Montrer que Vect{$\sqrt{2} \cos(n\pi x), n\in \mathbb{N}$} est dense dans $L^2(0,1)$

NicolasH
Modifié (May 2024) dans Analyse
Bonjour, je souhaite montrer que le span{$\sqrt{2} \cos(n\pi x), n\in \mathbb{N}$} est dense dans $L^2(0,1)$. En soi, je sais que cela découle directement du fait que la famille de fonctions {$\sqrt{2}\cos(n\pi x), n\in \mathbb{N}$} forme une base orthonormale de $L^2(0,1)$. Je cherche justement une preuve / idée de preuve de cette propriété car je l'entends un peu partout mais j'ai du mal à la retrouver.

Réponses

  • Es-tu certain de la place de ton $\sqrt{2}$ ?
  • gebrane
    Modifié (May 2024)
    A revoir
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @troisqua je pense c'est une coquille, il voulait dire 
    $$  \lbrace 1, \sqrt{2} \cos(k \pi x) ~:~ k \in \mathbb{N}\rbrace.$$ est une base 
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  • @gebrane, tu es certain de la place de ton $\sqrt{2}$ ?
  • Je pense que gebrane est correct, sauf que c'est pour $k\in\N^*$. De toute façon ça ne change pas grand-chose pour la question demandée. La question est de montrer que toute fonction intégrable sur $[0,1]$ est limite dans $L^2$ d'une suite de polynômes en $\cos(\pi x)$. Pour cela il suffit de montrer que toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme d'une suite de polynômes en $\cos(\pi x)$. Cela découle du théorème de Weierstrass.
  • Donc je corrige une coquille par une autre ! . Merci JLT
    Hier , en étant arrosé, Jai compris la question autrement si $(e_n , n\in\mathbb N)$ est une base orthonormale de $L^2(0,1)$ , alors $vect(e_n, n\in\mathbb N)$ est dense dans $L^2(0,1)$
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