0 est le plus grand pour la relation de divisibilité

OShine

@karnaj
Je n'ai pas trop compris comment on peut simplifier la démonstration avec le lemme qui supprime les signes.
Lemme : 
Soient $(x,y) \in \Z^{*2}$. On a $x \mid y \iff |x| \mid |y|$.

Preuve :  
$x \mid y$ si et seulement si il existe $k \in \Z$ tel que $y=k x$ si et seulement si il existe $k \in \N$ tel que $|y| = k |x|$.
Mais je ne vois pas quoi faire de ce résultat dans cette preuve, il n'y a pas de valeur absolue dans les assertions.

Pas compris pourquoi on ne peut pas remplacer $m$ par $PPCM(a,b)$.
Dans le théorème 17, il est écrit que $PPCM(a,b)$ est le seul élément $m \in \N$ à vérifier l'équivalence. 
Sinon, pour le reste c'est plus clair, oui mes propriétés $P$ et $Q$ ne dépendent pas de $n$.

1) Supposons $\forall n \in \N \ (  a \mid n \ \text{et} \ b \mid n)$
Soit $n \in \Z$.
Supposons $a \mid n$ et $b \mid n$. Montrons que $m \mid n$.

• Si $n \in \N$, c'est vérifié.
• Si $n \in \Z^{-}$, $a \mid -n$ et $b \mid -n$, donc $m \mid -n$ donc $m \mid n$.

Supposons $m \mid n$. Montrons que $a \mid n$ et $b \mid n$.

• Si $n \in \N$, c'est vérifié.
• Si $n \in \Z^{-}$, $m \mid -n$ donc $a \mid -n$ et $b \mid -n$ donc $a \mid n$ et $b \mid n$.

2) Le résultat est immédiat compte tenu du fait que $\N \subset \Z$.

PS : la réponse à ta question est $m=PGCD(|a|,|b|)$.

Congru

Une définition de diviseur qui est proche de celle que j'ai donné: https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/378070/diviseurs-de-zero-dun-anneau

JLapin

simplifier la démonstration

La démonstration de quoi ? Tu n'as toujours pas dit que ce que tu cherches à démontrer: mon premier exo, mon deuxième ou un énoncé de ton cru.

Suggestion pour toi :  tu devrais choisir l'un de mes deux exos et t'y tenir.

Congru

Non, effacé (j'ai fait comme si mon anneau était peuplé d'ordinaux)

troisqua

Il me paraît tellement plus simple, dans le cadre de $\Z$, de définir le PGCD de $a$ et $b$ (relatifs quelconques) comme étant le générateur naturel de $a\Z+b\Z$. Tout vient tout seul ensuite. M'enfin...

JLapin

Oui, tout pareil.

Congru

Je commence à voir l'utilité du fait que la divisibilité est une relation d'ordre (sur le monoïde obtenu en quotientant par une congruence). En effet, lorsqu'on n'est plus dans $\mathbb N$ la il faut une relation d'ordre qui remplace celle de $\mathbb N$. Mais il faut que cette relation d'ordre soit confondue avec celle de $\mathbb N$ dans le cas de $\mathbb N$.

Congru

On pourrait définir, dans le cas d'un monoïde, un prédicat $[pgcd]$ d'arité 3 par: $\forall x\forall y\forall z ([pgcd]xyz \iff \forall t(((t\mid x) \wedge (t\mid y))\iff t\mid z))$.

(c'est une reformulation de la définition donnée par @gai requin )

Congru

troisqua a dit :

Il me paraît tellement plus simple, dans le cadre de $\Z$, de définir le PGCD de $a$ et $b$ (relatifs quelconques) comme étant le générateur naturel de $a\Z+b\Z$. Tout vient tout seul ensuite. M'enfin...

On peut voir ta définition comme une propriété plutôt, je suis d'accord avec l'auteur du livre là dessus.

Dom

« Le générateur naturel » : est-ce une expression pour dire qu’on ne choisit pas le $-|d|$ mais le $|d|$ ?

OShine

@JLapin
J'ai essayé de démontrer ce qui suit, qui m'a été donné par @Karnaj , ce qui correspond exactement au livre.

Pour tout $a, b, m \in \mathbf{Z}$, on a \[ \Big[\forall n \in \mathbf{N}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n \Big] \iff \Big[\forall n \in \mathbf{Z}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n \Big]. \]

OShine

troisqua a dit :

Il me paraît tellement plus simple, dans le cadre de $\Z$, de définir le PGCD de $a$ et $b$ (relatifs quelconques) comme étant le générateur naturel de $a\Z+b\Z$. Tout vient tout seul ensuite. M'enfin...

Dans le Liret, il est écrit :    
Soiebt $a,b \in \Z$ des entiers non tous deux nuls. Le plus grand entier qui divise $a$ et $b$ s'appelle le pgcd de $a$ et $b$ et se note $pgcd(a,b)$.
Conséquence du théorème de Bezout :   
$a\Z+b \Z= pgcd(a,b) \Z$

Dom

Et donc… « le plus grand » oui, mais pour quel ordre ? Cela dit on a écarté un zéro (« non tous deux nuls »). 

troisqua

Dans le Liret, il se complique la vie.

OShine

Possible.

OShine

Il n'y a pas plus rapide que ma démo d'une page pour passer à l'extension aux relatifs ? 

Karnaj

Soit $n \in \mathbf{Z}$. On a $a \mid n$ et $b \mid n$ ssi $a \mid |n|$ et $b \mid |n|$ (avec une version légèrement modifiée de ton lemme), donc ssi $m \mid |n|$ (par hypothèse puisque $|n| \in \mathbf{N}$). Et on peut réutiliser le lemme pour conclure.

Concernant ta remarque sur le PPCM, tu ne sais pas si $m \in \mathbf{N}$, tu sais seulement que $m \in \mathbf{Z}$.

Et pour ta nouvelle réponse à ma question, tu es en train de dire que $-2$ est le PGCD de $2$ et $2$.

OShine

Ok merci.
Oui il faut rajouter une valeur absolue, $|-2|$ est le PGCD de $2$ et $2$.

zeitnot

Donc $2$ est le PGCD de $2$ et $2$, un résultat vraiment puissant que je vais méditer toute la journée.

Dom

Sans ironie aucune : n’ai-je pas déjà vu « bidule est un PGCD de a et b » ?
Peut-être dans des anneaux plus abstraits (?). 

Karnaj

Ok, maintenant, a-t-on $\forall n, (2 \mid n \text{ et } 3 \mid n) \iff 6 \mid n$ ? Et $\forall n, (2 \mid n \text{ et } 3 \mid n) \iff 1 \mid n$ ?

Heuristique

@Dom Il n'y a effectivement pas unicité pour le PGCD, notamment à multiplication par un inversible près.

$2$ est un PGCD de $4$ et $6$ mais $-2$ en est un autre !

Dans $\mathbb{Z}$, on peut tout simplement exiger la positivité pour assurer l'unicité. Dans $\mathbb{K}[X]$, on peut imposer que les polynômes soient unitaires, ce qui permet de dire LE PGCD. Dans un anneau quelconque, un tel critère de choix n'existe pas toujours, c'est pourquoi on parle d'UN PGCD, même si on est finalement dans le même cas que précédemment.

De manière plus générale, dans un ensemble ordonné via $\leqslant$, on a unicité de l'inf. On parle donc de L'infimum d'une partie. Dans un pré-ordre (donc sans exiger l'antisymétrie), on peut également définir la notion d'infimum (voir plus haut) mais il n'y aura pas unicité. On peut résoudre simplement le problème en quotientant par la relation $\sim$ définie via $x \sim y$ ssi $x \leqslant y$ et $y \leqslant x$. On obtient alors un ordre et l'unicité de l'infimum.

Dans le cas de $\mathbb{Z}$ pour la divisibilité, le quotient est $\mathbb{N}$ (en faisant le choix de la positivité).

Dans le cas de $\mathbb{K}[X]$ pour la divisibilité, on choisit les polynômes unitaires comme représentants pour la relation $\sim$.

Pour un anneau quelconque, on peut choisir un système de représentants pour $\sim$ mais celui-ci sera en général arbitraire.

OShine

Karnaj a dit :

Ok, maintenant, a-t-on $\forall n, (2 \mid n \text{ et } 3 \mid n) \iff 6 \mid n$ ? Et $\forall n, (2 \mid n \text{ et } 3 \mid n) \iff 1 \mid n$ ?

Merci pour l'exercice.
$n$ est dans $\N$ ou dans $\Z$ ?

Heuristique

Cela ne change rien à la question

OShine

@karnaj
Soit $n \in \Z$.

• Supposons $2 \mid n$ et $3 \mid n$. Alors $n$ est multiple de $2$ et $3$. Donc $n$ est multiple de $PPCM(2,3)$ donc $n$ est multiple de $6$. Ainsi $6 \mid n$.
• Réciproquement, si $6 \mid n$, $n$ est multiple de $PPCM(2,3)$ donc $n$ est multiple de $2$ et $3$ donc $2 \mid n$ et $3 \mid n$.

L'assertion "$\forall n \in \Z \ (2 \mid n \ \text{et} \ 3 \mid n) \ \iff  6 \mid n$" est vraie.

zygomathique

salut

en terminale math expertes il suffit de dire (il n'y a pas de ppcm officiellement et il n 'y en a pas besoin ici) : 

si 2 divise n et 3 divise n alors il existe des entiers p et q tels que n = 2p = 3q et le lemme de Gauss permet de conclure

la réciproque se démontre avec la triviale proposition : si a divise b et b divise c alors a divise c (conséquence immédiate de la définition de la divisibilité)

NicoLeProf

Yes, complètement d'accord avec zygomathique.

Une question rigolote pour OShine, pour la preuve du sens direct, comment peut-on transposer cette preuve à un niveau L2 en algèbre générale en utilisant un gros théorème?

OShine

Mais j'ai besoin d'utiliser le PPCM pour l'assimiler, pourquoi m'en passer ? Je dois avoir une maitrise parfaite du PPCM et du PGCD.

@NicoLeProf
Je n'ai pas revu le cours de L2 mais mes souvenirs me disent le théorème des restes chinois.
L'application $\phi : \Z / 6 \Z \longrightarrow \Z / 2 \Z \times \Z/3 \Z$ définie par $\phi( [n]_6)=( [n]_2,[n]_3)$ est un isomorphisme d'anneaux.

OShine

Karnaj a dit :

 Et $\forall n, (2 \mid n \text{ et } 3 \mid n) \iff 1 \mid n$ ?

Cette assertion est fausse.
En effet, l'implication $1 \mid n   \implies (2 \mid n \ \text{et} \ 3 \mid n)$ est fausse.
En effet, on a $1 \mid 5$ mais $2$ ne divise pas $5$.

zygomathique

voir   https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2157108/ideaux-de-z

et se rappeler que l'intersection de deux idéaux est un idéal ...

zygomathique

si tu veux "apprendre le ppcm" alors sers-t-en sur des exercices où cet objet est nécessaire, pas quand il est superflu ...

OShine

Je ne comprends pas le lien avec les idéaux de $(\Z,+)$.

OShine

Le PPCM sert beaucoup lorsqu'on étudie l'ordre d'un élément dans un groupe.

NicoLeProf

Le lien avec les idéaux de $(\Z,+,\times)$ (attention, ici, on considère la structure d'anneau de $\Z$ pas seulement sa structure de groupe additif) est que : lorsque $3 |n$ et $2|n$, on a : $n \in 3 \Z \cap 2 \Z$.

Or, $3 \Z \cap 2 \Z$ est une intersection d'idéaux de $\Z$ donc c'est un idéal de $\Z$.

On peut montrer (grâce au $PPCM$ notamment dans un cadre plus général) que $3 \Z \cap 2 \Z=6 \Z$. Donc je ne comprends pas ta dernière remarque @zygomathique puisque justement, tout repose sur la notion de $PPCM$ ici si on souhaite généraliser (ce qui est la suite logique de l'exercice) donc c'est loin d'être superflu dans cette théorie sur les idéaux de $\Z$ ainsi que leur intersection...

Karnaj

@OShine avec les réponses que tu as données à mes deux dernières questions, qu'est-ce que tu penses de $\forall n \in \Z, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$ où tu as dit que $|m|$ était le PGCD de $a$ et de $b$ ?

OShine

@NicoLeProf
Ok merci.

zygomathique

justement @NicoLeProf , je ne sais pas ce que tu attendais comme "gros" théorème d'algèbre mais j'ai, par le lien, "recadré" avec ta question en utilisant les anneaux et idéaux de Z, ce qui donne immédiatement la réponse, puisque @OShine parlait d'idéal à 20h05 ... et lui rappelé qu'il avait déjà posé une question de base à ce sujet.

et la démonstration utilise le PPCM ... ou pas !! comme le montre ma démo de terminale ...

c'est juste une notation bien pratique pour condenser le texte  et raccourcir les démo en invoquant ce mot magique !!!
la seule connaissance de base étant de savoir que tout idéal de Z s'écrit nZ (et que l'intersection de deux idéaux est un idéal, propriété que l'on retrouve pour l'intersection (mais pas pour l'union) pour les groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, ...)

NicoLeProf

J'attendais bien le théorème des restes chinois comme l'a écrit OShine.

Ce que je veux dire est que je suis bien d'accord avec toi quand c'est un cas sympathique avec $2$ et $3$. Mais dès que le $PPCM$ devient un peu plus compliqué à déterminer, ne serait-ce qu'avec $6$ et $9$ (ou $10$ et $15$), cela devient plus difficile de se passer du $PPCM$ je pense si l'on veut être efficace. 

OShine

Karnaj a dit :

@OShine avec les réponses que tu as données à mes deux dernières questions, qu'est-ce que tu penses de $\forall n \in \Z, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$ où tu as dit que $|m|$ était le PGCD de $a$ et de $b$ ?

Cette question je n'y arrive pas. Je ne comprends pas la subtilité de la question, car le cours donne la réponse non ? 
Je m'embrouille complètement.

zygomathique

@OShine : pourtant c'est écrit :  démonstration page 662

et il n'y a aucune subtilité dans la question 

si on note P(a, b) la proposition :  $ \forall n \in \N : (a \mid n \text{  et  } b \mid n) \iff m \mid n $ où m est un entier relatif quelconque 

alors  $ \forall m \in \Z :  \text{m vérifie P(a, b) } \iff m = ppcm (a, b)$

puisque si a divise b alors $\pm a$ divise $ \pm b$ donc on peut passer de N à Z et inversement

Karnaj

@OShine le cours te dit que c'est le PPCM, pas le PGCD. C'est pour ça que je t'ai posé les questions avec $2$, $3$, $6$ et $1$, tu as trouvé que le résultat était vrai pour $6$ et pas pour $1$. Ce qui était en contradiction avec ce que tu avais dit en disant que $m$ était le PGCD. Il faut que tu puisses faire le lien entre des résultats généraux et des exemples. D'ailleurs, tu as refait la preuve pour $2$, $3$ et $6$, alors que tu aurais pu juste appliquer la proposition.

OShine

Ok merci.