Fonction propre d'opérateur et stabilité système dynamique
Bonjour ! J'ai une petite question en analyse fonctionnelle sur les fonctions propres. Je dois en gros montrer ce théorème. Dans la démonstration proposée par l'article, je coince un peu à cette étape là où il essaye de prouver par l'absurde que l'ensemble level zero ne contient que x* le point d'équilibre du système et la contradiction se trouve dans la dépendance du gradient des fonctions propres car par hypothèses il sont indépendants. Je ne vois pas comment l'auteur conclu que les gradients des fonctions propres sont dépendants.


voici l'endroit où je coince :


Réponses
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je suis tenté d'évaluer par l'approximation de taylor en $x=x_i$ , $\phi_{\lambda_{i}}(x_i) = \nabla \phi_{\lambda_{i}}(x^{*})(x_i-x^{*})$ et comme $x_i$ est dans le set level zero, on a que $\phi_{\lambda_{i}}(x_i)=0$ et puis si je somme pour i allant de 1 à N, j'aurai $\sum_{i=1}^{N} \nabla \phi_{\lambda_{i}}(x^{*})(x_i-x^{*})=0 $ mais jsp si c'est la bonne approche, car il parle après de passer à la limite ...
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