Preuve de $\displaystyle\int_0^1 F_X^{-1}(t) dt = \mathbb{E}[X]$

Bibix

Bonjour,
Soit $X$ une v.a. réelle. Si $X$ admet une densité, il est bien connu que $\mathbb{E}[X] =\displaystyle\int_0^1 F_X^{-1}(t) dt$ où $F_X^{-1}$ est la pseudo-réciproque de la fonction de répartition. J'arrive à prouver le cas général en utilisant des approximations assez techniques par des v.a. à densité et en passant à la limite mais c'est plutôt compliqué pour un truc qui parait simple... d'où ma question : Y a-t-il une preuve "simple" du cas général ?

Foys

Pour toute variable aléatoire uniforme $U$ sur $[0,1]$, $F_X^{-1}(U)$ et $X$ sont de même loi et donc $E(X) = E(F_X^{-1} (U)) = \int_0^1 F_X^{-1}(v) dv$ (si tant est que ces intégrales ont un sens mais comme les deux variables aléatoires envisagées sont de même loi, l'une est intégrable et donc possède une espérance si et seulement si l'autre a cette propriété).

Bibix

Merci Foys. C'était évident en fait.

Héhéhé

Cela revient au fond un peu au même : pour démontrer le théorème de transfert utilisé par Foys, on utilise des techniques d'approximation.

Foys

On peut s'en passer (de technique d'approximation, sauf pour définir l'espérance qui est une intégrale bien entendu).
Le résultat en question va être conséquence de l'indispensable lemme des classes monotones (afin de montrer l'égalité en loi de deux variables aléatoires)

Soit $X$ une variable aléatoire réelle, on pose pour tout $t \in \R$, $F_X(t):= P(X \leq t)$ (= $P_X(]-\infty, t])$ où $P_X$ désigne la loi de $X$).

1°) $F_X$ est partout continue à droite (simplement parce que $P$ est une mesure: soit $t\in \R$ et $\varepsilon>0$. Alors $P_X(]-\infty,t]) = \lim \limits_{n \to +\infty} P_X \left ( \left ] -\infty, t+ \frac 1 n\right ]\right)$ et donc il existe $n\in \N$ tel que pour tout $s\in ]-\infty, t+\frac 1 n]$, $F_X(s) \leq F_X(t)+\varepsilon$; on conclut avec la croissance de $F_X$).

Pour tout $u\in [0,1]$ on pose $F_X^{-1}(u):= \inf \left \{s\in \R \mid u \leq F_X(s) \right \} \in \overline {\R}$. Le résultat fondamental suivant mériterait d'être plus connu:

2°) Pour tous $(t,u)\in \R \times [0,1]$, $$u \leq F_X(t) \Leftrightarrow F_X^{-1}(u) \leq t \tag{*}$$

Sens direct: $t \in \inf \left \{s\in \R \mid u \leq F_X(s) \right \}$ et on utilise la définition de $\inf$.
Sens réciproque: soit $E_u:= \left \{s\in \R \mid u \leq F_X(s) \right \}$. Puisque $F_X^{-1}(u) \leq t < +\infty$, $E_u$ est non vide, d'où une suite décroissante $(s_n)_{n\in \N}$ d'éléments de $E_u$ qui convergent vers $F_X^{-1}(u)$.
Pour tout $n$, $F_X^{-1}(u) \leq s_n$ et donc $F_X \left ( F_X^{-1}(u)\right ) \leq F_X(s_n)$ (par croissance de $F_X$). Puisque d'après 1°), $F_X$ est continue à droite, on peut passer à la liimite dans l'inégalité précédente et conclure que $$F_X \left ( F_X^{-1}(u)\right )  = \lim \limits_{n \to +\infty} F_X(s_n)$$ et cela entraîne notamment que $$u \leq F_X \left ( F_X^{-1}(u)\right ) \tag{**}$$ et comme par croissance de $F_X$, $F_X \left ( F_X^{-1} (u)\right) \leq F_X(t)$, on en conclut que $u \leq F_X(t)$.

3°) Pour toute variable aléatoire uniforme $U$ sur $[0,1]$ et pour tout $t\in \R$, $P\left (F_X^{-1}(U) \leq t \right ) = P(X \leq t ) $ (l'abus de langage consistant à encore noter $P$ la mesure de proba de l'ensemble de définition de $U$ est ici inoffensif)

Il ne s'agit que d'une reformulation du résultat 2°) précédent; on a $P \left (F_X^{-1}(U) \leq t \right )  = P (U \leq F_X(t)) = F_X(t) = P(X\leq t)$.

4°) $X$ et $F_X^{ -1}(U)$ ont même lois.

L'ensemble des boréliens $B$ de $\R$ tels que $P(X\in B ) = P\left (F_X^{-1}(U)\in B \right)$ contient tous les intervalles de la forme $]-\infty; t]$ où $t$ parcourt $\R$,  et est une classe monotone; il contient donc la tribu engendrée par l'ensemble desdits intervalles c'est-à-dire tous les boréliens et le résultat est démontré.

Bibix

@Foys Je crois que ce résultat est déjà largement connu et enseigné (c'est la base de la génération pseudo-aléatoire si je ne me trompe pas). En tout cas,je le connaissais déjà mais je n'avais pas fait le rapprochement. Je pense que Héhéhé pensait plutôt à l'étape d'après qui consiste à montrer que $\mathbb{E}[F_X^{-1}(U)] = \int_0^1 F_X^{-1}(u) du$. Je ne vois effectivement pas comment faire sans utiliser le théorème de transfert ou des techniques d'approximations pour cette étape.