Un problème prédateur /proie

biguine_equation

Bonjour,

Trois lions $L_0, L_1, L_2$ occupent les sommets d’un triangle équilatéral et leur proie $P$ est à l’intersection des médianes de ce même triangle. Un des lions est blessé et sa vitesse de poursuite $v_0$ est 1/3 de la vitesse $v_i$ ($i=1,2$) d’un lion normal, laquelle est quatre fois la vitesse $v$ de la proie.

$\bullet$ La surface du triangle importe peu du moment qu’elle n’est pas nulle.
 
$\bullet$  Les trajectoires des protagonistes se font toujours en ligne droite (il n’y a pas de zigzagues, de boucles, de retour en arrière etc…)

$\bullet$ Les prédateurs et leur proie atteignent leur vélocité maximale constante dès leur mise en mouvement (il n’y a pas d’accélération)

$\bullet$ Enfin, les trois fauves lisent l’avenir ! ils savent dans quelle direction la proie va entamer sa course et ils optent pour la direction qui sera celle de l’interception fatale. 

Dans ces conditions de simplification maximale, la question est: dans quelle direction, la proie doit-elle courir pour rester en vie le plus longtemps possible ?

gebrane

 je rends ma copie vide

Chaurien

@gebrane ta franchise te fait honneur. En lisant l'intitulé je croyais à une application de la théorie de Volterra-Lotka, mais là, il faudrait peut-être regarder :  Paul Nahin, Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion, Princeton University Press 2007. Mais moi aussi le cœur me manque.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

biguine_equation

Un dessin peut-il aider ?
La droite orange est la trajectoire de la proie. La droite noire est celle du lion blessé $L_0$.
$\mathscr{l}$ est la distance entre les sommets et la position initiale de la proie.
L’angle $\theta$ est par rapport à la droite horizontale joignant la position de départ de la proie et celle du lion blessé.

biguine_equation

On a une symétrie qui fait qu’on peut ne considérer que deux lions: le blessé $L_0$ et $L_1$.
Si $v$ est la vitesse de la proie, la vitesse $v_1$ du lion $L_1$ est $v_1=4v$, la vitesse  $v_0$ du lion blessé $L_0$ est $v_0=\frac{4}{3}v$.
Après, il faut exprimer les temps d’interception $t_0$ et $t_1$ de la proie par les deux lions. Ils sont fonction de l’angle $\theta$ choisi par la proie.

lourrran

La proie part du point $O(0,0)$. Considérons que le lion blessé est en $A(0,1)$. 
Si la proie part vers ce lion blessé, le point de rencontre avec ce lion blessé est en $R(\frac{3}{7},0)$
Le lion blessé a donc parcouru une distance de $\frac{4}{7}$
L'autre lion part de $B(-1/2, \frac{\sqrt{3}}{2})$
Si la distance BR est inférieure à $3 \times \frac{4}{7}$, alors la stratégie d'aller vers le lion blessé est la bonne.
Et sauf erreur de calcul, la distance en question est de $\frac{\sqrt{79}}{7}$
Mais de toutes façons, erreur de calcul ou pas, c'est clair que cette distance est inférieure à $3 \times \frac{4}{7}$, et donc la bonne stratégie est d'aller vers le lion blessé.

biguine_equation

lourrran: tout à fait ! 👍
La bonne stratégie (c’est terrible à dire) est de courir tout droit vers le lion blessé (c’est le cas où l’angle $\theta=0$). Mais quelque soit l’angle d’échappée choisi par la proie, c’est toujours le lion non blessé qui l’atteint en premier. C’est juste qu’il la rattrape moins vite si elle opte pour la fuite vers $L_0$.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Sans aucun calcul. Pendant un temps t, la proie aura parcouru AB, le lion AC (=4AB) et le lion malade AD (=AC/3). Dans Geogebra, on construit tout ça. Et faisant varier AB, on voit bien qu'il faut courir vers le lion malade pour sauver ses fesses.

[edit] Par contre, je doute que le lion malade arrive en premier. [/edit]

lourrran

Biguine-equation avait écrit : c’est toujours le lion non blessé qui l’atteint en premier
Donc vous êtes d'accord.
B-E n'a plus qu'un lion non blessé, par simplification (symétrie ...)

PetitLutinMalicieux

Bien vu Lourrran.

Revenu avec un peu plus de courage, je calcule que la proie se fait attraper après avoir parcouru $\displaystyle\frac{\sqrt{61}+1}{30} \approx0.29$ fois la distance qui la sépare initialement des lions. Si la panique la fait partir dans l'autre sens, elle parcourra $\displaystyle\frac{\sqrt{61}-1}{30}\approx 0.23$ fois la distance qui la sépare initialement des lions.

gebrane

Ce problème n'a pas de solution point comment vous voulez qu'une proie dirige volontairement vers son prédateur

biguine_equation

C’est pourtant un comportement très répandu chez les humains. Si tu veux une démonstration à grande échelle, patiente jusqu’à dimanche prochain.

PetitLutinMalicieux

gebrane, si tu es cerné, tu te diriges forcément vers un ennemi. Tu choisis de ne pas bouger ? Tu vois bien que la stratégie de l'immobilité est pire que la stratégie de courir vers l'ennemi faible.

gebrane

 pourquoi rester immobile je vais choisir une ligne droite qui évite les trois lions

bisam

Et si on ne considère plus que les lions devinent la trajectoire à l'avance mais se dirigent à chaque instant en direction de leur cible (autrement dit leur vecteur vitesse est colinéaire au vecteur allant du lion vers sa proie) ?

biguine_equation

bisam: dans ce cas, je crois que la trajectoire décrite par les poursuivants est une tractrice et c’est la courbe solution d’une équation différentielle. Le temps d’interception est encore plus court. Mais sans certitude: c’est un sujet que je découvre via ce problème.

Soc

Sachant que les lions ne peuvent pas dévier de leur trajectoire une fois lancés, la meilleure stratégie est de soumettre sa direction aux lois du hasard!

bisam

@biguine_equation : Ce n'est pas une tractrice : c'est une courbe de poursuite. Elle est une tractrice uniquement dans le cas où le lion et sa proie courent à la même vitesse.

Par ailleurs, le temps d'interception ne peut pas être plus court puisque dans le premier cas la trajectoire est la ligne droite, qui est le plus court chemin, et que la vitesse est constante.