Fonction et suite

M4d

Bonsoir , $U_n=\sum_{k=2}^n$$\dfrac{1}{klnk}$ pour k >ou=2 $f(x)=\dfrac{1}{xlnx}$

1.Montrer que pour tout entier k >=2 on a : 

$\dfrac{1}{klnk}$>=$\displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)dx$

2.En déduire une minoration de U_n par une intégrale 

On a étudier au préalable f(x) sur ]1;+oo[ f est strictement décroissante 

Voici mes résultats.

1. On prend x €[k;k+1] on utilise l’inégalité de la moyenne 

2. On compose l’expression précédente par $\Sum$

gerard0

Oui, et .... ?

M4d

gerard0 a dit :

Oui, et .... ?

😂

Heuristique

3) En déduire le comportement asymptotique de $u$

raoul.S

Oui c'est juste. Pour la 1. on est pas obligé d'utiliser l'inégalité de la moyenne mais ça marche aussi.

JLT

M4d a dit :

1.Montrer que pour tout entier naturel k on a : 

$\dfrac{1}{klnk}$>=$\displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)dx$

C'est vraiment ça l'énoncé ? Pour "tout entier naturel k" ?
L'expression de gauche n'est pas définie pour $k=0$ et $k=1$.

LoanSupOp

1. Soit $k \geq 2$, par décroissance, $\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x \log x}dx \leq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k \log k}dx =\frac{1}{k \log k}$

2. $U_n \geq \sum_{k=2}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x \log x}dx = \int_{2}^{n+1} \frac{1}{x \log x}dx$

M4d

Non j’ai modifié l’énoncé. C’est k>=2JLT a dit :

M4d a dit :

1.Montrer que pour tout entier naturel k on a : 

$\dfrac{1}{klnk}$>=$\displaystyle\int_{k}^{k+1}f(x)dx$

C'est vraiment ça l'énoncé ? Pour "tout entier naturel k" ?
L'expression de gauche n'est pas définie pour $k=0$ et $k=1$.

M4d

LoanSupOp a dit :

1. Soit $k \geq 2$, par décroissance, $\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x \log x}dx \leq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k \log k}dx =\frac{1}{k \log k}$

2. $U_n \geq \sum_{k=2}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x \log x}dx = \int_{2}^{n+1} \frac{1}{x \log x}dx$

Merci