Matrices d'adjacences de graphes et trajectoires fermées sur un billard

igrec27

Bonjour,
On pose sur un plan un triangle dont les  côtés sont nommés  a, b et c (ainsi que leur longueur).
Puis on va étendre cette figure initiale sur le plan par une série de réflexions par rapport aux  côtés a b ou c déjà posés. Ayant fait ainsi N fois on obtient dans le plan un domaine connexe bordé par des segmants de longueur a ou b ou c. 
Dans cet article:
 https://arxiv.org/abs/nlin/0105068
Okada s'intéresse aux longueurs des  trajectoires fermées sur ces domaines vus comme des billards.
Et aux matrices d'adjacences
Voyez la  formule 10 
Okada écrit qu'il est facile de voir que pour un billard ainsi formé , lr nombtr de tranectoires closes est égal a la trace d'un produit de matrices d'adjacences.
Je ne trouve pas que c'est évident.

igrec27

Comment traduire cette phrase:
it is easy to see that the number of closed lifts of a given closed trajectory on B is counted as
De plus pourriez vous commenter la figure 4 qui illurstre une telle situation?
Merci.

igrec27

Je commnce à comprendre de quoi il s'agit. Au départ on a un triangle qu'on va étendre par des symétries successives faites dans un certain ordre. On obtient ainsi un domaine qu'on va voir comme un billard sur lequel on va faire des bandes et pour certaines elles boucleront. C'est ce qu'on appelle ici des géodésiques fermées. chaque telle géodésique est tracée sur certains de triangles du domaine. On appelle projection le fait de "replier" dans l'ordre inverse les triangles pour tout revenir sur le triangle initial. D'une géodésique fermée sur le domaine P on l'a projetée sur une géodésique fermée sur le triangle initial.
Pour le "lift" on va faire l'opposé d'une projection on va relever une géodésique fermée sur un triangle de base et chercher (et les compter) s'il y a des géodésiques fermées sur le domaine qu'on peut replier vers un ou des triangles qui forment le domaine.
Dans la fiqure 4 on a un tel triangle qu'on place a différents endroits du domaine pour voir si l'on va obternir
des géodésiques fermées sur P et on voit que ce n'est possible qu'en mettant le triangle initial sur un seul des triangles qui forment le billard P.
Okada affirme qu'il est facile de voir que ce nombre 1 provient d'un calcul de trace sur des produits de 
matrices d'adjacences.

igrec27

Prenons le cas simple avec tr(babacbacbc) = 1 (tous les éléments diagonaux nuls sauf le j ièm = 1)
Notons (j) le vecteur colonne nul saut en posision j où il vaut 1
Le produit des matrices d'adjacences babacbacbc laisse (j) invariant.
En faisant agir les différentes matrices de babacbacbc sur (j) on forme un circuit fermé qui part de l'endroit
où on a placer le triangle de la figure 4 et qui forme une série de bandes sur le billard du domaine donné;
Si la trace est égale a 2, il y a deux endroits (j) et (k) où l'on peut le faire.