Des résultats qui plaident pour être exprimés dans une numération adaptée?

stfj

Bonjour,

J'en viens directement à l'étude de quelques exemples pour illustrer mon propos.
On note comme d'habitude $p_1=2,...,p_4=7,..., p_{10}=29,...$ les nombres premiers
On note $\mathbb P^0:=1, \mathbb P^1:=p_0\times p_1=1\times 2=2, $ et pour $\boxed{n\in \mathbb N, \mathbb P^{n+1}:=p_{n+1}\times \mathbb P^n}$, les "primorielles". On a $$(\mathbb P^n)_n=(1,2,6,30,210,2310,30\,030, 510\,510,...)$$
Exemple n°1: l'argument principal de la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers s'écrit alors $$\forall n\in \mathbb N,1\in (\Z/\mathbb P^n \Z)^\times$$ou encore, en numération primorielle,$$\boxed{\forall k\in \mathbb N^*, (k:0:0:...:0:0:1)_{Primorial} \text{ est premier avec }p_1,...,p_n}$$

Exemple n°2: le célèbre problème ouvert des nombres primoriels s'exprime de façon naturelle. Sa limitation dans la formule ci-dessus au cas $k=1$ apparaît même dès lors pour ce qu'elle est : arbitraire et non pertinente.

Exemple n°3: on appelle fraction primorielle un nombre réel $x$ tel que $$\exists n,p\in \mathbb N : x=\sum_{k=-n}^{p}a_k \mathbb{P}^{k}\text{ avec }\forall k, 0\leq a_k\leq p_k-1$$On démontre facilement que théorème : l'ensemble $\mathbb P$ des fractions primorielles est dense dans $\R$.

Dans les bases de l'oeis, sont référencés quelques développements en série primorielle, dont celui de $\mathrm e$ par exemple.

On démontre aussi que $$\frac 14=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\left(\frac{p_k-1}{2}\right)}{\mathbb P^k}$$

Plus qu'un simple exercice sur les séries télescopiques, ce résultat s'interprète en disant que $\frac14 $ n'est pas une fraction primorielle. En numération primorielle, ce résultat s'écrit $$\boxed{\frac14=(0,0:1:2:3:5:6:8:...: \frac{p_n-1}{2}:...)_{Primorial}\notin \mathbb P}$$

Exemple n°4 : $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\mathbb P^n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{2\times3\times5}+\dots\notin Q$$s'écrit dans des notations évidentes $$\boxed{(0,1:1:1:1:...)_{Primorial}\notin \mathbb Q}$$(voir démo ici)
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Je trouve que ces résultats (j'en ai donné d'autres qui pourraient illustrer mon propos dans d'autres posts consacrés à la numération primorielle) plaident pour être énoncés dans une numération adaptée. En particulier celui de l'argument d'Euclide me paraît frappant.

Je pense que souvent le fait de ne pas chercher à les énoncer dans cette numération adaptée relève de l'inertie intellectuelle consistant à ne pas vouloir changer ses habitudes(voir par exemple la remarque de l'exemple n°2), mais pas d'une réflexion sur la pertinence ou non de chercher à les énoncer dans cette numération qui me paraît pour ma part, adaptée. 

C'est donc à cette réflexion que je souhaiterais vous inviter dans le cadre de cette rubrique SHTAM.

Cordialement,
Stéphane.