Densité dans un ensemble de mesure infinie

marco

Bonjour,

Soit $E$ un espace muni d'une mesure $m$ telle que $E$ est de mesure infinie. On suppose que $E$ est réunion dénombrable d'ensembles $(A_i)_{i \in \N}$ de mesure fini. On suppose que la suite $(A_i)$ est croissante pour l'inclusion.

Est-ce qu'il existe $\ell$ un réel compris strictement entre $0$ et $1$, tel qu'il existe $F$ un sous-ensemble de $E$, tel que $\frac{m(F \cap A_i)}{m(A_i)}$ tend vers $\ell$ lorsque $i$ tend vers l'infini ?

Merci.

marco

Les $A_i$ sont supposés de mesure $>0$.

Foys

Bonjour;
J'ai l'impression que n'importe quel réel $\ell \in [0,1]$ marche ($0$ et $1$ sont obtenus avec $F:= A_0$ et $F:= E$ respectivement). On pose $\alpha(0):= 0$, $F_0:= A_0$, $F_{2n+2}:= F_{2n+1} := F_{2n} \cup A_{\alpha(2n+1)} \backslash A_{2n}$ avec  $$\begin{align} \alpha (2n+1):= & \min \left \{k\in \N \mid k > \alpha(2n) \wedge  \frac{m(F_{2n} \cup (A_k \backslash A_{\alpha(2n})))}{m(A_k)}\geq \ell \right \} \\ \alpha (2n+2):= & \min \left \{k\in \N \mid k > \alpha(2n+1) \wedge  \frac{m(F_{2n+1}) }{m(A_k)}\leq \ell \right \} \end{align}
$$

$F:= \bigcup_{n\in \N} F_n$ convient.

Foys

Bon j'ai parlé un peu vite, le résultat va dépendre (pour la suite proposée ci-dessus) du comportement asymptotique de $n \mapsto m(A_n)$.

Foys

Que se passe-t-il avec $E:= \N$, , $m(\{0\}):=1$, et pour tout entier $n$, $A_n:= \{0,1,...,n\}$, $m\{(2n+2)\}:= 10^{-m(A_{2n+1})}$, $m(\{2n+1\}):= 10^{m(A_{2n})}$ ?

Foys

On peut simplifier l'idée préédente et simplement poser $m(\{0\}):= 1$, $m(\{n+1\}):= 2^{\sum_{k=0}^n m(\{k\})}$ et $A_n:= \{0,1,...,n\}$ de sorte que $\frac{m(A_{n+1} \backslash A_n )}{m(A_n)} \underset{n\to +\infty} {\longrightarrow}+\infty$; comme ça, pour tout $F\subseteq \N$, $\min \left \{ \left |1 - \frac {m(F \cap A_n)}{m(A_n)} \right |;\left | \frac {m(F \cap A_n)}{m(A_n)} \right | \right \} \underset{n\to +\infty} {\longrightarrow }0$.

marco

Merci @Foys ! 
Après, j'ai pensé à l'exemple suivant $E=\N$, $A_i=\{0, \dots,i\}$ et $m(\{i\})=3^i$. Soit $F \subset E$. Si $F$ est fini, la densité tend vers $0$. Si $^cF$ est fini, la densité tend vers $1$. Sinon, soit $i \in \N$ tel que $i \in F$ et $i+1 \notin F$, alors $\frac{m(F \cap A_i)}{m(A_i)} \geq 2/3$ et $\frac{m(F \cap A_{i+1})}{m(A_{i+1})} \leq 1/3$, donc il n'y a pas de limite.