Choc élastique de deux protons

gebrane

Bonjour,
Amusement fatale !

Dans le référentiel galiléen \(R\) , on considère le choc élastique de deux protons. Initialement, l'un est au repos, l'autre est animé de la vitesse \(\vec{v}\). Après interaction, les deux protons s'éloignent avec des vitesses faisant les angles \(\theta\) et \(\phi\) avec \(\vec{v}\).

 En utilisant les formules de transformation des quantités de mouvement,  montrer que
$$\tan \theta \tan \phi = \frac{2}{1 +\gamma} $$

JFS

Bonjour,
Les protons étant chargés positivement, leur rencontre ne sera pas immédiate.
Quand bien même elle aurait lieu, ayant la même masse, $\phi$ = $\theta$.
Par ailleurs, que représente $\gamma$ ?

Titi le curieux

Bonjour,

@JFS : Le sujet concerne les chocs élastiques. Si le champs électromagnétique était pris en compte, étant lui-même porteur d'un tenseur d'énergie impulsion, il faudrait prendre en compte une diffusion par celui-ci. Je crois qu'on doit oublier les charges et considérer le système boules de billards, ou dit autrement, pas de théorie des champs mais le cas incroyable où deux points matériels se rencontrent.

 Plus généralement: je crois me souvenir qu'il y avait un genre de technique "masse réduite" qui fonctionnait en relativité restreinte. Si quelqu'un sait, je crois que c'est le bon endroit.

 Sinon, je vois deux manière de poser les équations aussi calculatoires l'une que l'autre:

  - La première : conservations de l'énérgie impulsion dans le référentiel considéré, les masses étant les mêmes, ça va commencer par: $\gamma_1 + \gamma_2 = 1 + \gamma$ et $\vec{v_1}\gamma_1 + \vec{v_2}\gamma_2 = \vec{v}\gamma$

  -La seconde : Minkowski et tout ça ...  on se rappelle donc dans le référentiel de centre de masse, l'énergie totale est de $E_0 = mc^2\sqrt{ (1 +\gamma)^2 -\gamma^2 \beta^2 }$ sachant que dans ce référentiel les deux protons (de même masse propre) seront de vitesses opposés (donc de même module), on en déduit le module de cette vitesse, donc ça peut sembler a priori plus rapide. Mais après il faudra appliquer la tranformation de Lorentz inverse. Du coup ça me paraît au moins aussi relou et je partirais plutôt sur la première méthode (les équations sont  immédiatement posées).

 Quelqu'un a la patience ou une meilleure idée?

gebrane

Le problème se trouve dans cette liste de problèmes sans solutions. L'exercice proposé est le numéro XXVII page 13.
Je trouve la physique plus dure que les maths  

YvesM

Bonjour,
Il est avantageux de se placer dans le référentiel du centre de masse, puis d'effectuer un changement de référentiel relativiste. 

gebrane

Bonjour @YvesM
Je prends place pour te lire

YvesM

Bonjour,
On considère le choc élastique relativiste de deux particules.
Dans le référentiel du laboratoire
Dans le référentiel du laboratoire $R$, les quantités relativistes pour une particule d’énergie $E$, de quantité de mouvement $\displaystyle \vec{p}$, de masse $m$, de vitesse $\displaystyle \vec{v}$ sont $\displaystyle E^2=p^2c^2+m^2c^4$, $\displaystyle \vec{p}=\gamma m \vec{v}$, $\displaystyle E=\gamma m c^2$ et $\displaystyle \vec{v} = {c^2 \over E} \vec{p}$ avec $\displaystyle \gamma = {1 \over \sqrt{1-v^2/c^2}}$ et $c$ la vitesse de la lumière dans le vide. On note la relation $\displaystyle \gamma^2 v^2 = (\gamma^2-1)c^2.$
Dans le référentiel du centre de masses
Dans le référentiel du centre de masses, ces mêmes quantités sont notées $\displaystyle \varepsilon$, $\displaystyle \vec{k}$, $m$, et $\displaystyle \vec{u}$.
Le choc élastique relativiste de deux particules
Dans le référentiel du laboratoire, la particule de masse $m_1$ se déplace à la vitesse $v_1$ et percute la particule de masse $m_2$ immobile. La vitesse du référentiel du centre de masse est donc $\displaystyle \vec{u} = {c^2 \over \gamma m_1 c^2+m_2 c^2}(\vec{p_1} + \vec{0}) = {\vec{p_1} \over \gamma m_1+m_2}.$ On calcule alors $\displaystyle \gamma_u ={1 \over \sqrt{1-u^2/c^2}} = {m_1\gamma +m_2 \over  \sqrt{m_1^2 + 2 m_1 m_2 \gamma + m_2^2}}.$ 
Cet exercice est plus facile techniquement dans le référentiel du centre de masse $R_m$. 
La transformation de Lorentz
La transformation de Lorentz $\displaystyle \Lambda(u)$ de $R$ vers $R_m$ est donnée par $\displaystyle \Lambda(u) (E/c,\vec{p}) = (\varepsilon/c, \vec{k})$ avec $\displaystyle \begin{pmatrix} \gamma_u&-\gamma_u u/c&0&0\\-\gamma_u u/c&\gamma_u&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} E/c\\p_x\\p_y\\p_z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \varepsilon/c\\k_x\\k_y\\k_z\end{pmatrix}  .$ On note la transformation inverse de $R_m$ vers $R$ est $\displaystyle \Lambda(-u).$ 
Cette relation matricielle donne immédiatement $\displaystyle \vec{k_1} = \gamma_u(\vec{p_1} - E_1/c^2 \vec{u})$ ; et donc $\displaystyle \vec{k_1}+\vec{k_2} = \vec{0}.$ On note avec prime les quantités après le choc. On suppose que les particules apres le choc ont une masse $m_1$ et $m_2$ par simplification : cet exercice suppose même quatre masses égales. Ici les deux masses distinctes servent à suivre les calculs. La conservation de la quantité de mouvement donne $\displaystyle \vec{k_1}+\vec{k_2} = \vec{0}= \vec{k'_1}+\vec{k'_2}$ ; la conservation de l’énergie donne $\displaystyle \varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon'_1+\varepsilon'_2$ avec $\displaystyle \varepsilon^2=k^2c^2+m^2c^4$ et $\displaystyle \varepsilon'^2=k'^2c^2+m^2c^4$ pour chaque indice $1$ et $2.$ On en déduit immédiatement $\displaystyle k_1=k_2, k'_1=k'_2$ puis comme la fonction $\displaystyle \sqrt{\bullet^2c^2+m_1^2c^4} + \sqrt{\bullet^2c^2+m_2^2c^4} $ est monotone $\displaystyle k_1=k_2= k'_1=k'_2$ et donc $\displaystyle \varepsilon_1=\varepsilon'_1$ et $\displaystyle \varepsilon_2=\varepsilon'_2.$
Les angles des trajectoires 
On note $\theta$ et $\phi$ les angles des trajectoires des particules avec la direction incidente dans le referentiel du laboratoire ; et $\psi$ l'angle de la particule $1$ après le choc dans le référentiel du centre de masse. La relation $\displaystyle \Lambda(u)p'_1 = k'_1$ donne $\displaystyle k'_1 \sin \psi = p'_1 \sin \theta$ et $\displaystyle k'_1 \cos\psi = \gamma_u (p'_1 \cos \theta - E'_1 u/c^2)$ ; et donc $\displaystyle \tan \psi = {1\over \gamma_u} {\sin \theta \over \cos \theta - {E'_1 u \over p'_1c^2}}.$ Cette étape est menée pour la seconde particule et on obtient $\displaystyle \tan \psi = {1\over \gamma_u} {\sin \phi\over \cos \phi - {E'_2 u \over p'_2c^2}}.$
De la même façon, la relation inverse par $\displaystyle \Lambda(-u)$ relie $p_1$ à $k_1$ par $\displaystyle p'_1 \sin \theta = k'_1 \sin \psi$ et $\displaystyle p'_1 \cos\theta = \gamma_u (k'_1 \cos \psi+\varepsilon'_1 u/c^2).$ On calcule alors $\displaystyle \tan \theta = {1 \over \gamma_u} {\sin \psi \over \cos \psi + {\varepsilon'_1 u \over k_1'c^2}}= {1 \over \gamma_u} {\sin \psi \over \cos \psi + {\varepsilon_1 u \over k_1c^2}}.$
Cette étape est menée pour la seconde particule et on obtient $\displaystyle \tan \phi=  {1 \over \gamma_u} {\sin \psi \over -\cos \psi + {\varepsilon_2 u \over k_2c^2}}.$
On pose alors $\displaystyle g_1 = {\varepsilon_1 u \over k_1c^2}$ et $\displaystyle g_2 = {\varepsilon_2 u \over k_2c^2}$ et on forme la relation $\displaystyle \tan \theta \tan \phi = {1 \over \gamma_u^2} {\sin^2 \psi \over (g_2 - \cos \psi)(g_1 + \cos \psi)}.$
Quelques calculs simples
On effectue quelques calculs simples pour déterminer $g$ selon les paramètres avant le choc. 
On utilise $\displaystyle \gamma_u = {m_1\gamma +m_2 \over  \sqrt{m_1^2 + 2 m_1 m_2 \gamma + m_2^2}}.$ $\displaystyle \vec{k_1} = \gamma_u(\vec{p_1} - E_1/c^2 \vec{u})$, $\displaystyle \vec{u} = {\vec{p_1} \over \gamma m_1+m_2}$, $\displaystyle E_1= \gamma m_1c^2$, $ \displaystyle p_1 = \gamma m_1 v$ pour établir $\displaystyle k_1 = {m_1m_2 \gamma v \over \sqrt{m_1^2 + 2 m_1m_2 \gamma + m_2^2}}.$
On utilise $\displaystyle \gamma^2 v^2 = (\gamma^2-1)c^2$ et $\displaystyle \varepsilon_1^2=k_1^2c^2+m_1^2c^4$ pour établir $\displaystyle \varepsilon_1 = {m_1 c^2 (m_1+m_2 \gamma)\over \sqrt{m_1^2 + 2 m_1m_2 \gamma + m_2^2}} .$
On calcule alors $\displaystyle g_1 = {\varepsilon_1 u \over k_1c^2} = {m_1 (m_1 + m_2 \gamma) \over m_2 (m_1 \gamma + m_2 )}.$ 
De meme, on calcule $\displaystyle \varepsilon_2 = {m_2 c^2 (m_1\gamma+m_2)\over \sqrt{m_1^2 + 2 m_1m_2 \gamma + m_2^2}} $ et $\displaystyle g_2 = {\varepsilon_2 u \over k_2c^2} = {m_2 (m_1\gamma + m_2) \over m_1 (m_1 + m_2 \gamma )}.$ 
Pour quatre particules de masses égales 
Pour $m_1=m_2$, on a $g_1=g_2=1$ et  $\displaystyle \gamma_u = \sqrt{{\gamma+1} \over 2}$ donc $\displaystyle \tan \theta \tan \phi = {1 \over \gamma_u^2} = {2 \over 1 + \gamma}.$

@gebrane
C'est un peu long à écrire mais on y arrive avec l'application de la transformation de Lorentz et des notations claires. Le référentiel du centre de masse simplifie considérablement les calculs. J'ai fait le calcul dans le référentiel du laboratoire mais c'est très technique avec des étapes intermédiaires et des expressions lourdes. 

Questions pour physiciens :
-Comment obtenir un proton ? 
-Comment mesurer la direction du proton incident ?
-Comment mesurer la vitesse du proton incident ?
-Comment obtenir un proton cible immobile ? 

-Comment mesurer l’angle d’un proton après le choc ? 

-Comment justifier que les trajectoires sont dans un même plan ? 

-Que représente le facteur $g$ ? Comment le nommer ? 

-Comment justifier que la transformation inverse de $\Lambda(u)$ est $\Lambda(-u)$ ?
-Tracer les quantités de mouvement et les angles avant le choc et après le choc dans les deux référentiels.