute formule $\alpha$ de $\Phi(S,C)$, on pose $val^{\Phi} \left (C,e, \neg \alpha\right):= 1 - val^{\Phi} \left (C,e, \alpha \right)$
(iii) pour toutes formules $\beta,\gamma$ de $\Phi(S,C)$ on pose $val^{\Phi} \left (C, e, \beta \wedge \gamma\right) := val^{\Phi} \left (C, e, \beta\right) \times val^{\Phi} \left (C, e, \gamma\right)$
(iv) pour toute lettre $y$ ne figurant pas dans $C\cup F \cup P$ et toute formule $\delta$ de $\Phi(S,C \cup \{y\})$, on pose $val^{\Phi} \left (C,e, \exists y \delta \right):= 1$ s'il y a au moins un élément $\ell$ de $M$ tel que $val^{\Phi} \left (C \cup \{y\}, e++[y:= \ell], \delta \right) = 1$; dans le cas contraire on pose $val^{\Phi} \left (C,e, \exists y \delta \right):= 0$.

5°) Noter qu'il n'y a qu'un seul environnement sur le contexte vide (la fonction vide): la valeur de vérité d'une formule close revêt un sens "absolu" (en fait: qui ne dépend que des interprétations des symboles de $S$ i.e. des fonctions $\overline f$ et $\overline p$).

6°) Le formalisme et la méthode axiomatique sont avant tout des outils de communication servant à véhiculer le message mathématique de la façon la plus efficace possible (avec le moins d'ambiguïté possible notamment) et non pas des caprices artificiels servant à intimider ou interrompre les études des enfants malheureux des classes populaires (et derrière ces agressions antiformalistes revendicatives se cachent une envie de censure, je suis assez certain).

7°) La logique mathématique est moins l'art d'apprendre à raisonner (si vous atterrissez dans ce genre de page du forum vous avez probablement déjà passé ce cap avant dans votre vie) que la description et l'étude des instruments syntaxiques que les mathématiciens emploient pour s'exprimer (les suites de caractères appelées "formules") et cette étude peut se faire avec les mathématiques elles-mêmes ce qui inclut le langage ensembliste; de la même manière que l'étude de la grammaire française se fait, en France en tout cas, en langue française. C'est dans cet état d'esprit que le présent message a été rédigé.

GaBuZoMeu

Les "environnements" de Foys sont là pour éviter de parler de l'extension d'une formule dans une structure relativement à un contexte. Ils ne sont pas adaptés à des sémantiques où on n'a pas d'éléments, mais toujours des sous-objets. Je trouve bien préférable de travailler avec l'extension d'une formule.

Foys se demande : "pour les autres sémantiques telles que celle de la logique intuitionniste le terme de "valeur de vérité" est-il adapté?". Une valeur de vérité pour une formule close est un sous-objet de l'objet terminal $1$ (son extension relativement au contexte vide). Pour une sémantique ensembliste classique, il n'y a que le vrai (tout l'objet terminal) et le faux (le vide). Pour une sémantique intuitionniste dans le topos des faisceaux sur l'espace topologique $X$, il y a tous les ouverts de $X$.

Thierry Poma

@GaBuZoMeu : tu précises :

Une valeur de vérité pour une formule close est un sous-objet de l'objet terminal $1$ (son extension relativement au contexte vide). Pour une sémantique ensembliste classique, il n'y a que le vrai (tout l'objet terminal) et le faux (le vide). Pour une sémantique intuitionniste dans le topos des faisceaux sur l'espace topologique $X$, il y a tous les ouverts de $X$.

Veux-tu, s'il te plait, fournir une référence (au moins) dans laquelle je pourrai examiner tout cela ? Je t'en remercie par avance.

Médiat_Suprème

Il y a longtemps que je les ai lus : Introduction à la Logique Catégorique - PDF Téléchargement Gratuit (docplayer.fr)
topos_shadoks.pdf (free.fr)

Congru

GaBuZoMeu a dit :

Congru a dit :

@GaBuZoMeu oui j'ai fait les calculs à la main.

Que d'énergie dépensée pour si peu de choses ! Je ne pourrais absolument pas m'investir dans ce genre de choses, heureusement qu'il y a des façons plus intéressantes de faire des mathématiques.

En réalité c'est plutôt relativement rapide à écrire. C'est purement calculatoire.

Congru

Héhéhé a dit :

Congru a dit :

Bonjour, je penses sincèrement que tu n'est pas encré dans cette conversation.

Je vais m'encrer alors puisque apparemment il faut ton approbation pour participer à la conversation. Peux-tu m'expliquer ce que tes pages de symboles apportent par rapport à la preuve présente ici : https://proofwiki.org/wiki/Opposite_Ring_is_Ring ?

Déjà, moi je parle d'anneau en tant que structure du premier ordre, tandis que ce que tu cites parle d'anneau en tant que triplet, d'ailleurs ton article wiki a oublié plusieurs symboles: $0;1...$.

Aussi, je ne sais pas si tu saisis, mais je calcule carrément que l'opposé d'un anneau est un anneau. Que du calcul, comme tu calculerais un déterminant par exemple.

Thierry Poma

Médiat_Suprème : bonjour. Je te remercie, mais j'avais déjà téléchargé ces documents. Je lis actuellement l'excellentissime Ebbinghaus-Flum-Thomas, dans sa seconde édition, que je prends plaisir à examiner. Je voulais parler d'un livre sérieux que je peux tenir dans mes mains ; je suis de la vielle école. Je te remercie.

Georges Abitbol

Mais si ce sont comme des calculs de déterminants, pourquoi veux-tu qu’on les lise ? Personne ne veut lire des calculs de déterminants…

Congru

Je regrette déjà d'avoir répondu à @Héhéhé, @Georges Abitbol tu peux mieux faire, je ne comprend pas trop le fondement de ta question, mais s'il s'agit de savoir si quelqu'un lit des calculs de déterminants alors sache que oui, moi je lisais des calculs de déterminants lorsque le résultat était donnée, histoire d'être sûre qu'il n'y ait pas d'erreur et aussi pour apprendre deux ou trois astuces nouvelles.

Héhéhé

Désolé je ne comprends toujours pas l'intérêt de faire des pages de calculs difficiles à lire alors que la démonstration classique que l'anneau opposé est un anneau tient en quelques lignes et très facile à suivre.

Ce n'est pas du troll ou de la provoque. C'est une vraie question.

Qu'est-ce que ça apporte ?

Georges Abitbol

Congru, tu n’as pas l’air de me comprendre, et je crains que tu ne comprennes pas non plus les autres. Je crois que personne ici n’a envie de lire tes formules. Les raisons qui font que je ne veux pas lire tes formules sont les suivantes : je pense que ça me prendrait beaucoup de temps, je pense que je ferais des erreurs en vérifiant des calculs et je ne crois pas que ça m’amuserait.

Je te parlais de programmation parce que je pense que si tu écrivais tout ça dans un assistant de preuve plutôt qu’en $\LaTeX$ (avec probablement plein de overfull hboxes), alors tu n’aurais qu’à cliquer sur un bouton pour que tes productions soient vérifiées, tes coquilles détectées, etc.

Congru

@Georges Abitbol généralement quand j'écris une formule, je ne négliges pas de prouver qu'elle fait ce que j'attends d'elle et c'est à cette étape là que je détecte les coquilles éventuelles. Après il y a une différence entre quand je travaille et quand j'essaie de modifier une partie de mon travail antérieur vite fait pour poster sur ce forum, là des fautes d’inattention peuvent surgir. Mais je comprends ce que tu dis sur les vérificateurs de preuve et c'est un bon conseil que tu me donne là, merci.

Congru

@Héhéhé je suis certain que tu es capable de rechercher par toi même l'utilité de la théorie des modèles pour l'algèbre. Aussi je suis certains que tu es capable de comprendre la signification de "vérifier par le calcul".

Je suis aussi certain que tu es capable de comprendre que je donnais un "EXEMPLE" d'utilisation de ma fonction !

Même si je l'ai déjà dit, tu semble ne toujours pas comprendre que là je parle d'anneau au sens de la théorie des modèles et que ton article wiki parle d'anneau au sens classique...tu viens dans une conversation où tu n'as pas de place...

raoul.S

Je n'ai jamais vu de formule logique aussi énorme que celle-ci ... même le javascript du forum a du mal à l'ingurgiter

En tout cas ça confirme ce que je pense : pour toi le formalisme est une fin en soi.

GaBuZoMeu

Congru a dit :

... je parle d'anneau au sens de la théorie des modèles et que ton article wiki parle d'anneau au sens classique...

Quelle est la différence ? Un anneau au sens classique n'est pas exactement un modèle ensembliste de la théorie des anneaux ?

Congru

@GaBuZoMeu un anneau au sens classique est un 5-uplet $(A;+;\star ;0;1)$ qui vérifie ....

Soit $T_{Ann}$ la théorie des anneaux, un anneau au sens de la théorie des modèles est un couple $(A;\iota)$ tel que $(A;\iota)\models T_{Ann}$.

GaBuZoMeu

Euh ...

Le langage de la théorie des anneaux ne comprend-il pas deux symboles fonctionnels d'arité 2 pour l'addition et la multiplication, et deux constantes pour les éléments neutres ?

Congru

Si, mais, une structure c'est un couple , la première projection étant l'univers et la seconde étant la fonction qui interprète les constantes fonctionnelles et relationnelles.

Georges Abitbol

Mais qu’est-ce que $\iota$, si ce n’est un quadruplet $(0,1,+,\times)$ ?

Congru

Le commentaire juste au dessus de ta question répond à ta question.

Georges Abitbol

Ben oui mais en quoi la différence entre ce que je dis et ce que tu as dit est intéressante ?

Georges Abitbol

Je veux dire : un jour on s’émerveille du fait que $\times$ n’est pas associatif, le lendemain on s’émerveille du fait que $((A\times A)\times A)\times A$ et $A^4$ soient des ensembles différents. Mais après ça, je ne connais pas grand monde qui continue de s’y intéresser tout en souhaitant aller plus loin… Là, que $\iota$ soit un quadruplet ou une fonction, je ne vois pas la différence…

Congru

@Georges Abitbol si ta question est "y a-il a une correspondance bijective et canonique entre les anneaux au sens classique et les anneaux au sens de la théorie des modèles ?" alors la réponse est oui. Si ta question est "est-ce que $\iota =(+;\star;0;1)$ ?" alors la réponse est non. Personnellement je considère deux choses différentes quand elles le sont. Sinon, dis moi quel genre d'uplets tu utiliserait si l'ensemble des symboles de fonction est infini ?

Exemple: le langage des $\mathbb R$-espaces vectoriels.

Georges Abitbol

Mais non, ma question n’est pas « est-ce que $\iota = (0,1,+,\times)$ ». Ma question est : c’est la différence entre les deux qui t’intéresse ? Parce que je peux comprendre que ça t’intéresse, mais cela n’a rien à voir avec la théorie des anneaux. Pour moi, c’est comme si tu nous disais : « j’aime bien aller au cinéma », mais qu’en fait, tu voulais dire « j’aime bien me diriger vers le cinéma parce que j’y vais en rampant, et il y a du gravier sur le chemin et du coup il faut développer des techniques ; d’ailleurs, je fais dix allers-retours entre chez moi et le cinéma et je rentre » et on se demanderait même si tu sais qu’au cinéma, il y a des films sympa, de temps en temps.

Ben là, c’est pareil : je crois que beaucoup de monde se dit que faire la différence entre la fonction de domaine fini implicitement totalement ordonné, c’est comme ramper sur du gravier.

Héhéhé

Congru a dit :

@Héhéhé je suis certain que tu es capable de rechercher par toi même l'utilité de la théorie des modèles pour l'algèbre. 

Ce n'est pas ma question. Ma question est à quoi servent tes pages de calcul et ta fonction valeur de vérité.

Congru a dit :

Aussi je suis certains que tu es capable de comprendre la signification de "vérifier par le calcul".

Quel est l'intérêt de vérifier par le calcul ? En quoi un calcul est mieux qu'une démonstration ?

Congru a dit :

Je suis aussi certain que tu es capable de comprendre que je donnais un "EXEMPLE" d'utilisation de ma fonction !

Si tu considères cet exemple non pertinent, peux-tu en donner un qui l'est ? Où ton approche apporte quelque chose ?

Congru a dit :

Même si je l'ai déjà dit, tu semble ne toujours pas comprendre que là je parle d'anneau au sens de la théorie des modèles et que ton article wiki parle d'anneau au sens classique...tu viens dans une conversation où tu n'as pas de place...

J'ai bien compris de quoi tu parles mais il n'y a guère de différence, comme l'ont aussi souligné GaBuZoMeu et Georges Abitbol. En tout cas personne ne semble comprendre en quoi distinguer les deux est pertinent ici.

Congru

@Héhéhé je te propose d'ouvrir ton propre fil où tu poserais tes questions à loisir et où @Georges Abitbol et @GaBuZoMeu viendront t'apporter des réponses. Merci.

Congru

Georges Abitbol a dit :

Mais non, ma question n’est pas « est-ce que $\iota = (0,1,+,\times)$ ». Ma question est : c’est la différence entre les deux qui t’intéresse ? Parce que je peux comprendre que ça t’intéresse, mais cela n’a rien à voir avec la théorie des anneaux. Pour moi, c’est comme si tu nous disais : « j’aime bien aller au cinéma », mais qu’en fait, tu voulais dire « j’aime bien me diriger vers le cinéma parce que j’y vais en rampant, et il y a du gravier sur le chemin et du coup il faut développer des techniques ; d’ailleurs, je fais dix allers-retours entre chez moi et le cinéma et je rentre » et on se demanderait même si tu sais qu’au cinéma, il y a des films sympa, de temps en temps.

Ben là, c’est pareil : je crois que beaucoup de monde se dit que faire la différence entre la fonction de domaine fini implicitement totalement ordonné, c’est comme ramper sur du gravier.

Je ne sais pas quoi te dire, la première partie m'a fait rire. Si tu as envie de confondre deux choses distinctes fait toi plaisir. Bon, il faut peut-être retourner dans le sujet.

Si à la place tu vérifiais les formules par toi même (ce dont tu es capable j'en suis sûr), alors on serait déjà plus dans le sujet. Mets toi un peu à ma place, en quoi toute cette discussion dérivée m'est-elle utile ?

Médiat_Suprème

Question pour @Congru : nous sommes en face de deux choses (concepts), qui sont par nature différentes, mais qui se ressemblent tellement qu'"on" a envie de dire que c'est la même chose ou que les différences sont non pertinentes. Est-ce que votre travail ne consiste pas, justement, à démontrer qu'elles sont "suffisamment" identiques, travail qui passe par la définition de la fonction "valeur de vérité"?

Je me demandais en lisant votre travail si restreindre les valeurs de vérité à $\{0, 1\}$ était obligatoire et si on ne pouvait pas généraliser un peu (logique floue, par exemple).

Héhéhé

Congru a dit :
Si tu as envie de confondre deux choses distinctes fait toi plaisir.

C'est bête, c'est à la base des mathématiques d'identifier des objets via des bijections, des isomorphismes, etc.

Bref vu que tu refuses de répondre à ma simple question de l'utilité de faire des pages de calculs, je quitte le fil. Amuse-toi bien.

Congru

Bonjour @Médiat_Suprème

Oui pour moi à la base on part de la définition classique, mais après on a vu quelque chose de plus raffiné qui est la définition en théorie des modèles qui dit tout simplement que la classe des anneaux est la classe des modèles de la théorie des anneaux. Après aussi je trouve que les méthodes classiques de travail sur ces structures algébriques peut être raffiné en théorie des modèles. Et je ne comprends pas que les gens ne saisissent pas l'utilité de remplacer leurs discours par du calcul.

Il faudrait faire pas mal de modifications pour pouvoir étendre cela à la logique floue, en effet je m'appuies beaucoup sur le fait que les valeurs de vérité vivent dans l'ordinal $2$, c'est la raison pour laquelle j'utilise $\bigcap $ et $\bigcup $. Mais il me semble avoir déjà vu un texte traduit d'une production de Gödel où il est fait mention d'une fonction qui correspond à ce que vous décrivez.

Edit. Je fais erreur, il y a très peu de choses à changer, voir commentaire plus bas. Désolé.

Congru

Rebonjour @Médiat_Suprème j'ai dit une bétise: en effet il suffit de remplacer $\bigcup$ par $sup$ et $\bigcap $ par $inf$ partout dans la définition de ma fonction pour avoir la fonction que vous décrivez.

Georges Abitbol

@Congru : Je ne veux pas vérifier tes formules parce que je pense que je m'ennuierais pendant des heures. Je te demandais d'essayer un peu de me convaincre que cela pourrait m'amuser, et tu n'y es pas arrivé(e). Je suis désolé, je ne compte pas vérifier tes formules, mais j'espère sincèrement que tu trouveras quelqu'un que cela intéresse.

Médiat_Suprème

C'est quand même bien d'avoir une définition de la vérité qui ne soit pas liée à une seule logique.