Congruence

M4d

Bonsoir 
soit $A^n=2^n+2^{2n}+2^{3n}$

a. Montrer que, pour tout entier n, $A_{n+3}$ est congru à $A_n$ modulo 7
J’ai essayé de partir avec $A_{n+3}$ pour trouver son expression avec A_n ça n’a pas marché 

NicoLeProf

Bonsoir M4d,

j'imagine que c'est $A_n=2^n+2^{2n}+2^{3n}$. Pour quels $n$ d'ailleurs?

Bon, sinon, tu as l'air très bien parti, il faut aller jusqu'au bout de tes idées, ici il faut regarder $A_{n+3}$ en effet :

$A_{n+3}=...$, comment peux-tu décomposer tes puissances de $2$ pour tenter de faire le lien avec $A_n$ en raisonnant modulo $7$?

Par exemple, que dire de $2^3$ modulo $7$? Que se passe-t-il en examinant $A_{n+3}$? 

Tu peux y arriver, cet exo est très abordable !    

M4d

Ouii le n est en indice, je vais ressayer et je vous reviens 

M4d

Je l’ai trouvé merci bien 
et pour la suite on demande de Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel n le reste de la division cuclidienne de $2^n$ par 7.
j’ai trouvé pour n=3k , r=1 ; pour n=3k+1 , r=2 pour n=3k+2 , r=4

Deduire suivant les valeurs de n , les restes modulo 7 de A_n 
j’ai trouvé pour  n=3k , r=0 pour n=3k+1 , r=0 pour n=3k+2 , r=0 ( pour les deux premiers cas j’avais trouver $A_n$$congrue7[7]$ je pense que le reste est 0)

NicoLeProf

Pour $2^n$ modulo $7$, c'est bon ! Bravo M4d ! 

Par contre pour les restes modulo $7$ de $A_n$, je ne comprends pas comment tu as trouvé $r=0$ à chaque fois, même si, en réalité, tu n'es pas loin ! 

Peux-tu détailler?

Peux-tu considérer des petites valeurs de $n$, prends $n=3$, calcule $A_3$ donc et effectue la division euclidienne par $7$. 

Courage, il y a de bonnes choses dans ce que tu as proposé ! 

M4d

J’ai poser $A_n=2^n+2^{2n}+2^{3n}$

Pour n=3k 
 $A_n=2^{3k}+2^{6k}+2^{9k}$
 $A_n$congrue à (1+2+4)[7]  car $2^{3k}=1[7] $ ; $2^{6k}=1[7]$ j’utilise = comme symbole de congruence 

$A_n$congru à 3[7] j’ai vu me mon erreur 
pour n=3k reste=3 
n=3k +1 ; r=6 ; n=3k+1 , r=2

NicoLeProf

C'est confus M4d, peux-tu récapituler?

Thierry Poma

Bonjour,

Clairement,\[A_{n+3}=2^{n+3}+2^{2(n+3)}+2^{3(n+3)}=2^n+7\times2^n+2^{2n}+63\times2^{2n}+2^{3n}+511\times2^{3n}=A_n+7(\cdots)\]pour tout entier naturel $n$. Le résultat découle de là par récurrence sur $n$. Vu la question, le résultat est immédiat...

NicoLeProf

Bonjour Thierry Poma, en fait cette question semble déjà avoir été traitée par M4d.

Il est maintenant sur les restes possibles de $A_n$ modulo $7$ mais il s'embrouille dans sa rédaction et ses raisonnements, c'est pour ça que je lui demande de récapituler dans mon message ci-dessus.

Thierry Poma

@NicoLeProf : bonsoir. Désolé. Je me retire. Remarquons que $A_n=2^n+(2^n)^2+(2^n)^3$ et se servir des restes (sic) de $2^n$ modulo $7$ préalablement calculés...

zygomathique

salut

on aurait pu tout de même remarquer que $A_n = 2^n + 2^{2n} + 2^{3n} \equiv 1 + 2^n + 2^{2n} [7]$

ce qui simplifie les calcul de @Thierry Poma et autres ...

  

NicoLeProf

Oui zygomathique, c'est bien mon intention pour guider M4d, mais il ne faut pas tout dire directement, il doit chercher aussi et corriger ses réponses, j'attends toujours lol.

M4d

Bonsoir, le reste la je trouve tjr r=3 , r=0 et r=0

NicoLeProf

Ok M4d tu sembles avoir compris mais j'aimerais aussi voir ton raisonnement et ta rédaction. Après, c'est comme tu veux. ^^'

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Peux-tu considérer des petites valeurs de n, prends n=3, calcule A3 donc et effectue la division euclidienne par 7.

Les flemmards auront pris n=0 qui marche tout aussi bien. Et de tête.

Ok, je sors.

M4d

J’avais fais le même raisonnement que le début et j’ai vérifier avec la proposition de pompa 

M4d

M4d a dit :

J’ai poser $A_n=2^n+2^{2n}+2^{3n}$

Pour n=3k 
 $A_n=2^{3k}+2^{6k}+2^{9k}$
 $A_n$congrue à (1+2+4)[7]  car $2^{3k}=1[7] $ ; $2^{6k}=1[7]$ j’utilise = comme symbole de congruence 

$A_n$congru à 3[7] j’ai vu me mon erreur 
pour n=3k reste=3 
n=3k +1 ; r=6 ; n=3k+1 , r=2

Celui ci 

M4d

Bonsoir quelqu’un peu m’aidez Svp 

1. Déduire si les nombres qui, dans le cystème de numération de base 2, s'écrivent
   a = 1110; b = 1010100; c = 1001001000 sont divisibles par 7.

NicoLeProf

En lisant les chiffres de droite à gauche, on a $a=0 \times 2^0+1 \times 2^1 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^3=...$ et je te laisse continuer.