Décroissance d'une suite définie par récurrence

troisqua
Modifié (May 2024) dans Analyse
Bonjour à tous,
En aidant récemment une étudiante en MPSI, je suis tombé sur un exercice qui m'a bien enquiquiné.
Il s'agit, étant donné $a>0$ d'étudier, à partir d'un certain rang, la monotonie de la suite $u$ définie par récurrence par $u_1=1$ et pour $n$ naturel non nul, $u_{n+1}=\frac{\cos u_{n}}{n^{a}}$.
Bien évidemment, la suite $u$ est positive et tend vers $0$.
Pour être complet, l'exercice d'origine ne demandait pas de répondre à cette question mais juste de savoir si $(-1)^n u_n$ était le terme général d'une série convergente (d'où mon idée d'aller chercher la décroissante).
Si vous avez des suggestions, je suis preneur :smile:

Réponses

  • Bonjour,
    Par récurrence immédiate, tu peux prouver que $u_n n^a \geq \cos(u_n)$ ce qui montre que $u$ est décroissante. Je ne vois pas ce qui te bloque.
  • Merci @Bibix,
    Peux-tu rédiger ta récurrence immédiate s'il te plaît ?
  • Cette récurrence immédiate m'intéresse aussi car je ne vois cet effet immédiat
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • D'autant que, par exemple, pour $a=\frac{1}{100}$ il faut attendre assez longtemps pour pouvoir conjecturer qu'elle décroît à partir d'un certain rang...
  • raoul.S
    Modifié (May 2024)
    Ce n'est pas vraiment immédiat mais on remarque facilement que tous les $u_n$ sont dans $[0,1]$, or sur $[0,1]$ le cosinus est décroissant : donc $u_{n+1}= \dfrac{\cos(u_n)}{n^{\alpha}}\leq \dfrac{\cos(u_{n-1})}{(n-1)^{\alpha}}=u_{n}$ où on utilise l'hypothèse de récurrence (i.e $u_n\leq u_{n-1}$) pour l'inégalité.

    Bref je raconte des salades. Ce n'est pas immédiat :mrgreen:
  • Guego
    Modifié (May 2024)
    On peut étudier la série demandée sans passer par la monotonie : $u_{n-1}$ tend vers $0$, donc $u_n$, qui vaut $\dfrac{cos(u_{n-1})}{(n-1)^a}$, est équivalent à $\dfrac{1}{n^a}$, donc $u_{n-1}$ aussi. En réinjectant dans $u_n$ et en faisant un DL, ça donne $u_n= \dfrac{1}{n^a} + O(\dfrac{1}{n^{a+1}})$ qui permet de conclure quant à la convergence de $\sum (-1)^n u_n$.

  • @Guego, es-tu certain de ton DL de $u_n$ ? Je n'ai pas ton $a+1$ (qui me plairait aussi).
  • Merci @raoul.S d'avoir montré intentionnellement l'erreur faite par @Bibix
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @troisqua : Effectivement, j'avais fait le calcul trop vite : on a du $n^{2a}$ aussi, ce qui est gênant si $a<1/2$. Dans ce cas, il faut aller plus loin, mais on a alors du $3a$... Si on pousse toujours plus loin, ça finit par être strictement plus grand que $1$, mais c'est vrai que c'est plus pénible que prévu.
  • @gebrane merci de croire que c'est intentionnel :mrgreen:
  • @Guego : oui, par récurrence, on peut s'en sortir pour déterminer la nature de la série de terme général $(-1)^n u_n$, mais ce n'est pas ma question initiale. Je voudrais prouver la décroissance de $u$ à partir d'un certain rang (cf le titre de mon post).
  • Je tenterais de prendre un DL de la fonction $\cos$ à l'ordre $k$, avec $k > \frac{1}{a}$ et $k$ multiple de $4$.
    On sait encadrer $cos(x)$ entre 2 DL consécutifs.
    Mon petit doigt me dit que c'est une bonne piste. 
    J'ai essayé, mais je suis trop rouillé pour aboutir. Ou bien, c'est mon petit doigt qui n'est plus très fiable.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • @lourrran : pourquoi pas, mais le diable dans ce genre d'exo, est bien souvent dans les détails (cf les sorties de route de très bons contributeurs depuis le début de ce fil).
  • Tu demandais des suggestions, je suggère, même si je n'ai aucune certitude que ça aboutisse.
    Et effectivement, toutes proportions gardées, je me sens un peu comme un shtameur : des cadors se sont plantés, et moi, je trouverais une piste ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • @lourrran : disons que si on écrit un encadrement polynomial du type $\frac{P_{r+1}\left(u_{n}\right)}{n^{a}}\leqslant u_{n+1}\leqslant\frac{P_{r}\left(u_{n}\right)}{n^{a}}$, qu'est-ce qu'on pourrait en faire ensuite pour tester la monotonie de $u$ ? C'est ça que je ne vois pas.
  • UP!
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Je sais démontrer que si $a\geq\dfrac12$ alors la suite $u_n$ décroît pour $n\ge n_0$.

    En effet on a déjà $u_n\sim \dfrac1{n^a}$ d'où $u_{n+1}=\dfrac1{n^a}-\dfrac1{2n^{3a}}+o\left(\dfrac1{n^{3a}}\right)$.

    On en déduit $u_{n}=\dfrac1{n^a}+\dfrac a{n^{a+1}}+o\left(\dfrac 1{n^{a+1}}\right)-\dfrac1{2n^{3a}}+o\left(\dfrac1{n^{3a}}\right)$.

    D'où $u_n-u_{n+1}=\dfrac a{n^{a+1}}+o\left(\dfrac 1{n^{a+1}}\right)+o\left(\dfrac1{n^{3a}}\right)\geq 0$ pour $n\ge n_0$ (à condition que $a\geq\dfrac12$).
  • De mon côté, je trouve $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1-\dfrac a n+o\left(\dfrac 1 n\right)+o\left(\dfrac 1{n^{2a}}\right)$ qui redonne la conclusion de jandri.
  • troisqua
    Modifié (May 2024)
    D'après une solution trouvée par Gebrane sur notre cher réseau Internet, la suite décroît à partir d'un certain rang, quelque soit la valeur de $a>0$. Merci à la lui pour cette trouvaille. On ne divulgue pas pour ceux qui veulent chercher.
  • gebrane
    Modifié (May 2024)
    L'astuce est de démontrer que la suite $\ln(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang, en remarquant d'abord que $|u_{n+1} -u_n |\leq \frac c{n^a} $ à partit d'un certain rang avec c,a>1
    Je suis certain qu'on trouvera, donc silence radio :mrgreen:
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Une âme charitable pourrait peut-être donner les premières valeurs de la suite pour $a=0\text{,}25$ et $0\text{,}75$ ?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Ecris un code Python 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Ok mais ça sera plutôt en Java avec lequel je suis plus à l'aise.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • ChatGPT t'offrira un de gratuit
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Voici un merveilleux code de ChatGTP (Qui peut faire mieux que ce bot )

    from math import cos
    
    def suite_w(n, alpha):
        L = [1]
        w = 1
        for k in range(1, n):  # Démarre la boucle à partir de 1
            w = cos(w) / (k**alpha)
            L.append(w)
        return L
    
    # Demander à l'utilisateur d'entrer la valeur de alpha
    alpha = float(input("Veuillez entrer la valeur de alpha (plus grande que 0): "))
    
    # Vérifier si alpha est positif
    while alpha <= 0:
        print("Veuillez entrer une valeur de alpha plus grande que 0.")
        alpha = float(input("Veuillez entrer la valeur de alpha (plus grande que 0): "))
    
    # Affichage des 100 premières valeurs de la suite
    n = 100
    resultats = suite_w(n, alpha)
    print("Les", n, "premières valeurs de la suite sont :")
    for valeur in resultats:
        print(valeur)
    

    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Lirone93
    Modifié (May 2024)
    En java, plus laborieux mais c'est un autre sujet.
    Par exemple, pour $a=0\text{,}001$, je trouve les valeurs suivantes :

    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • En fait, veux-tu chercher le rang à partir du quel la suite est décroissante ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Lirone93
    Modifié (May 2024)
    Non, en fait, je voulais savoir si ça ondulait, ou si ça faisait une cloche.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Bon, je compte sur toi pour donner une autre preuve
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Lirone93
    Modifié (May 2024)
    Voici ma piste : calculer $\left(u_{n+1} - u_n\right)\left(u_n - u_{n-1}\right)$ et montrer qu'en l'infini, ça reste positif.
    Cela montrera que le sens variations de $u_n$ ne « s'alterne » pas en $+\infty$.
    Et alors à partir de là, forcément $u_n$ ne pourra être que décroissante, puisque positive et de limite nulle.

    Ça donne : 
    Soit : $\left(\frac{\cos(u_n)}{n^{a}} - u_n\right)\ \left(u_n - \frac{\cos(u_{n-2})}{(n-2)^{a}}\right)$
    Avec $u_n = x$ et $y=u_{n-2}$

    $\left(\frac{\cos(x)}{n^{a}} - x\right)\ \left(x - \frac{\cos(y)}{(n-2)^{a}}\right)$
    $=-x^2 + x \left(\frac{\cos(x)}{n^{a}}+\frac{\cos(y)}{(n-2)^{a}}\right) - \left(\frac{\cos(y) \cos(x)}{(n(n-2))^{a}}\right)$.

    Mais difficile de poursuivre sur ça. Et dans la même idée il y a sûrement plus simple. Et cela doit être peu ou prou aussi compliqué que les méthodes dejà données.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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