Montrer que Vect{$\sqrt{2} \cos(n\pi x), n\in \mathbb{N}$} est dense dans $L^2(0,1)$
Bonjour, je souhaite montrer que le span{$\sqrt{2} \cos(n\pi x), n\in \mathbb{N}$} est dense dans $L^2(0,1)$. En soi, je sais que cela découle directement du fait que la famille de fonctions {$\sqrt{2}\cos(n\pi x), n\in \mathbb{N}$} forme une base orthonormale de $L^2(0,1)$. Je cherche justement une preuve / idée de preuve de cette propriété car je l'entends un peu partout mais j'ai du mal à la retrouver.
Réponses
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Es-tu certain de la place de ton $\sqrt{2}$ ?
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A revoirLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je pense que gebrane est correct, sauf que c'est pour $k\in\N^*$. De toute façon ça ne change pas grand-chose pour la question demandée. La question est de montrer que toute fonction intégrable sur $[0,1]$ est limite dans $L^2$ d'une suite de polynômes en $\cos(\pi x)$. Pour cela il suffit de montrer que toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme d'une suite de polynômes en $\cos(\pi x)$. Cela découle du théorème de Weierstrass.
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Donc je corrige une coquille par une autre ! . Merci JLT
Hier , en étant arrosé, Jai compris la question autrement si $(e_n , n\in\mathbb N)$ est une base orthonormale de $L^2(0,1)$ , alors $vect(e_n, n\in\mathbb N)$ est dense dans $L^2(0,1)$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonjour!
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