Erreur latex undefined control sequence

OShine

Bonsoir,

Je travaille sur le site Overleaf. 
Je ne parviens pas à trouver l'erreur latex dans ce code.
Par ailleurs, pourquoi le groupe symétrique ne s'affiche pas avec le symbole grec ? 
Merci d'avance.

Héhéhé

Tu devrais poster ton code et non une image, on ne peut rien tester.

Guego

Peux-tu poster le texte, plutôt qu'une photo du texte ?

OShine

D'accord, ça compile bien en pdf mais je ne comprends pas l'erreur qui fait que tout s'affiche en rouge.
Le code est le suivant : 

Mais aussi : $\chi_{-M_0} (x)= \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n (x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} )$ \\ 

\\ 

$\chi_{-M_0} (x)= \displaystyle\sum_{ \sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{\stackrel{1 \leq  i \leq n}{\sigma(i)=i}} \left( x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} \right) \times  \displaystyle\prod_{\stackrel{1 \leq  i \leq n}{\sigma(i) \ne i}} \left( x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} \right)$ \\ 

On a pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ fixée :  \\ 

Héhéhé

Poste ton code en entier.

OShine

Ca compile mais j'ai plein d'erreurs en rouge.

OShine

Héhéhé a dit :

Poste ton code en entier.

Il y a 674 lignes de code.

Héhéhé

ZzZ... Sans ton code en entier on ne peut pas savoir ce qui se passe. Poste au moins les premières lignes ! Jusqu'à la ligne 50 disons.

JLapin

@OShine

Pense à lire les messages d'erreurs.

OShine

J'ai lu et cherché les erreurs sur internet sans succès.
Comment mettre un code ici ?

OShine

Héhéhé a dit :

ZzZ... Sans ton code en entier on ne peut pas savoir ce qui se passe. Poste au moins les premières lignes ! Jusqu'à la ligne 50 disons.

\documentclass{article}

\usepackage{graphicx} % Required for inserting images

\usepackage{amsmath}

\DeclareMathOperator{\card}{card} 

\usepackage{mathtools}

\title{Corrigé XENS MATHS A MP-MPI 2024}

\author{OShine, les-mathematiques.net \\ 

Merci à bisam et LOU16 pour leur aide}

\date{May 2024}

\begin{document}

\maketitle

\section{Première partie}

\textbf{1.a)} On a : $\forall x \in \mathbf{R} \ M_x= (x-1) I_n+ J_n$ où $J_n$ est la matrice de $\mathcal M_n( \mathbf{R})$ constituée uniquement de $1$. \\ 

 Donc $-M_0 = I_n -J_n$ avec $J_n$ est symétrique réelle donc diagonalisable. On en déduit que $-M_0$ est diagonalisable. \\

De plus, $rg(J_n)=1$ donc $\ker(J_n)$ est un hyperplan d'après le théorème du rang et $\dim \ker (J_n)=n-1$. Ainsi $0$ est valeur propre de multiplicité $n-1$. \\

Soit $\lambda$ une autre valeur propre de $J_n$. Comme $Tr(J_n)=n$, on a $(n-1) \times 0 + \lambda =n$ ainsi $\lambda =n$.

Ainsi : $$\boxed{sp(J_n)= \{ 0,n \}}$$ 

$J_n$ est semblable à $diag(0, \cdots, 0,n)$ donc $-M_0$ est semblable à la matrice \\ $diag(1, \cdots , 1,1-n)$. \\ 

Ainsi : $$\boxed{sp(-M_0)= \{1,1-n \}}$$ \\ 

Or $E_{1}$ le sous-espace propre de $-M_0$ associé à la valeur propre $1$ est de dimension $n-1$, c'est donc un hyperplan vectoriel et : \\ 

$$\boxed{E_1 = \{ X= (x_1, \cdots, x_n)^T  \ | \ x_1+ \cdots +x_n =0 \} }$$ \\ 

Par ailleurs, $E_{1-n}$ est de dimension $1$, c'est une droite vectorielle car la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$. \\ 

Mais $(1, \cdots, 1)^T \in \ker (-M_0 +(n-1) I_n)$ donc : \\ 

$$\boxed{E_{1-n}= Vect ( (1, \cdots, 1)^T )}$$ \\ 

\\ 

\textbf{1.b)} On a immédiatement : $\chi_{-M_0} (x)=(x-1)^{n-1} (x+n-1)$ d'après la question 1.a. \\ 

Mais aussi : $\chi_{-M_0} (x)= \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{i=1}^n (x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} )$ \\ 

\\ 

$\chi_{-M_0} (x)= \displaystyle\sum_{ \sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{\stackrel{1 \leq  i \leq n}{\sigma(i)=i}} \left( x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} \right) \times  \displaystyle\prod_{\stackrel{1 \leq  i \leq n}{\sigma(i) \ne i}} \left( x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} \right)$ \\ 

On a pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ fixée :  \\ 

si $\sigma(i)=i$ alors $x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i}=x$ \\ 

si $\sigma(i) \ne i$ alors $x \delta_{\sigma(i) i}+ [M_0]_{\sigma(i)i} = 1$ \\ 

\\ 

Donc :  $\chi_{-M_0} (x)= \displaystyle\sum_{ \sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \displaystyle\prod_{\stackrel{1 \leq  i \leq n}{\sigma(i)=i}} x \times  \displaystyle\prod_{\stackrel{1 \leq  i \leq n}{\sigma(i) \ne i}} 1$ \\

\\ 

Par conséquent :  

$\chi_{-M_0} (x)= \displaystyle\sum_{ \sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) x^{\mu(\sigma)}$. \\

Finalement : $$\boxed{\displaystyle\sum_{ \sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) x^{\mu(\sigma)} = (x-1)^{n-1} (x+n-1)}$$\\ 

\textbf{2)}

Pour la première somme, on prend $x=1$ et on obtient : \\  $$\boxed{\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon( \sigma)=0}$$ \\ 

Posons :  $\forall x \in \mathbf{R} \ f_n(x)=\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon( \sigma) x^{\nu( \sigma)}=(x-1)^{n-1} (x+n-1)$ \\

On remarque que : $\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon( \sigma) x^{\nu( \sigma)}=\displaystyle\sum_{\stackrel{\sigma \in \mathfrak{S}_n}{\nu(\sigma) \geq 1}} \varepsilon( \sigma) x^{\nu( \sigma)}$ \\ 

\\ 

Mais d'une part : $\forall x \in \mathbf{R} \ f_n '(x)=\displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon( \sigma) \nu( \sigma) x^{\nu( \sigma)-1}$ \\ 

\\ 

Et d'autre part : $\forall x \in \mathbf{R} \ f_n'(x)=(n-1) (x-1)^{n-2}(x+n-1)+ (x-1)^{n-1}$ \\ 

Héhéhé

Tu cliques sur le symbole ¶ puis tu sélectionnes code. Tu colles ensuite ton code dans l'encadré jaune.

Héhéhé

Tu utilises \mathfrak sans charger le package \usepackage{amssymb}.

OShine

@Héhéhé
Merci, mes erreurs ont disparu. 

JLapin

\author{OShine, les-mathematiques.net \\ 

Merci à bisam et LOU16 pour leur aide}

Tu pourrais remercier l'auteur du corrigé initial tout de même.

Area 51

Pour localiser une erreur dans le script, on peut "comme le ferait un informaticien" neutraliser des parties entières de code par des \begin{comment} zone de code a priori non concernée \end{comment} en ayant préalablement chargé \usepackage{comment} dans le préambule.

Karnaj

Bonjour,
Voici quelques commentaires sur le code LaTeX.

• Utilise inputenc et fontenc pour spécifier ton encodage.
• Pas la peine de charger amsmath, il est chargé par mathtools.
• N'utilise pas les doubles dollars pour les maths hors texte mais plutôt \ [ et \ ].
• Tu peux créer des commandes pour la trace, le rang et le spectre avec \DeclareMathOperator (comme fait pour le cardinal).
• Pourquoi utiliser \\ pour passer à la ligne ? Si tu veux changer de paragraphe, saute une ligne dans ton code.

Héhéhé

On peut aussi ajouter \usepackage[french]{babel} pour les spécificités de la langue française et \usepackage{lmodern} pour une meilleure qualité de police (sans la changer).

OShine

Merci, pour le \DeclareMathOperator  je n'ai pas trop compris, il faut le faire pour chaque élément ? Pour le rang c'est quoi par exemple ? 

Héhéhé

On en a parlé il n'y a même pas deux semaines... https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2480659#Comment_2480659

OShine

Ok merci.
Mais c'est à nous d'inventer le \DeclareMathOperator ou il y a des conventions ? C'est ça que j'ai mal compris.
Par exemple, pour le spectre, je dois écrire  ?

\DeclareMathOperator{\sp}{sp}

NicoLeProf

Oui c'est à nous d'inventer la commande qui nous arrange et raccourcit l'écriture.

Sauf que l'exemple que tu donnes n'est pas bon car "\sp" est déjà un opérateur déclaré sur $\LaTeX$ du moins avec certains packages je crois (en tout cas, c'est que j'ai constaté en faisant un test).

Tu peux, par contre, écrire : \DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}} par exemple.

OShine

@NicoLeProf
Merci, c'est vrai que ça simplifie bien pour $\R$.

J'ai rajouté aussi : \DeclareMathOperator{\diag}{diag} c'est pas mal pour les matrices diagonales.

Héhéhé

NicoLeProf a dit :

Tu peux, par contre, écrire : \DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}} par exemple.

C'est assez maladroit: $\mathbb R$ n'est pas un opérateur mathématique mais un simple symbole. Il faut donc mieux écrire \newcommand{\R}{\mathbb{R}}.

OShine

J'ai défini \DeclareMathOperator{\sp}{sp} mais j'ai un message d'erreur : "sp already defined"

NicoLeProf

Oui c'est ce que je t'ai écrit dans mon message ci-dessus. J'ai aussi eu cela en testant. Cela doit être à cause du package amsmath j'imagine. 

Bien noté héhéhé, c'était un exemple simplement mais maladroit oui en effet !

OShine

Avec quel package \sp fonctionne sur Latex ?