PGCD -PPCM

M4d

Pour tout couple (a; b) d'entiers naturels on pose v= PGCD(a;b) et u=PPCM(a, b).

Déterminer les couples (a; b) tels que $u^2-3v=1998$

Aidez moi à avec cette question svp , je comptais utiliser $\alpha$ et $\beta$ les quotients respectifs de la Division euclidienne de a pas v et b par v , V étant le PGCD(a;b). 

NicoLeProf

Bonsoir M4d,

j'ai peut-être une solution mais il y a beaucoup beaucoup de cas à étudier...

J'ai eu la même idée que toi : il existe deux entiers $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que $a=va'$ et $b=vb'$.

Je suppose de plus que tu connais la relation : $u \times v =ab$ donc $u=\dfrac{ab}{v}=\dfrac{va'vb'}{v}=...$ (en fonction de $v$, $a'$ et $b'$).

Ensuite, tu remplaces $u$ par ce que l'on vient de trouver, dans l'équation et tu peux factoriser...

Mais c'est sans doute trop long, attendons d'abord si d'autres intervenants ont de meilleures idées !

JLT

Sachant que $v\leqslant u$ on peut majorer v, donc encadrer u. On trouve assez rapidement u et v.

M4d

NicoLeProf a dit :

Bonsoir M4d,

j'ai peut-être une solution mais il y a beaucoup beaucoup de cas à étudier...

J'ai eu la même idée que toi : il existe deux entiers $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que $a=va'$ et $b=vb'$.

Je suppose de plus que tu connais la relation : $u \times v =ab$ donc $u=\dfrac{ab}{v}=\dfrac{va'vb'}{v}=...$ (en fonction de $v$, $a'$ et $b'$).

Ensuite, tu remplaces $u$ par ce que l'on vient de trouver, dans l'équation et tu peux factoriser...

Mais c'est sans doute trop long, attendons d'abord si d'autres intervenants ont de meilleures idées !

Ou ça rapport avec l’autre exercice que je vous ai envoyé un  scan , j’ai ouvert une autre discussion pensant que les questions sont indépendantes 

M4d

JLT a dit :

Sachant que $v\leqslant u$ on peut majorer v, donc encadrer u. On trouve assez rapidement u et v.

J’ai pas bien compris, on prend u entre quoi pour l’encadrer 

JLT

Je répondais surtout à NicoLeProf. Je pense que l'exo est trop dur pour toi, il y a plusieurs étapes non évidentes alors que tu as du mal avec les exos à une étape.

zygomathique

salut

une évidence : $ u^2 - 3v = 1998 \iff u^2 = 3(v + 666)$

donc u est multiple de 3 ...

puis on recommence ... (avec v)

noix de totos

Soit $(a,b)$ un couple solution. Comme $v \mid v$ et $v \mid u$, on a $v \mid u^2-3v=1998$, donc $v$ est un diviseur de $1998$. Comme $u = \sqrt{3v+1998}$ doit être un entier naturel, en testant tous les diviseurs de $1998$, on se rend vite compte que la seule possibilité est $(u,v) = (45,9)$. En posant alors $a = 9a^{\, \prime}$ et $b = 9b^{\, \prime}$, avec $\textrm{pgcd} \left( a^{\, \prime},b^{\, \prime}\right) = 1$, il vient $45 = 9 a^{\, \prime} b^{\, \prime}$, ce qui entraîne que $\left( a^{\, \prime},b^{\, \prime}\right) \in \{ (1,5), (5,1) \}$, puis $(a,b) \in \{(9,45),(45,9)\}$. Réciproquement, on vérifie que ces couples sont solutions.

NicoLeProf

@JLT, avec le raffinement que tu proposes, je trouve $8$ cas à tester pour $v$, ce qui réduit les possibilités de moitié, c'est déjà pas mal mais cela ne me semble pas suffisant, y a-t-il un meilleur raffinement dans ce que tu proposais et que je n'ai pas vu? 

Couplé avec la remarque de zygomathique, je passe à $5$ cas à tester, c'est un peu mieux.

Pour @M4d, regarde bien la solution de noix de totos juste au-dessus qui me semble être la plus abordable et la plus simple niveau notions à utiliser. Pour tester les diviseurs de $1998$, tu décomposes ce nombre en un produit de facteurs premiers, tu peux faire un arbre ensuite pour être sûr de ne pas en oublier et tu es censé trouver $16$ diviseurs à tester. Ensuite, je te conseille de faire ces tests sur un tableur.

Si tu veux davantage d'infos, je pourrai éventuellement t'en donner.

Chaurien

L'égalité $u^2=3(666+v)$ implique que $u$ et $v$ sont multiples de $3$. Soit $u=3u'$ et $v=3v'$, alors $u'^2=222+v'$.

L'entier $v$ étant un diviseur de $1998$, l'entier $v'$ est un diviseur de $\frac {1998}3=666$. Les diviseurs de $666$ sont au nombre de $12$, et  il faut regarder ceux pour qui $222+v'$ est un carré. Pour $12$ nombres ceci peut se faire à la main, on trouve $v'=3$ seulement, d'où $v=9$, $u=45$. On a : $a=kv, b=hv, u=khv$ avec $k$ et $h$ premiers entre eux. D'où $kh=5$. Si l'on suppose $a \le b$, alors $a=9,b=45$.

Je n'ai pas regardé les autres solutions, peut-être celle-ci en répète-t-elle une autre. Son défaut c'est qu'elle exige de considérer $12$ cas, mais je répète c'est faisable à la main.

L'exercice aurait été plus intéressant avec des constantes qui auraient donné moins de cas pour $v'$ mais plusieurs cas pour $(k,h)$.

JLT

Je détaille un peu. On a $v^2-3v\leqslant 1998$ donc $0\leqslant v\leqslant 46$. Ensuite $u^2= 3v+1998$ donne $45\leqslant u\leqslant 46$. Or $3\mid 3v+1998=u^2$ donc $3\mid u$ ce qui implique $u=45$ et $v=9$.

NicoLeProf

Bravo et merci JLT !!!

zygomathique

une autre remarque : u et v ont même parité ...