PGCD

M4d

Bonsoir, vérifiez moi mes calculs svp 

Soit m un entier naturel au moins égal à 2 

1. Déterminer le $PGDC(m^2;m-1)$
2. Résoudre dans $Z^2$  l'équation : $m^2x+(m-1)y=1$ 
3. En déduire la résolution dans $Z^2$ de l'équation: $4X+y=1$

Mes résultats 
1. J’ai procédé par la division euclidienne 
$m^2=m(m-1)+m$

$m-1=m(1)-1$

$m=-1(-m)+0$

Donc PGCD=-1 
2. J’ai trouvé le résultat en prenant une solution particulière de l’équation $S_{Z^2}={(m^2k+m+1;m^2k+1}$ k € Z
3.  $S_{Z^2}={(4k+5;4k+1}$ k€Z 

Chaurien

Pour le 2, c'est sans doute $m^2 x+(m-1) y=1$, non ?

Chaurien

Pour le PGCD de $m^2$ et $m-1$, on peut aussi écrire : $m^2-(m+1)(m-1)=1$.

Et on écrit : << Vérifiez-moi mes calculs >> (impératif).

NicoLeProf

M4d, bonjour.

Fais attention à ce que tu écris. Un $PGCD$ n'est pas défini comme étant négatif. Tu dois écrire $PGCD(m^2;m-1)=1$ pas $-1$.

De plus, tu sembles procéder par l'algorithme d'Euclide, c'est une bonne idée (et à la fin tu vas retrouver la relation de Bézout écrite par Chaurien) mais attention, lorsque tu appliques l'algorithme d'Euclide et même lorsque tu écris une division euclidienne, il faut impérativement vérifier que le reste est positif ou nul et strictement inférieur au diviseur. 

Dès lors, $m^2=m(m-1)+m$ ne convient pas car cette égalité n'est pas la division euclidienne de $m^2$ par $m-1$. ($m$ est bien positif mais pas strictement inférieur à $m-1$). 

Le mieux ici reste encore de remarquer directement la relation de Bézout écrite par Chaurien. 

Pour la question $2$, peux-tu me montrer tes calculs et ton raisonnement? Cela ne m'a pas l'air d'être bon (et la $3$ non plus, étant une conséquence de la $2$).

zygomathique

salut

ouais enfin !!

si @M4d est en terminale math expertes il devrait immédiatement écrire $ m^2 =m^2 - 1 + 1 = (m + 1)(m - 1) + 1$ ... comme tout collégien (arhg damned !! les collégiens ne savent plus faire ça !!)

M4d

NicoLeProf a dit :

M4d, bonjour.

Fais attention à ce que tu écris. Un $PGCD$ n'est pas défini comme étant négatif. Tu dois écrire $PGCD(m^2;m-1)=1$ pas $-1$.

De plus, tu sembles procéder par l'algorithme d'Euclide, c'est une bonne idée (et à la fin tu vas retrouver la relation de Bézout écrite par Chaurien) mais attention, lorsque tu appliques l'algorithme d'Euclide et même lorsque tu écris une division euclidienne, il faut impérativement vérifier que le reste est positif ou nul et strictement inférieur au diviseur. 

Dès lors, $m^2=m(m-1)+m$ ne convient pas car cette égalité n'est pas la division euclidienne de $m^2$ par $m-1$. ($m$ est bien positif mais pas strictement inférieur à $m-1$). 

Le mieux ici reste encore de remarquer directement la relation de Bézout écrite par Chaurien. 

Pour la question $2$, peux-tu me montrer tes calculs et ton raisonnement? Cela ne m'a pas l'air d'être bon (et la $3$ non plus, étant une conséquence de la $2$).

M4d

Merci 
@zygomathique c’est par l’algorithme d’Euclide que t’as procédé ?

NicoLeProf

Voilà, comme je le pensais, il y a effectivement une petite étourderie à la ligne $x-1=m^2k$ (deuxième ligne en partant de la fin) : tu as simplifié par $m^2$ à gauche et par $m-1$ à droite, cela ne marche pas bien sûr, il faut simplifier par $m^2$ des deux côtés (enfin diviser par $m^2$ des deux côtés).

Donc tu obtiens $x-1=(m-1)k=...$.

Conclusion : $x=...$ et $y=...$.

Sauf que... plus embêtant, tu as fait un erreur d'énoncé dès le début, l'équation demandée est $m^2x+(m-1)y=1$ pas $m^2x-(m-1)y=1$. Le mieux serait que tu recommences.

Enfin, attention, je réactive mon mode "prof relou" : attention à la rédaction même si tu as fait un petit effort, il faut résoudre une équation ici donc procéder soit par équivalences logiques (délicat ici) soit par double inclusion (tu as fait le premier sens, il faut maintenant effectuer une vérification en remplaçant $x$ et $y$ par les solutions que tu as trouvées et vérifier que l'égalité $m^2 x +(m-1)y=1$ est vraie pour les solutions trouvées.)

M4d

J’ai repris et j’ai trouvé $x=(m-1)k+1$ et $y=m^2k-m-1$

Donc pour la question 3. $X=k+1$ et $y=4k-3$

NicoLeProf

Peux-tu me montrer les détails de tes calculs? Il y a encore quelque chose qui ne va pas même si tu n'es pas loin.

Il faut davantage écouter les conseils M4d, le fait que tu ne te sois pas rendu compte de cette nouvelle erreur sur l'expression de $x$ montre que tu n'as pas effectué les vérifications que je t'ai demandées de faire et qui sont pourtant essentielles sur le plan rédactionnel.

M4d

zygomathique

c'est même pire que ça !! puisque l'énoncé de la question 2/ a été modifié (il n'y avait pas de x au début)

@M4d : non c'est pas la simple connaissance des identités remarquables donc la premières des premières est $ a^2 - b^2 = ...$

des fautes de rédaction (il apparait tout d'un coup des $x^2$ : le carré est mal placé) et il faut justifier certaines étapes en invoquant le lemme de G...