Théorème de Stone-Weierstrass, version complexe, espace localement compact

Blanc

Bonjour,
Je rencontre une difficulté avec le th de Stone Weierstrass en version complexe dans un espace localement compact. Merci de m'apporter votre éclairage.

Il est impératif de lire d'abord le document PDF ci -joint dans lequel je pose ma question.
Attention: la transformation de mon Word initial en Pdf fait que les réels R ont été écrits avec la lettre psi et les complexes avec la lettre Z.

Mon travail dans le cas complexe dans ce qui suit :

raoul.S

J'ai lu ton PDF et si je comprends bien ton problème est de montrer que pour toute fonction $g\in A_{\infty}$ alors $\overline{g}\in A_{\infty}$. Mais ceci découle simplement du fait que si $f\in A$ alors $\overline{f_{\infty}}=(\overline{f})_{\infty}$. Or $\overline{f}\in A$ (car $A$ est stable par conjugaison), donc $(\overline{f})_{\infty}\in A_{\infty}$ et par conséquent $\overline{f_{\infty}}\in A_{\infty}$.

Blanc

Bonjour Raoul,

Je devais probablement être mal réveillé ce matin pour être passé à côté de cette évidence.
 Et alors en effet on peut attaquer Stone -Weierstrass en localement compact version complexe sans passer par la version réelle comme je l'ai proposé mas qui rallonge inutilement les choses.

 L'utilisation du compactifié d'Alexandroff est vraiment une belle idée à laquelle aucun des auteurs que j'ai consultés n'a recours et c'est dommage car quelle élégance dans ce choix!

Merci

Blanc

raoul.S

Dans mon bouquin d'analyse fonctionnelle ils utilisent également le compactifié d'Alexandroff, mais ils donnent le résultat via un exercice guidé.