Continuité d'une application à valeurs dans un espace métrique produit

jbil

Bonjour,

Je pense qu'il y a une faute (d'inattention car l'auteur est un professeur chevronné) dans la démonstration suivante :

En effet je pense qu'à la dernière ligne il faut remplacer $max$ par $min$.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance.

raoul.S

Effectivement c'est $\min$.

jbil

Un contre-exemple pour illustrer.

Soit l'espace métrique $\mathbb R$ muni de sa distance usuelle. Considérons l'application $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2$ telle que $x \mapsto (f_1(x), f_2(x)) = (x, 8x)$. Pour tout $\varepsilon$, posons $\eta_1 = \frac{\varepsilon}{2}$ et $\eta_2 = \frac{\varepsilon}{16}$.

On vérifie aisément que $|x-y| < \eta_1 \Rightarrow |f_1(x)-f_1(y)| < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$ et que $|x-y| < \eta_2 \Rightarrow |f_2(x)-f_2(y)| < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$.

Par contre, en posant $\eta = \max(\eta_1, \eta_2) = \frac{\varepsilon}{2}$ et soit $y$ tel que $|x-y| = \frac{\varepsilon}{4}$,

on a bien $|x-y| < \eta$, cependant

$|f_1(x)-f_1(y)| = |x-y| = \frac{\varepsilon}{4} < \varepsilon$

et

$|f_2(x)-f_2(y)| = 8|x-y| = 2\varepsilon > \varepsilon$