Sphère chevelue

gimax

Bonjour

Je ne comprends pas la preuve ci-dessous du lemme ci-dessous. Plus précisément, je ne vois pas du tout comment on raisonne par récurrence (je vois bien que les diagrammes donnés sont commutatifs).

Je précise que l'application $f$ désigne l'antipodie et que les ouverts $U_1$ et $U_2$ sont définis par

$$U_1=\R^n \times \R_+^* \cup((\R^n -\{0\})\times ]-1, +\infty[)$$

et

$$U_2=\R^n \times \R_-^* \cup ((\R^n -\{0\}) \times ]-\infty,1[)$$

de sorte qu'on a la suite exacte longue donnée par Mayer-Vietoris.

Toute aide sera le bienvenu.
Gimax

Foys

NB: $U_1 \cap U_2$ est homotope à $\R^n \backslash \{0\}$.

gimax

Mais oui !!! Merci @Foys !