0 est le plus grand pour la relation de divisibilité

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Réponses

  • OShine a dit :
    Pourquoi ils écrivent $\forall n \in \N$ dans le théorème 17 ?

    Le fait que le théorème soit vrai est déjà une raison.
  • Exercice pour @OShine
    Soit $a,b,m$ trois entiers naturels. Montre que les propositions suivantes sont équivalentes : 
    (i) $\forall n\in \N (a\mid n \text{ et}\ b\mid n) \Leftrightarrow m\mid n$
    (i)) ) $\forall n\in \Z (a\mid n \text{ et}\ b\mid n) \Leftrightarrow m\mid n$

    Au travail
  • Dom
    Dom
    Modifié (25 May)
    Le site est lent (je mets un quart d’heure à écrire trois mots). 
    Je m’étais interdit de répondre et j’ai été faible. 
    La remarque dit « on a défini PPCM avec des entiers naturels mais on peut aussi le faire avec des entiers relatifs ». Puis le quantificateur porte sur $n$ entier naturel (et non sur a et b) dans le théorème.
    Mais au fait, le relation de divisibilité, elle est définie pour qui ? 
    Ne peut-on pas dire $7 | -14$ ? (voir comment c’est défini…)
    Bon courage à ceux qui vont poursuivre. 

    Édit : suivons le courageux JLapin 
    regardons tout de même comment est défini « .|. » ça peut être intéressant. 
  • Pourquoi $a$, $b$ entiers naturels ? Dans la remarque, $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. 
  • Exercice 2 :

    JLapin a dit :
    Exercice pour @OShine
    Soit $a,b,m$ trois entiers relatifs. Montre que les propositions suivantes sont équivalentes : 
    (i) $\forall n\in \N (a\mid n \text{ et}\ b\mid n) \Leftrightarrow m\mid n$
    (i)) ) $\forall n\in \Z (a\mid n \text{ et}\ b\mid n) \Leftrightarrow m\mid n$

    Au travail

    Si tu veux un exercice 3 à la place de répondre aux deux précédents, n'hésite pas !
  • Je veux bien faire l'exercice mais je ne comprends pas vraiment le lien exact avec ma question de départ.
    Comme $\N \subset \Z$, l'implication $ii) \implies i)$ est évidente.
    Supposons $i)$ vraie.
    Soit $n \in \Z$.
    Si $n \in \N$, alors c'est évident.
    Si $n \in \Z^{-}$, on a : $(a \mid -n \ \text{et} \ b \mid -n) \iff m \mid -n$ 
    Et ici je bloque.
  • JLapin
    Modifié (25 May)
    Ta question de départ est précisément liée au fait que tu mentionnes ci-dessous
    Et ici je bloque.
    Fais un petit effort :  ce n'est pas si compliqué... Après 5 ans de maths intensives, tu en reviens toujours au même point :  tu bloques dès qu'il y a quelques quantificateurs dans les propriétés...
  • Je ne vois pas l'idée, j'avais bloqué sur la même remarque sur le PGCD hier.
  • Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tels que $n \mid m$. Que peut-on dire de $-n$ et $m$ ? De $n$ et $-m$ ? De $-n$ et $-m$ ? Finalement, les signes de $n$ et $m$ ont-ils de l'importance ?
  • C’est pour ça que j’ai demandé la définition de ce livre de « a|b ». 
    Dire « a divise b » signifie… ?
  • bof, il bloque pour un truc simple, hallucinant 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Dom a dit :
    C’est pour ça que j’ai demandé la définition de ce livre de « a|b ». 
    Dire « a divise b » signifie… ?
    C'est la première définition du chapitre.
    Définition : 
    Etant donné deux entiers relatifs $a$ et $b$, on dit que $b$ divise $a$ et l'on note $b \mid a$ s'il existe $k \in \Z$ tel que : $a=kb$.
    On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $a$ est un multiple de $b$.
  • Karnaj a dit :
    Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tels que $n \mid m$. Que peut-on dire de $-n$ et $m$ ? De $n$ et $-m$ ? De $-n$ et $-m$ ? Finalement, les signes de $n$ et $m$ ont-ils de l'importance ?
    Merci.
    Si $n \mid m$ alors $-n \mid m$.
    $n \mid -n$ et $-n \mid -m$.

    Je crois que j'ai compris, sauf erreur.
    On a $\forall n \in \N \ ( |a| \mid n \ \text{et} \ |b| \mid n) \iff m \mid n$.
    Mais $|a| = \pm a$.
    Donc $\forall n \in \N \ ( a \mid \pm n \ \text{et} \ b \mid  \pm n) \iff m \mid n$
    Ce qui est équivalent à :  
    $\forall n \in \Z \ ( a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \iff m \mid n$

  • Voilà. Donc si c’est vrai pour tout n naturel. C’est pareil pour tout n relatif. 
    Ils auraient pu mettre pour tout n relatif, dans le théorème. 
    La remarque quant à elle parle de a et b relatifs au lieu de a et b naturels. 
    Mais le pour tout n relatif n’a rien à voir avec ça. 
  • Le $n$ relatif provient du fait que $a= \pm |a|$, comme ça on peut se ramener au théorème 17.
  • Dom
    Dom
    Modifié (26 May)
    NON !
    si dans la définition de « a divise b » on permet déjà que le n est relatif, alors il peut être relatif dans le théorème… 
    et dans la définition de « a divise b » que sait-on de a et b ? Ils sont déjà relatifs. 
  • et dans la définition de « a divise b » que sait-on de a et b ?

    Qu'ils sont entiers relatifs. Où veux-tu en venir ?


  • Une remarque : défini comme ça, « .|. » n’est pas une relation d’ordre. 
    Par exemple on n’a pas l’antisymétrie : 7|-7  et -7|7 et on n’a pas 7=-7 
  • Oui, je suis d'accord avec toi.
  • Tu fouines, tu cherches à prouver de façon extrêmement rigoureuse des trucs qui sont basiques, et au milieu de cette démonstration prétendument rigoureuse, tu t'autorises à écrire des trucs comme : 
    $\forall n \in \N \ ( a \mid \pm n \ \text{et} \ b \mid  \pm n) \iff m \mid n$

    $\pm n$, c'est un nombre ? c'est un entier positif ?  L'opérateur $\pm$, c'est un opérateur de quelle nature ? 

    Comme d'habitude, tu alignes quelques symboles mathématiques, tu conclues par CQFD, et on te dit : c'est bien, ça suffit, passe à autre chose.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Congru
    Modifié (26 May)
    La divisibilité dans $ ( \mathbb Z;+;*;0;1) $ est le reflet de ce qui se passe sur le monoïde $ (\{z\vert (z\in \mathbb N)\wedge (z\not =0)\};*;1) $. C'est juste un cas particulier de ce que j'ai exposé plus haut. Sincèrement je ne vois pas l'intérêt du fait que la divisibilité soit une relation d'ordre, si quelqu'un voit l'intérêt ce serait bien d'expliquer.
    Vive la France
  • Ha ! Je n’avais pas vu ton message JLapin et pourtant je semble te répondre. 
    Tout ce fil est confus… peut-être à cause de mes interventions. 
    Pour moi, la confusion principale est que dans cette page, on change le statut de a et b pour le pgcd en les passant de N a Z.
    Mais le quantificateur porte sur n et donc comme la définition de « a divise b » contient déjà Z… il n’y a même plus lieu de s’interroger. 
    La confusion arrive alors avec cette remarque ET le changement du statut de n. 
  • Oui, mais j'ai l'impression que cette définition est plutôt générale. Au sens où dans un anneau $A$ supposé commutatif unitaire (pour éviter de la définir à droite puis à gauche), dire qu'un élément $b$ de $A$ divise un élément $a$ de $A$ (on note $b |a$) signifie qu'il existe un élément $c$ de $A$ tel que $a=bc$.
    On remarque immédiatement comme conséquence que : $b |a \Leftrightarrow aA \subset bA$ ($b$ divise $a$ dans $A$ si et seulement si l'idéal engendré par $b$ contient l'idéal engendré par $a$).
    Ne pas avoir l'antisymétrie de cette relation de divisibilité (qui est appelée un préordre : étant réflexive et transitive seulement d'après ce que je lis) n'est pas problématique car on peut définir la notion d'éléments associés dans un anneau commutatif unitaire $A$.
    Deux éléments $a$ et $b$ de l'anneau commutatif unitaire $A$ sont dits associés si l'on a à la fois $a |b$ et $b|a$. On notera dans ce cas : $a \sim b$. 
    On peut vérifier que la relation que l'on vient de définir est une relation d'équivalence, ce qui permet ensuite de quotienter... 
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Dom
    Dom
    Modifié (26 May)
    Oui je suis d’accord. 
    Disons que je comprends tout de même que dans ledit bouquin il y a un truc pas très clair même s’il n’y a pas d’erreur. 

    Pour « l’intérêt », je ne sais pas. Cependant on a le terme « PLUS GRAND », ça connote, ça connote bien, même. 
  • Dom
    On dit c'est un préordre (déjà mentionné par @gai requin ou @GaBuZoMeu dans le lien en haut)
    Les ordres sont les préordres antisymétriques
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Congru
    Modifié (26 May)
    Sinon ce serait peut-être utile de donner la vrai définition de divisibilité dans un anneau:
    soit $(A;\iota )$ un anneau commutatif, soient $a;b\in A$, on dit que $a\mid b$ si $\exists c((a\not =0)\wedge (c\not =0)\wedge (b=a*c))$.

    C'est pour cela que l'expression "diviseur de $0$" a le sens qu'on connait.
    Quand on veut parler de $pgcd$ ou $ppcm$ ou même de divisibilité, le 0 est de-facto exclu de la conversation.

    Vive la France
  • Ah!

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Congru
    Modifié (26 May)
    Je ne suis pas d'accord avec la définition dans ce livre car elle porte atteinte à la définition: un anneau intègre est un anneau sans diviseurs de $0$. Et que dans ce contexte "diviseur de $0$" ne peut avoir de sens autre que celui qui vient avec ma définition. Selon la définition de ce livre, tout est diviseur de $0$
    Vive la France
  • Et pourquoi la vraie définition de divisibilité dans un anneau commutatif ne serait pas tout simplement $$a\mid b \Longleftrightarrow \exists c\ b=ac \quad ?$$
    L'expression "diviseur-de-zéro" est à prendre comme un bloc : un diviseur-de-zéro divise $0$ bien sûr (tout le monde divise $0$), mais un diviseur-de-zéro est un élément $a\neq 0$ de l'anneau tel qu'il existe $b\neq 0$ tel que $0=ab$.
    Il n'y a aucun obstacle à inclure $0$ quand on parle de pgcd ou de ppcm : $d$ est un pgcd de $a$ et $b$ si et seulement si, pour tout élément $x$ de l'anneau, $x\mid d \Longleftrightarrow (x\mid a \text{ et } x\mid b)$.
  • Congru
    Modifié (26 May)
    @GaBuZoMeu certes, il n'y a pas d'obstacle à inclure $0$, mais est-ce que cela apporte quelque chose ?
    Et mise à part le fait qu'on s'éloigne de l'origine historique de la notion de divisibilité, je trouve que $0$ est un peu une grosse anomalie pour la notion de divisibilité. La divisibilité dans un anneau se ramène assez facilement à la divisibilité dans un monoïde, mais un élément absorbant dans un monoïde ça fait désordre.
    Vive la France
  • Cela apporte de ne pas avoir à faire d'exception. Et dans un anneau euclidien, l'algorithme d'Euclide accepte sans problème un ou deux $0$ en entréeet retourne un bon pgcd.
  • @NicoLeProf
    Comment tu démontrerais la remarque sur laquelle j'ai bloqué ? 
    On dit que ma rédaction est mauvaise.

    Sinon, ce livre justifie rigoureusement que $PPCM(0,0)=0$.
  • @lourran
    Je ne vois pas le problème d'utiliser $a \mid \pm n$ qui signifie $a \mid n$ ou $a \mid -n$.
  • Tu vas vraiment réussir à faire rédiger mon exo par quelqu’un d’autre… Tu possèdes un super pouvoir.
  • Oui, de ce côté là, la compétence est acquise. Il prend les intervenants pour des ChatGPT et il en trouve toujours un. 
  • @OShine, je ne vais pas m'amuser à rédiger un truc qui me semble aussi basique et évident. Tu te noies dans des détails ici.
    En fait, j'ai beaucoup de mal à comprendre l'écart entre tes différents posts : entre le fait de réussir un X-ENS sur lequel je suis bien incapable de faire quoi que ce soit surtout si c'est de l'analyse et des posts vraiment triviaux comme celui-ci, je suis largué, c'est le grand écart ! ^^' :D 
    Dommage car j'ai fortement l'impression que tu as des capacités mais tu te noies dans un verre d'eau, tu sembles lire passivement des cours et des corrections sans essayer de te détacher du cours et tu ne t'exerces pas assez je pense. Tu pourrais pourtant facilement et rapidement progresser.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Perso, je ne vais rédiger et s'il me pose la question pourquoi ?,  j'ai une réponse toute prête : je bloque :smile:
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Karnaj
    Modifié (26 May)
    Le problème, c'est que ce que tu écris n'est pas une démonstration. C'est presque une idée de démonstration qui pourrait convaincre quelqu'un qui pense que tu as compris ce qui se passe (et je pense que la majorité des gens qui interviennent ici ne sont pas convaincus de cela), mais sinon ce n'est pas le cas. Il n'y a aucun lien entre les propositions que tu as données, et tu ne donnes pas les raisons qui te permettent de passer de l'une à l'autre. 
    Par exemple, si on te demande de montrer que pour tout entier $n$, $5 \mid n \implies 10 \mid 2n$, une démonstration ce serait un truc du genre « soit $n$ un entier tel que $5 \mid n$. Alors il existe un entier $m$ tel que $n = 5m$. Donc $2n = 10m$, d'où $10 \mid 2n$. » J'utilise la définition de la relation $\mid$ (et j'aurais pu être encore plus précis à la fin en exhibant l'entier $m'$ ($2m$) qui correspond à la définition de $10 \mid 2n$). 
    Pour la démonstration que tu veux faire, on suit les règles d'une base d'une démonstration. On pose ce qu'on sait. On utilise un théorème pour obtenir un autre résultat, ou on utilise la définition d'un objet pour transformer ce qu'on sait en autre chose. Dans ton cas, tu as une équivalence à montrer, tu as déjà montré le sens réciproque (tu as dit que c'était évident), reste à montrer le sens direct. On veut montrer « pour tout entier $n$, $P(n) \implies Q(n)$ ». Commençons avec « soit $n$ un entier, montrons $P(n) \implies Q(n)$ ». Tu as une équivalence à montrer, donc deux sens à montrer.
    • Supposons $P(n)$, montrons $Q(n)$.
    • Supposons $Q(n)$, montrons  $P(n)$.
    On va te laisser le reste du travail, montrer les deux sens. Pour cela, demande-toi ce que signifient $a \mid n$, $b \mid n$, et $m \mid n$ (la définition) pour savoir ce que tu as comme information, et ce que tu veux montrer comme information. Quand tu seras habitué aux notions et à leur manipulation, et quand tu auras l'habitude d'écrire de bien rédiger des preuves, tu pourras te passer de certaines étapes, mais ici tu n'as pas encore bien compris comment le signe intervient (ou plutôt n'intervient pas) dans cette relation, et tu ne sais pas encore bien rédiger des preuves, donc fais les choses bien.

    Sinon, pour continuer à travailler ces notions de divisibilité, voici une question à laquelle tu peux répondre avec des mots (et ensuite tu pourras essayer de faire une preuve qui va avec). Quand on a $\forall n, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$, quel lien peut-on faire entre $m$ et le PGCD de $a$ et $b$ ?
  • OShine
    Modifié (26 May)
    NicoLeProf a dit :
    @OShine, je ne vais pas m'amuser à rédiger un truc qui me semble aussi basique et évident. Tu te noies dans des détails ici.
    En fait, j'ai beaucoup de mal à comprendre l'écart entre tes différents posts : entre le fait de réussir un X-ENS sur lequel je suis bien incapable de faire quoi que ce soit surtout si c'est de l'analyse et des posts vraiment triviaux comme celui-ci, je suis largué, c'est le grand écart ! ^^' :D 
    Dommage car j'ai fortement l'impression que tu as des capacités mais tu te noies dans un verre d'eau, tu sembles lire passivement des cours et des corrections sans essayer de te détacher du cours et tu ne t'exerces pas assez je pense. Tu pourrais pourtant facilement et rapidement progresser.
    Ce qui paraît trivial est parfois plus difficile à démontrer que le reste. 
    Juste après j'ai revu les théorèmes sur les valuations, et je n'ai eu aucune difficulté, pourtant c'est assez technique. 
    Je pense que la majorité des gens ne s'attarde pas sur ce genre de détail, mais je ne suis pas sûr qu'ils le comprennent. 
    Demande à tes élèves de fac de démontrer ce résultat @NicoLeProf
  • @karnaj
    $m=PGCD(a,b)$.
    J'ai essayé de poser les choses, mais je me perds, il y a trop de cas à traiter suivant le signe de $n$ et de $a$ et $b$.
    Je n'arrive pas à montrer l'équivalence entre P(n) et Q(n).
    Je bloque déjà sur l'implication $P(n) \implies Q(n)$.

    J'ai posé : 
    P(n) : 
    « Soit $a,b \in \N^{*}$ et $m=PPCM(a,b)$. 
    On a $\forall n \in \N \ \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ »

    Q(n) : 
    « Soit $a,b \in \Z^{*}$ et $m=PPCM(a,b)$. 
    On a $\forall n \in \Z \ \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ »



  • JLapin a dit : 
    Je pense que seuls 17.8938493849384% des candidats au CAPES et 19.0394830498340983% des candidats à l'X auraient eu la réponse et que cette question aurait fait un massacre.
    OShine a dit :
    Je pense que la majorité des gens ne s'attarde pas sur ce genre de détail, mais je ne suis pas sûr qu'ils le comprennent. 
    Demande à tes élèves de fac de démontrer ce résultat @NicoLeProf      

    C'était une prédiction du futur assez facile...
  • @OShine "Ce qui paraît trivial est parfois plus difficile à démontrer que le reste". Au contraire, dire cela est souvent la preuve d'une mauvaise compréhension des mathématiques. J'entends souvent ce discours chez des lycéens, jamais chez des élèves en fin de BAC+1 et plus. La différence ? Les premiers n'ont en général pas appris à prouver un énoncé, les seconds si. Comme te l'a rappelé @Karnaj , un $\forall$ se montre en écrivant "Soit", une équivalence par double implication, etc. Tant que tu n'auras pas compris cela, tu seras dans l'incapacité de faire des mathématiques correctement. Mais cela ne t'intéresse pas. Tant que tu décideras que savoir faire une preuve ne t'intéresse pas, tu bloqueras sur tous les énoncés que tu croiseras et te borneras à apprendre des démonstrations par cœur et recopier des corrigés sans en comprendre l'essence.
  • OShine
    Modifié (26 May)
    Une tentative. 

    Commençons par remarquer que $\forall x,y \in \N^{*} \ x \mid y \iff x \mid -y$.
    P(n) : 

    « Soit $a,b \in \N^{*}$ et $m=PPCM(a,b)$. 
    On a $\forall n \in \N \ \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ »

    Q(n) : 
    « Soit $a,b \in \Z^{*}$ et $m=PPCM(a,b)$. 
    On a $\forall n \in \Z \ \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ »

    Supposons P(n) vraie. 
    Soit $a,b \in \Z^{*}$ et $n \in \Z$.
    Raisonnons par disjonction de cas : 
    • Si $a>0$ et $b>0$. Si $n \in \N$, alors le résultat est vrai car P(n) est vraie. Si $n \in \Z^{-}$, alors $-n \in \N^{*}$ et donc : $(a \mid -n \ \text{et} \ b \mid -n) \iff m \mid -n$. Ainsi : $(a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \iff m \mid n$
    • Si $a<0$ et $b<0$. Si $n \in \N$, alors $(|a| \mid n \ \text{et} \ |b| \mid n) \ \iff \ m \mid n$ d'après P(n). Ainsi : $(-a \mid n \ \text{et} \ -b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ et donc $(a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$. Si $n \in \Z^{-}$, alors $-n \in \N^{*}$ et donc : $(-a \mid -n \ \text{et} \ -b \mid -n) \iff m \mid -n$. Ainsi : $(a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \iff m \mid n$
    • Si $a<0$ et $b>0$. Si $n \in \N$, alors $(|a| \mid n \ \text{et} \ |b| \mid n) \ \iff \ m \mid n$ d'après P(n). Ainsi :$ (-a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ et donc $(a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$. Si $n \in \Z^{-}$, alors $-n \in \N^{*}$ et donc : $(-a \mid -n \ \text{et} \ b \mid -n) \iff m \mid -n$. Ainsi : $(a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \iff m \mid n$
    L'implication réciproque $Q(n) \implies P(n)$ est triviale car $\N \subset \Z$.

  • OShine
    Modifié (27 May)
    On m'a conseillé de revoir mes bases, je revois entièrement le cours de MPSI, je ne cherche pas à faire des trucs compliqués de niveau L3.
    Même si j'ai quelques connaissances de L2-L3 sur les groupes, actions de groupe etc.. 
  • Je n'utilises pas des symboles logiques de façon hasardeuse, je maitrise l'implication logique et sa négation, la contraposée etc...
  • OShine, si tu dis à un de tes élèves qu'il a telle ou telle lacune, et que celui-ci te répond : non, je maitrise ce chapitre,
    tu réagis comment ?
    Tu le crois, tu considères que ton diagnostic était faux ?
    N'oublie pas que sur ce forum, tu es l'élève et que les gens qui t'aident sont tes profs.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Qu'on me dise où j'ai fait des erreurs de logique alors.

  • OShine a dit :
    Une tentative. 

    Commençons par remarquer que $\forall x,y \in \N^{*} \ x \mid y \iff x \mid -y$.
    P(n) : 

    « Soit $a,b \in \N^{*}$ et $m=PPCM(a,b)$. 
    On a $\forall n \in \N \ \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ »

    Q(n) : 
    « Soit $a,b \in \Z^{*}$ et $m=PPCM(a,b)$. 
    On a $\forall n \in \Z \ \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \ \iff \ m \mid n$ »

     Cette tentative ne répond à aucun des deux exercices que j'ai posé. Démontrer l'équivalence entre P(n) et Q(n) tels que tu les as posés est en fait un "non sens logique".
  • Karnaj
    Modifié (27 May)
    Ok, on va tout faire dans l'ordre. J'ai l'impression que tu essaies de faire l'exercice de @JLapin, et pourtant, tu as un $m$ qui vaut $\operatorname{PPCM}(a, b)$ qui apparaît, or l'énoncé ne dit pas du tout que $m$ vaut cela. Ton $P(n)$ et $Q(n)$ ne dépendent d'aucun $n$, pourquoi les appeler ainsi ? Dans mon message précédent, je donnais le cas où on voulait démontrer une proposition de la forme « pour tout $n$, $P(n) \iff Q(n)$. Ici ce n'est pas le cas, tu veux juste démontrer quelque chose de la forme $P \iff Q$ (plus précisément, ce serait de la forme « pour tout $a, b, m$, ...). Par contre, $P$ a la forme « pour tout $n$, $P(n) \iff Q(n)$ ».
    Donc commençons par reprendre l'énoncé qu'on veut montrer.

    Pour tout $a, b, m \in \mathbf{Z}$, on a \[ \Big[\forall n \in \mathbf{N}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n \Big] \iff \Big[\forall n \in \mathbf{Z}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n \Big]. \]
    Faisons un plan de preuve.

    Soient $a, b, m \in \mathbf{Z}$. Montrons que \[ \Big[\forall n \in \mathbf{N}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n \Big] \iff \Big[\forall n \in \mathbf{Z}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n \Big]. \]
    1. Supposons $\forall n \in \mathbf{N}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$. On veut montrer $\forall n \in \mathbf{Z}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$. Soit donc $n \mathbf{Z}$. On veut montrer $(a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$. On le fait en deux étapes. Un : on suppose $a \mid n \text{ et } b \mid n$ et on montre $m \mid n$ (TODO). Deux : on suppose $m \mid n$ et on montre $a \mid n \text{ et } b \mid n$ (TODO).
    2. Supposons $\forall n \in \mathbf{Z}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$. On veut montrer $\forall n \in \mathbf{N}, (a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$. Soit donc $n \in \N$. Comme tu l'as déjà dit, on a $n \in \mathbf{Z}$, et donc $(a \mid n \text{ et } b \mid n) \iff m \mid n$ (car on a supposé cela).
    Dans la preuve du deuxième point, on utilise une hypothèse (tout comme on aurait pu utiliser un théorème) pour conclure, on ne montre pas l'équivalence en montrant chaque implication. Dans le premier point par contre, on montre(rait) (là où j'ai laissé les TODO), les deux sens de l'équivalence. Bien sûr, on pourrait raisonner par équivalence et dire par exemple que $m \mid n$ équivaut à une proposition, qui elle-même équivaut à $a \mid n \text{ et } b \mid n$, ce qui permet de conclure, mais les raisonnements par équivalence sont plus embêtants puisqu'ils demandent d'être sûr des deux sens des équivalences qu'on montre.
    Maintenant que tu as une preuve à trous, on peut te demander de la compléter en trouvant ce qu'il y a avec les TODO. Savoir écrire une preuve, c'est une compétence mathématique très importante pour ne pas écrire n'importe quoi. Même quand on a de l'intuition, elle ne suffit pas, et au contraire, elle peut souvent mener à de faux résultats. Il faut donc pouvoir justifier chaque étape de ton raisonnement. Et les raccourcis viendront une fois que tu sauras que tu sais écrire une preuve, pas avant.

    Une fois que tu sauras remplir les TODO, on pourra passer à une preuve plus simple en prouvant un lemme qui permet de supprimer les signes (vu que ce sont eux le problème ici). Elle permettra de se passer de toutes tes distinctions de cas. D'ailleurs, tu peux essayer de trouver un tel lemme. Soient $m, n \in \mathbf{Z}$. On a envie de dire que $m \mid n$ si et seulement si on a une certaine relation entre $n$ et $m$, mais où on a supprimé les signes de $n$ et $m$. Tu connais sûrement une fonction qui permet de « supprimer les signes ». Dans ce cas, on peut dire que $m \mid n$ si et seulement si ?

    PS : concernant ma question précédente, tu dis que dans ce cas, $m = \operatorname{PGCD}(a, b)$, mais prenons par exemple $a = 2$, $b = 2$ et $m = -2$. En fait, ce que tu dois comprendre, c'est quand dans $\mathbf{Z}$, la divisibilité se fait à un inversible près (multiplier par $1$ ou $-1$ ne change rien). Si la relation « être divisible » est compliquée, tu peux regarder « être multiple » à la place, tu verras peut-être mieux les choses de cette façon.

  • Thierry Poma
    Modifié (27 May)
    Je viens de supprimer une quantité de messages n'ayant aucun rapport avec la Mathématique, y compris le mien (à l’exception de celui-ci). J'ouvre le fil.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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