0 est le plus grand pour la relation de divisibilité

Bonsoir,

Je revois le cours d'arithmétique de sup.
Je ne comprends pas ce passage. 
Pourquoi $0$ est le plus grand pour la relation de divisibilité ?
L'ensemble des diviseurs de $0$ est $\Z$.



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Réponses

  • NicoLeProf
    Modifié (24 May)
    Ah oui subtil et intéressant !
    En fait, comme tu le dis justement, l'ensemble des diviseurs de $0$ dans ce contexte est l'ensemble des entiers relatifs donc c'est $\mathbb{Z}$.
    Ainsi, au sens de l'ordre naturel $\leq$ de $\mathbb{N}$, il n'existe pas de plus grand diviseur de $\mathcal{D}(0) \cap \mathcal{D}(0)=\mathcal{D}(0)$ (puisque je peux toujours en trouver un plus grand).
    Mais au sens de la divisibilité, il suffit d'observer l'implication : $n \in \mathcal{D}(0) \Rightarrow n | d$ (en considérant que $d$ est le plus grand diviseur de $0$ au sens de la divisibilité cette fois en supposant qu'il existe).
    Or, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, si $n \in \mathcal{D}(0)$ alors $n$ divise $0$ donc $0$ est bien le plus grand élément de $\mathcal{D}(0)$ au sens de la divisibilité. (On a : pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathcal{D}(0) \Rightarrow n | 0$).
    Ce qui est en cohérence/ en accord avec la convention : $PGCD(0,0)=0$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Fascinant
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • On peut introduire une notation nouvelle pour la notion 'divise' : $a \ll b \iff \exists k \in \mathbb{N}, b = n \times a $
    Avec ce symbole $\ll$ , plutôt que le symbole classique $|$, on visualise un peu mieux que cette relation 'divise' est une relation d'ordre.

    Par exemple, $5 \ll 10$ ; $7 \ll 7$ ; $3 \ll 0$ mais c'est une relation d'ordre partiel, on n'a ni $3 \ll 4$, ni $4 \ll 3$
    On constate que $\forall n \in \mathbb{N}^* , n \ll 0$ : donc $0$ est plus grand que n'importe quel entier (plus grand au sens de la divisibilité, $0$ est divisible par tout entier). Si $0$ est plus grand que n'importe quel entier, c'est le plus grand des entiers.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @NicoLeProf
    Merci, en effet c'est très subtil ! 
  • Ah non Oshine, c'est finement nuancé
    j'ai oublié de donner ce lien https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1743394/pgcd-0-0
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane
    J'ai déjà lu ce lien mais je n'avais pas réussi à comprendre, ça partait dans tous les sens. 
  • NicoLeProf
    Modifié (24 May)
    Je savais que ma nouvelle signature te plairait cher @gebrane, tu es vraiment très drôle, très bienveillant et très sympathique ! :);) (Je ne suis pas toujours sérieux et heureusement hahahaha ! ^^' :D)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • gebrane
    Modifié (24 May)
    Oshine,
    Si jamais tu te retrouves confronté dans un oral à la question de ce que signifie  le PGCD de (0,0), il faut choisir soigneusement tes mots pour répondre. Que dirais-tu ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Je dirai que le pgcd de (0,0) n'existe pas car $\Z$ n'admet pas de plus grand élément.
    Mais par convention grâce au théorème voir photo ci-dessous on dit que $pgcd(0,0)=0$

  • OShine
    Modifié (24 May)
    Je crois que la réponse ta question est dans le livre @gebrane.

    Revoir l'arithmétique de sup 2 ans après l'avoir étudié pour la première fois rend plus facile plein de choses que je trouvais très difficiles comme ce théorème 6, qui finalement est assez simple.
    Mais ce théorème 6 est très important.
  • NicoLeProf
    Modifié (24 May)
    Bah c'est clair non? (Presque immédiat).
    Essaie de le démontrer au pire : 
    soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. Alors d'après la définition $3$, $d=PGCD(a,b)$ est le $PGCD$ de $|a|$ et de $|b|$.
    Or, d'après le théorème $6$, ...
    Edit : OShine efface ses messages d'incompréhension (extension aux entiers relatifs). Bon, tant mieux si tu as compris mais du coup, je passe pour un vieux prof sénile et fatigué lol :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Congru
    Modifié (24 May)
    Pour moi, il est plus naturel de définir $pgcd(0;0):=\mathbb N$
    Edit. J'explique: si pour tous $a,b\in \mathbb N$, on pose $fab:=\bigcup \{c\vert ((c\mid a)\wedge (c\mid b))\}$, alors lorsque $a$ ou $b$ n'est pas nul on a $fab=pgcd (a;b)$ et on a $f00=\mathbb N$
    Vive la France
  • Oshine J'espère que tu ne vas pas dire aux jurys : 
    Mais par convention grâce au théorème voir photo ci-dessous on dit que pgcd(0,0)=0
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gai requin
    Modifié (24 May)
    $0$ est un diviseur commun de $0$ et $0$.
    De plus, si $a$ divise $0$ et $0$, alors $a$ divise $0$.
    Bref, c’est assez évident que $\gcd(0,0)=0$ quand on évoque la divisibilité vue comme un préordre. 
  • Il n'y a aucune convention dans $pgcd(0,0) = 0$, c'est tout simplement la définition de l'inf.
    $0$ est le maximum de $\mathbb{N}$ pour l'ordre de la divisibilité.
    Si l'on prend $pgcd(9,6)$, on regarde l'ensemble des minorants de $9$ et $6$ pour la divisibilité. L'ensemble des minorants, à savoir $\{1,3\}$ admet un maximum qui est $3$ donc $\inf(\{6,9\}) = 3$.
    Si l'on regarde $pgcd(0,0)$, l'ensemble des minorants de $0$ est $\mathbb{N}$ qui admet $0$ pour maximum. Donc $pgcd(0,0) = \inf(\{0\}) = 0$.
    Nul besoin donc d'invoquer une quelconque convention, de faire un rituel religieux ou des incantations chamaniques. Zéro existe depuis des milliers d'années, c'est un nombre et en aucun cas un objet mystique.

  • Dom
    Dom
    Modifié (24 May)
    La relation « divise » est prolongée par « est plus petit que » sur les réels strictement positifs. 
    Avec zéro, le plus petit élément (au sens de $\mathbb R$) est le plus grand au sens de « divise ».  
    Ce n’a jamais été écrit dans les bouquins de ma formation initiale. 
    Les pieds par contre ont certainement dû le dire dans mes amphis, j’en suis certain même si je ne m’en souviens pas.  
    Il n’y a rien de subtile. C’est comme ça. 
    Toute de même, les documents du CNED pour le CAPES des années 2000 prenaient la notion naïve pour les PGCD « ensemble des diviseurs », « ensemble des multiples », le Plus Grand Commun au sens de l’ordre usuel. 
    Si je devais faire un reproche, ce serait cela. On aurait pu espérer une remarque sur la relation d’ordre « divise » et le rôle du zéro. 
  • Congru
    Modifié (24 May)
    @Heuristique et @gai requin pouvez vous donner vos définitions pour $pgcd$ ?
    Vive la France
  • Congru
    Modifié (24 May)
    @Dom la relation de divisibilité (à droite ou à gauche) est beaucoup plus large que la divisibilité sur $\mathbb N$, sa forme la plus générale est vue avec les magmas. Donc c'est assez normal de ne pas tenir compte de $0$ qui n'a aucune importance dans le cadre de l'étude générale de la divisibilité (car n'existe même pas dans le cas général).
    Vive la France
  • gai requin
    Modifié (24 May)
    $d$ est un pgcd de $a$ et $b$ ssi $d$ divise $a$ et $b$ et pour tout $c$, si $c$ divise $a$ et $b$, alors $c$ divise $d$.
  • J'ai toujours pris comme définition de $a\land b$ que c'était le générateur naturel de $a\Z+b\Z$ ce qui donne en particulier  $0\land 0=0$.
  • @troisqua : Il existe des anneaux qui ne sont pas principaux.
  • Congru
    Modifié (24 May)
    Donc @gai requin avec un prédicat d'arité $3$ noté $[pgcd]$: $[pgcd]abd\iff (d\in \bigcap \{ div(a);div(b) \}\wedge \bigcap \{ div(a);div(b) \}\subseteq div(d))$

    Vive la France
  • Dom
    Dom
    Modifié (25 May)
    Je ne vois pas bien en quoi c’est un argument pour virer zéro de $\mathbb N$.  
    C’est très simple de définir $.|.$ sur (édit : erreur pas $\mathbb N× \mathbb N$) sur $\mathbb N$ et ça donne une définition propre à ce qu’est « le plus grand diviseur » puis au pgcd de deux nombres. 
    On n’est plus en train d’être sur le fil, tentant l’équilibre, avec zéro ou pas. Tout est clair et limpide. 
    Sur une définition plus générale, je peux te croire sur parole, je ne connais pas. 
  • Rappel de théorie des ordres :
    Soit $(X,\leqslant)$ un ensemble ordonné, $A \subset X$ et $x \in X$.
    On dit que $x$ est un minorant de $A$ ssi $\forall a \in A, x \leqslant a$.
    On dit que $x$ est un majorant de $A$ ssi $\forall a \in A, a \leqslant x$.
    On dit que $x$ est le minimum de $A$ ssi $x$ est un minorant de $A$ et $x \in A$.
    On dit que $x$ est le maximum de $A$ ssi $x$ est un majorant de $A$ et $x \in A$.
    L'infimum de $A$, s'il existe, est le maximum de l'ensemble des minorants de $A$.
    Le supremum de $A$, s'il existe, est le minimum de l'ensemble des majorants de $A$.

    Cas particulier : on regarde l'ensemble $\mathbb{N}$ muni de la relation de divisibilité. Un minorant se nomme un diviseur, un majorant se nomme un multiple. L'infimum (qui existe toujours) se nomme le pgcd et le supremum (qui existe toujours) se nomme le ppcm. 

    On remarquera notamment que les notations $\wedge$ et $\vee$, utilisées usuellement pour désigner l'inf et le sup sont également utilisés pour parler du pgcd et du ppcm (car c'est l'inf et le sup pour la divisibilité), de la conjonction et la disjonction (car c'est l'inf et le sup pour l'ordre usuel sur les booléens).

  • @gai requin : je suis bien d'accord avec toi, je parlais du PGCD dans $\Z$ qui est le contexte de la question initiale.
  • NicoLeProf
    Modifié (24 May)
    Le plus simple pour s'en sortir ici je pense est de définir le $PGCD$ dans un anneau principal de la manière suivante et c'est ce que semble faire l'auteur du livre d'OShine mais dans l'anneau des entiers relatifs :
    Propriété-définition : soit $A$ un anneau principal. Soient $a$ et $b$ deux éléments de $A$. Il existe un élément $d$ dans $A$ tel que $aA+bA=dA$ et satisfaisant pour tout $c \in A $ : $(c|a$ et $c|b) \Leftrightarrow c|d$.
    L'élément $d$ est appelé un $PGCD$ de $a$ et $b$ et est noté $PGCD(a,b)$.
    Preuve : l'anneau $A$ est principal donc tous ses idéaux sont principaux.
    Dès lors, soient $a$, $b \in A$. L'ensemble $aA+bA$ est une somme d'idéaux principaux de $A$ donc c'est un idéal principal (car $A$ est principal) de $A$. Ainsi, il est engendré par un seul élément d'où l'existence d'un élément $d$ dans $A$ tel que $aA+bA=dA$.
    Soit $c \in A$ tel que $c |a$ et $c|b$. Alors $aA \subset cA$ et $bA \subset cA$ donc $aA+bA \subset cA$ i.e : $dA \subset cA$ donc $c|d$.
    Réciproquement, si $c |d$ alors $dA \subset cA$. Or, $aA \subset dA$ et $bA \subset dA$ donc $aA \subset cA$ (et $c |a$) et $bA \subset cA$ (et $c | b$). 
    Conclusion : $d$ est bien un $PGCD$ de $a$ et $b$.
    Par suite, dans l'anneau principal des entiers relatifs : $\mathbb{Z}$, $0 \mathbb{Z}+0\mathbb{Z}=\{0\}=0 \mathbb{Z}$ et pour tout $c \in \mathbb{Z}$, $(c |0$ et $c|0) \Leftrightarrow c|0$ ( :D ).
    Donc $0$ est un $PGCD$ (et même le $PGCD$) de $0$ et $0$ dans $\mathbb{Z}$ avec cette façon de définir la notion de $PGCD$.
    En fait, tout dépend de la déf que l'on utilise.
    Edit : effectivement, n'ayant pas vu les messages ci-dessus, cette déf a ses limites dans le sens où il faut se contenter d'anneaux principaux...
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Congru
    Modifié (24 May)
    J'ai un peu modifié le vocabulaire pour les relations d'ordre donné par @Heuristique pour  le généraliser aux relations binaires. C'est quasiment la même chose.
    Rappel de théorie des relations $binaires$ :
    Soit $(X,\leqslant)$ une relation binaire, $A \subset X$ et $x \in X$.
    On dit que $x$ est un minorant de $A$ ssi $\forall a \in A, x \leqslant a$.
    On dit que $x$ est un majorant de $A$ ssi $\forall a \in A, a \leqslant x$.
    On dit que $x$ est $un$ minimum de $A$ ssi $x$ est un minorant de $A$ et $x \in A$.
    On dit que $x$ est $un$ maximum de $A$ ssi $x$ est un majorant de $A$ et $x \in A$.
    Un infimum de $A$ est un maximum de l'ensemble des minorants de $A$.
    Un supremum de $A$  est un minimum de l'ensemble des majorants de $A$.
    Edit. Je n'avais pas fait attention au premier envoi de ce commentaire, dans le cas général d'une relation binaire, il n'y a plus nécessairement de "le maximum" mais "un maximum"...



    Vive la France
  • Généralisons mes amis, généralisons ... :)
    Vive la France
  • Je pense que quand on enseigne le PGCD au collège, on parle de plus grand diviseur commun, et là, le mot grand fait référence à la relation d'ordre 'canonique'. 
    Donc à ce niveau, 0 n'est pas plus grand que les autres entiers, il est plus petit. On évite de parler du $PGCD(0,0)$, ou de $PGCD(a,0)$ en général.
    C'est comme quand on explique la soustraction, au début, on dit que 4-7, ça n'existe pas. Et plus tard, on explique le contraire.
    Le bouquin en question n'est pas destiné à des collégiens, ni même à des lycéens, il est interdit aux moins de 16 ans, parce qu'il contient des textes réservés à un public averti.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • La forme générale la plus intéressante (selon moi) d'étude de la divisibilité est celle des monoïdes abéliens.
    Vive la France
  • Certes, au collège, on se fiche du zéro. Ça ne sert à rien, c’est un cas inutile etc. D’autant plus qu’il n’y a plus la mention « PGCD » au programme il me semble. 
  • Dom a dit :
    C’est très simple de définir $.|.$ sur $\mathbb N× \mathbb N$ ...
    Attention, c'est une relation sur $\mathbb N$ et non sur $\times \mathbb N \mathbb N$.

    Vive la France
  • Congru
    Modifié (25 May)
    Ce qui m'a poussé à m'intéresser au cas général de divisibilité c'est les anneaux factoriels. Est-ce que quelqu'un ici voit le lien entre les anneaux factoriels, la divisibilité et les monoïdes abéliens ?
    Vive la France
  • Oui, je corrige…


  • troisqua a dit :
    J'ai toujours pris comme définition de $a\land b$ que c'était le générateur naturel de $a\Z+b\Z$ ce qui donne en particulier  $0\land 0=0$.
    En sup, la notion d'idéal est hors-programme.
    C'est un livre de MPSI.
  • Mais il n’a jamais utilisé le mot idéal. 
    Les sous-groupes de Z sont de la forme nZ peut se faire tranquillement sans ajouter des mots au lexique. 
  • Une IA m'a donné cette réponse que j'adore ( je vais l'apprendre par cœur Oshine, au cas où je serais tenter un jour de passer l'agrégation  )
    IA dit :  Le mot "le plus grand" dans "Plus Grand Diviseur Commun" ne fait pas référence au fait d'être le plus grand dans l'ordre habituel des nombres naturels, mais au fait d'être le plus grand dans l'ordre partiel de la divisibilité sur les nombres naturels, où nous considérons que $a$ est plus grand que $b$  lorsque $b$ divise $a$ . La plupart du temps, ces deux ordres sont d'accord chaque fois que le second est défini. Cependant, alors que,

    dans l'ordre habituel,$0$ est le plus petit nombre naturel,
    dans l'ordre de divisibilité, $0$ est le *plus grand* nombre naturel, car chaque nombre divise $0$.

    Par conséquent, puisque chaque nombre naturel est un diviseur commun de $0$ et $0$, et $0$ est le plus grand (en divisibilité) des nombres naturels, $\gcd(0,0)=0$.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @Congru : pourquoi demander l'abélianité ? Soit $(M,\cdot)$ un monoïde. On peut alors créer un pré-ordre sur $M$ via :
    $$x \leqslant y \Leftrightarrow \exists a \in M, y = ax$$
    Comme $\cdot$ est associatif, $\leqslant$ est transitive.
    Comme $\cdot$ admet un neutre, $\leqslant$ est réflexive.
    Les notions de majorant/minorant, max/min, sup/inf se définissent encore, il faut juste se méfier car la relation $\leqslant$ n'est pas nécessairement antisymétrique. Pour éviter de se faire suer, on peut quotienter par la relation $\sim$ définie par $x \sim y \Leftrightarrow x \leqslant y \wedge y \leqslant x$ qui passe au quotient.
    C'est ce que l'on observe par exemple dans $(\mathbb{Z},\times)$ dont le quotient est $(\mathbb{N},\times)$. Plus généralement, dans un anneau, le quotient revient à préciser "à multiplication par un inversible près". L'existence de pgcd et de ppcm dans un anneau (le cas factoriel) revient alors à dire que l'ordre obtenu est un treillis complet.

    PS : OK, j'ai fait un choix dans ma définition de $\leqslant$ que l'on ne se pose pas dans le cas abélien.
  • C’est très limpide. Ça surprend.  
  • Congru
    Modifié (25 May)
    @Heuristique Je ne sais plus exactement les raisons qui m'avaient poussé à considérer les monoïdes abéliens comme le cas d'étude la plus intéressant pour la divisibilité. Mais c'était subjectif de toute façon.
    J'aime bien ton passage au quotient.
    Tient lorsque je suis retombé sur la définition des anneaux factoriel avec un peu plus de recul, ça m'avait semblé tellement dénaturé que je me suis mis à travailler dessus pour voir un peu son côté naturel.

    Chose intéressante: soit $(A;*;+;0;1)$ un anneau intègre et commutatif, $(\{z\in A\vert z\not =0\};*;1)$ est un monoïde abélien. La relation $R:=$"...être égal à un inversible fois..." est une congruence sur $(\{z\in A\vert z\not =0\};*;1)$. 
    Quand tu quotiente $(\{z\in A\vert z\not =0\};*;1)$ par $R$ tu obtiens encore un monoïde abélien. Maintenant dire que $(A;*;+;0;1)$ est un anneau factoriel, cela revient à dire que $(\{z\in A\vert z\not =0\};*;1)/R$ est un monoïde abélien libre.






    Vive la France
  • Désolé pour le cafouillage. Je bataille avec mon clavier :D
    Vive la France
  • Congru
    Modifié (25 May)
    gebrane a dit :
    IA dit :  Le mot "le plus grand" dans "Plus Grand Diviseur Commun" ne fait pas référence au fait d'être le plus grand dans l'ordre habituel des nombres naturels, mais au fait d'être le plus grand dans l'ordre partiel de la divisibilité sur les nombres naturels, où nous considérons que $a$ est plus grand que $b$  lorsque $b$ divise $a$ .
    Je crois que historiquement c'est faux. 
    Aussi, il est assez naturel de définir "maximum" lorsqu'on sait qu'on a affaire à un ensemble fini (et non vide) de nombres entiers.
    Parcontre lorsqu'il s'agit d'une relation d'ordre quelconque, parler de "maximum" passe toujours par une analyse de cas particuliers.

    L'IA est entrain de réécrire l'histoire.
    Vive la France
  • Effectivement, historiquement, le pgcd ne concerne que des nombres entiers strictement positifs. Jusqu'au dix-neuvième siècle, on laisse généralement de côté 0 parmi les "nombres entiers".

    Cordialement.
  • OShine
    Modifié (25 May)
    Je bloque sur le passage encadré.
    Je ne comprends pas pourquoi c'est $\forall n \in \Z$ alors qu'on prend $|a|$ et $|b|$.
    Pourquoi dans le théorème $17$ c'est $\forall n \in \N$ ?

  • Tout en haut : PPCM de quoi ?
    Tout en bas dans la remarque : PPCM de quoi ?
  • Il suffit d'utiliser la relation difficile et astucieuse $|a| = \pm a$ pour lever tes incompréhensions.
    Je pense que seuls 17.8938493849384% des candidats au CAPES et 19.0394830498340983% des candidats à l'X auraient eu la réponse et que cette question aurait fait un massacre.
  • Je n'ai pas compris. Les multiples d'un nombre sont aussi négatifs. 
    Soit $m=PPCM(a,b)$
    Le théorème 17 affirme que $\mathcal M( m )= \mathcal M(a) \cap \mathcal M(b)$.
    Cela se traduit par $\forall n \in \Z \ (a \mid n \ \text{et} \ b \mid n) \iff m \mid n$
    Pourquoi ils écrivent $\forall n \in \N$ dans le théorème 17 ? 

    J'ai eu la même incompréhension avec le PGCD.

  • Pour la définition de PPCM de a et b, dans ce livre, c’est quoi ce a et ce b ?
  • Définition : 
    Le PPCM de deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ est le plus petit des multiples strictement positifs communs à $a$ et $b$.

    Pour $PPCM(|a|,|b|)$, comme $|a|$ et $|b|$ sont des entiers positifs, on devrait avoir $\forall n \in \N$ aussi, je ne comprends pas ce cas.
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