Intégrale de Lebesgue et de Riemann

un_kiwi
Modifié (22 May) dans Analyse
Bonjour,

Je cherche à démontrer la proposition suivante.
Quitte à séparer parties réelle et imaginaire, je considère une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}$. Soit donc $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ intégrable au sens de Riemann. Je veux montrer que, pour tout $a\in \mathbb{R}$, $f^{-1}( {]}a,{+\infty}{[} )\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^d)$. Il faut donc que je trouve un borélien $B$ ainsi qu'une partie négligeable $N$ tels que $\{f>a\} = B \cup N$. Sauf que je ne vois pas comment faire. Je ne parviens pas exploiter l'hypothèse d'intégrabilité pour répondre au problème demandé. Une suggestion ?

Merci d'avance.

Réponses

  • SkyMtn
    Modifié (22 May)
    On peut démontrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction Riemann-intégrable est négligeable pour la mesure de Lebesgue (en montrant que les oscillations sont nulles presque partout).

    Tu peux regarder par exemple la section 6.3 de ce document.
  • Il faut donc que je trouve un borélien $B$ ainsi qu'une partie négligeable $N$ tels que $\{f>a\} = B \cup N$

    Il vaudrait mieux utiliser une autre caractérisation des fonctions mesurables dans ce cas : $f$ est Lebesgue-mesurable ssi il existe deux fonctions boréliennes $g,h$ égales presque partout telles que $g\leq f\leq h$.

    On peut trouver $g$ et $h$ grâce aux sommes de Darboux.

  • SkyMtn
    Modifié (22 May)
    Je détaille un peu la suggestion de @raoul.S. On utilise ce critère de Riemann-intégrabilité : 
    Une fonction $f : \mathbb R^d \to \mathbb R$ est Riemann-intégrable si, et seulement si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe des fonctions en escalier $g$ et $h$ telles que $g\le f\le h$ et $\int (h-g) < \varepsilon$.
    On choisit de telles fonctions en escalier $g_n$ et $h_n$ avec des $\varepsilon_n \to 0$. Quitte à remplacer $g_n$ par $\max_{i\le n} g_i$ et $h_n$ par $\min_{i\le n} h_i$, on peut supposer que les suites $(g_n)$ et $(h_n)$ sont respectivement croissante et décroissante. Ces deux suites convergent simplement vers des fonctions $g$ et $h$ mesurables et bornées, $g \le f \le h$ et par convergence dominée on a $$\int (h-g) = \lim_{n\to\infty} \int (h_n - g_n) = 0$$ 

    Je pense qu'on peut démontrer le théorème de Lebesgue (le fait que $f$ soit continue presque partout) en remplaçant les fonctions en escalier par des fonctions continues, et en utilisant le théorème d'Egorov. :)
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